二函数概念与基本初等函数Ⅰ.doc

第二章函数的概念与基本初等函数第一节函数及其表示本节主要包括3个知识点：1.函数的定义域；2.函数的表示方法；3.分段函数.突破点(一)函数的定义域基础联通 抓主干知识的“源”与“流” 1函数与映射的概念函数映射两集合A，B设A，B是两个非空的数集设A，B是两个非空的集合对应关系f：AB如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应名称称f：AB为从集合A到集合B的一个函数称对应f：AB为从集合A到集合B的一个映射记法yf(x)，xA对应f：AB2.函数的有关概念(1)函数的定义域、值域：在函数yf(x)，xA中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合f(x)|xA叫做函数的值域显然，值域是集合B的子集(2)函数的三要素：定义域、值域和对应关系(3)相等函数：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等的依据考点贯通 抓高考命题的“形”与“神” 求给定解析式的函数的定义域常见基本初等函数定义域的基本要求(1)分式函数中分母不等于零(2)偶次根式函数的被开方式大于或等于0.(3)一次函数、二次函数的定义域均为R.(4)yx0的定义域是x|x0(5)yax(a0且a1)，ysin x，ycos x的定义域均为R.(6)ylogax(a0且a1)的定义域为(0，)(7)ytan x的定义域为.例1y log2(4x2)的定义域是()A(2,0)(1,2) B(2,0(1,2)C(2,0)1,2) D2,01,2解析要使函数有意义，必须x(2,0)1,2)即函数的定义域是(2,0)1,2)答案C易错提醒(1)不要对解析式进行化简变形，以免定义域发生变化(2)当一个函数由有限个基本初等函数的和、差、积、商的形式构成时，定义域一般是各个基本初等函数定义域的交集(3)定义域是一个集合，要用集合或区间表示，若用区间表示，不能用“或”连接，而应该用并集符号“”连接求抽象函数的定义域对于抽象函数定义域的求解(1)若已知函数f(x)的定义域为a，b，则复合函数f(g(x)的定义域由不等式ag(x)b求出；(2)若已知函数f(g(x)的定义域为a，b，则f(x)的定义域为g(x)在xa，b上的值域例2若函数yf(x)的定义域是0,2，则函数g(x)的定义域为_解析由题意得，解得0x1，即g(x)的定义域是0,1)答案0,1)易错提醒函数fg(x)的定义域指的是x的取值范围，而不是g(x)的取值范围已知函数定义域求参数例3(2017杭州模拟)若函数f(x)的定义域为一切实数，则实数m的取值范围是()A0,4) B(0,4)C4，) D0,4解析由题意可得mx2mx10恒成立当m0时，10恒成立；当m0时，则解得00，解得0x2，故其定义域是0,2)2考点一(2017青岛模拟)函数y的定义域为()A(，1 B1,1C1,2)(2，) D.解析：选D由题意得解得即1x1且x，所以函数的定义域为.故选D.3考点一函数f(x)(a0且a1)的定义域为_解析：由题意得解得即00)答案：(x0)2函数f(x)满足2f(x)f(x)2x，则f(x)_.解析：由题意知解得f(x)2x.答案：2x3已知f(1)x2，求f(x)的解析式解：设t1，则x(t1)2，t1，代入原式有f(t)(t1)22(t1)t22t12t2t21.故f(x)x21，x1.4已知f(x)是二次函数，且f(0)0，f(x1)f(x)x1，求f(x)的解析式解：设f(x)ax2bxc(a0)，由f(0)0，知c0，f(x)ax2bx，又由f(x1)f(x)x1，得a(x1)2b(x1)ax2bxx1，即ax2(2ab)xabax2(b1)x1，所以解得ab.所以f(x)x2x，xR.5已知fx2，求f(x)的解析式解：由于fx222，所以f(x)x22，x2或x2，故f(x)的解析式是f(x)x22，x2或x2.突破点(三)分段函数基础联通 抓主干知识的“源”与“流” 1分段函数若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫做分段函数2分段函数的相关结论(1)分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数(2)分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，值域等于各段函数的值域的并集考点贯通 抓高考命题的“形”与“神” 分段函数求值例1(1)设f(x)则f(f(2)()A1 B. C. D.(2)(2017张掖高三模拟)已知函数f(x)则f(1log25)的值为()A. B.C. D.解析(1)因为f(2)22，所以f(f(2)f1 ，故选C.(2)因为2log253，所以31log254，则42log250时，f(a)log2a1，因而a2，当a0时，f(a)a21，因而a1，故选A.(2)当x1时，由ex12得x1ln 2，x1；当x1时，由x2得x8，1x8.综上，符合题意的x的取值范围是x8.答案(1)A(2)(，8方法技巧求分段函数自变量的值或范围的方法求某条件下自变量的值或范围，先假设所求的值或范围在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值或范围，切记代入检验，看所求的自变量的值或范围是否满足相应各段自变量的取值范围能力练通 抓应用体验的“得”与“失” 1考点一已知函数f(x)则f(f(1)()A2 B1 C. D.解析：选C由题意得f(1)121，则f(f(1)f2.2考点一已知f(x)则f的值为()A. B C1 D1解析：选Bff1sin1.3考点一已知f(x)且f(0)2，f(1)3，则f(f(3)()A2 B2 C3 D3解析：选B由题意得f(0)a0b1b2，解得b1.f(1)a1ba113，解得a.则f(x)故f(3)319，从而f(f(3)f(9)log392.4考点二设函数f(x)则满足f(f(a)2f(a)的a的取值范围是()A. B0,1C. D1，)解析：选C由f(f(a)2f(a)得，f(a)1.当a1时，有3a11，a，a1.当a1时，有2a1，a0，a1.综上，a，故选C.5考点二已知函数f(x)且f(x0)3，则实数x0的值为_解析：由条件可知，当x00时，f(x0)2x013，所以x01；当x00时，f(x0)3x3，所以x01.所以实数x0的值为1或1.答案：1或16考点二已知f(x)使f(x)1成立的x的取值范围是_解析：由题意知或解得4x0或0x2，故x的取值范围是4,2答案：4,2全国卷5年真题集中演练明规律 1(2016全国甲卷)下列函数中，其定义域和值域分别与函数y10lg x的定义域和值域相同的是()Ayx Bylg xCy2x Dy解析：选D函数y10lg x的定义域与值域均为(0，)函数yx的定义域与值域均为(，)函数ylg x的定义域为(0，)，值域为(，)函数y2x的定义域为(，)，值域为(0，)函数y的定义域与值域均为(0，)故选D.2(2015新课标全国卷)设函数f(x)则f(2)f(log212)()A3 B6 C9 D12解析：选C21，f(log212)2log21216.f(2)f(log212)369.3(2015新课标全国卷)已知函数f(x)且f(a)3，则f(6a)()A B C D解析：选A由于f(a)3，若a1，则2a123，整理得2a11.由于2x0，所以2a11无解；若a1，则log2(a1)3，解得a7，所以f(6a)f(1)2112.综上所述，f(6a).4(2013新课标全国卷)已知函数f(x)若|f(x)|ax，则a的取值范围是()A(，0 B(，1) C2,1 D2,0解析：选Dy|f(x)|的图象如图所示，yax为过原点的一条直线，当|f(x)|ax时，必有ka0，其中k是yx22x(x0)在原点处的切线的斜率，显然，k2.所以a的取值范围是2,0课时达标检测 重点保分课时一练小题夯双基，二练题点过高考 练基础小题强化运算能力1下列图象可以表示以Mx|0x1为定义域，以Ny|0y1为值域的函数的是()解析：选CA选项中的值域不对，B选项中的定义域错误，D选项不是函数的图象，由函数的定义可知选项C正确2若函数f(x1)的定义域为0,1，则f(2x2)的定义域为()A0,1 Blog23,2C1，log23 D1,2解析：选Bf(x1)的定义域为0,1，即0x1，1x12.f(x1)与f(2x2)是同一个对应关系f，2x2与x1的取值范围相同，即12x22，也就是32x4，解得log23x2.函数f(2x2)的定义域为log23,23若二次函数g(x)满足g(1)1，g(1)5，且图象过原点，则g(x)的解析式为()Ag(x)2x23x Bg(x)3x22xCg(x)3x22x Dg(x)3x22x解析：选B设g(x)ax2bxc(a0)，g(1)1，g(1)5，且图象过原点，解得g(x)3x22x.4若函数f(x) 的定义域为R，则a的取值范围为_解析：因为函数f(x)的定义域为R，所以2x22axa10对xR恒成立，即2x22axa20，x22axa0恒成立，因此有(2a)24a0，解得1a0.答案：1,05设函数f(x)若f4，则b_.解析：f3bb，若b，则3b4b4，解得b，不符合题意，舍去；若b1，即b，则2b4，解得b.答案：练常考题点检验高考能力一、选择题1函数f(x)的定义域为()A1,10 B1,2)(2,10C(1,10 D(1,2)(2,10解析：选D要使函数f(x)有意义，则x须满足即解得1x10，且x2，所以函数f(x)的定义域为(1,2)(2,102已知f(x)则ff的值等于()A1 B2 C3 D2解析：选Cfcoscos；ff1f2cos22.故ff3.3若f(x)对于任意实数x恒有2f(x)f(x)3x1，则f(1)()A2 B0 C1 D1解析：选A令x1，得2f(1)f(1)4，令x1，得2f(1)f(1)2， 联立得f(1)2.4(2017贵阳检测)根据统计，一名工人组装第x件某产品所用的时间(单位：分钟)为f(x)(a，c为常数)已知工人组装第4件产品用时30分钟，组装第a件产品用时15分钟，那么c和a的值分别是()A75,25 B75,16 C60,25 D60,16解析：选D因为组装第a件产品用时15分钟，所以15，所以必有40时，1a1，此时f(1a)2(1a)a2a，f(1a)(1a)2a13a.由f(1a)f(1a)得2a13a，解得a，不合题意，舍去当a1,1a2的解集是_解析：当x0时，f(x)1，不等式的解集为x|x1；当x0时，f(x)0，不等式无解；当x0时，f(x)1，不等式的解集为x|x2的解集为x|x1答案：x|x1三、解答题11已知函数f(x)对任意实数x均有f(x)2f(x1)，且f(x)在区间0,1上有解析式f(x)x2.(1)求f(1)，f(1.5)；(2)写出f(x)在区间2,2上的解析式解：(1)由题意知f(1)2f(11)2f(0)0，f(1.5)f(10.5)f(0.5).(2)当x0,1时，f(x)x2；当x(1,2时，x1(0,1，f(x)f(x1)(x1)2；当x1,0)时，x10,1)，f(x)2f(x1)2(x1)2；当x2，1)时，x11,0)，f(x)2f(x1)22(x11)24(x2)2.所以f(x)12.行驶中的汽车在刹车时由于惯性作用，要继续往前滑行一段距离才能停下，这段距离叫做刹车距离在某种路面上，某种型号汽车的刹车距离y(米)与汽车的车速x(千米/时)满足下列关系：ymxn(m，n是常数)如图是根据多次实验数据绘制的刹车距离y(米)与汽车的车速x(千米/时)的关系图(1)求出y关于x的函数解析式；(2)如果要求刹车距离不超过25.2米，求行驶的最大速度解：(1)由题意及函数图象，得解得m，n0，所以y(x0)(2)令25.2，得72x70.x0，0x70.故行驶的最大速度是70千米/时第二节函数的单调性与最值本节主要包括2个知识点：1.函数的单调性；2.函数的最值.突破点(一)函数的单调性基础联通 抓主干知识的“源”与“流” 1单调函数的定义增函数减函数定义一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量x1，x2当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数当x1f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数图象描述自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的2.单调区间的定义若函数yf(x)在区间D上是增函数或减函数，则称函数yf(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D叫做函数yf(x)的单调区间考点贯通 抓高考命题的“形”与“神” 判断函数的单调性1复合函数单调性的规则若两个简单函数的单调性相同，则它们的复合函数为增函数；若两个简单函数的单调性相反，则它们的复合函数为减函数即“同增异减”2函数单调性的性质(1)若f(x)，g(x)均为区间A上的增(减)函数，则f(x)g(x)也是区间A上的增(减)函数，更进一步，即增增增，增减增，减减减，减增减；(2)若k0，则kf(x)与f(x)单调性相同；若k0时，f(x)3x为减函数；当x时，f(x)x23x为减函数，当x时，f(x)x23x为增函数；当x(0，)时，f(x)为增函数；当x(0，)时，f(x)|x|为减函数(2)设tx22x3，由t0，即x22x30，解得x1或x3.所以函数的定义域为(，13，)因为函数tx22x3的图象的对称轴为x1，所以函数t在(，1上单调递减，在3，)上单调递增所以函数f(x)的单调递增区间为3，)答案(1)C(2)B易错提醒(1)单调区间是定义域的子集，故求单调区间时应树立“定义域优先”的原则(2)单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示；如有多个单调区间应分开写，不能用并集符号“”连接，也不能用“或”连接(3)函数的单调性是函数在某个区间上的“整体”性质，所以不能仅仅根据某个区间内的两个特殊变量x1，x2对应的函数值的大小就判断函数在该区间的单调性，必须保证这两个变量是区间内的任意两个自变量函数单调性的应用应用(一)比较函数值或自变量的大小例2已知函数f(x)的图象关于直线x1对称，当x2x11时，f(x2)f(x1)(x2x1)ab BcbaCacb Dbac解析由f(x)的图象关于直线x1对称，可得ff.由x2x11时，f(x2)f(x1)(x2x1)0恒成立，知f(x)在(1，)上单调递减12ff(e)，bac.答案D应用(二)解函数不等式例3f(x)是定义在(0，)上的单调增函数，满足f(xy)f(x)f(y)，f(3)1，当f(x)f(x8)2时，x的取值范围是()A(8，) B(8,9 C8,9 D(0,8)解析211f(3)f(3)f(9)，由f(x)f(x8)2，可得fx(x8)f(9)，因为f(x) 是定义在(0，)上的增函数，所以有解得8x9.答案B方法技巧用单调性求解与抽象函数有关不等式的策略(1)在求解与抽象函数有关的不等式时，往往是利用函数的单调性将“f”符号脱掉，使其转化为具体的不等式求解此时应特别注意函数的定义域(2)有时，在不等式一边没有符号“f”时，需转化为含符号“f”的形式如若已知f(a)0，f(xb)0，则f(xb)f(a)应用(三)求参数的取值范围例4(1)如果函数f(x)ax22x3在区间(，4)上是单调递增的，则实数a的取值范围是()A. B.C. D.(2)设函数f(x)若函数yf(x)在区间(a，a1)上单调递增，则实数a的取值范围是()A(，1 B1,4C4，) D(，14，)解析(1)当a0时，f(x)2x3，在定义域R上是单调递增的，故在(，4)上单调递增；当a0时，二次函数f(x)的对称轴为x，因为f(x)在(，4)上单调递增，所以a0，且4，解得a0.综上所述得a0.(2)作出函数f(x)的图象如图所示，由图象可知f(x)在(a，a1)上单调递增，需满足a4或a12，即a1或a4，故选D.答案(1)D(2)D易错提醒(1)若函数在区间a，b上单调，则该函数在此区间的任意子区间上也是单调的(2)对于分段函数的单调性，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值能力练通 抓应用体验的“得”与“失” 1考点一函数f(x)|x2|x的单调减区间是()A1,2 B1,0C0,2 D2，)解析：选A由于f(x)|x2|x结合图象(图略)可知函数的单调减区间是1,22考点二应用(一)已知函数yf(x)是R上的偶函数，当x1，x2(0，)，x1x2时，都有(x1x2)f(x1)f(x2)f(b)f(c) Bf(b)f(a)f(c)Cf(c)f(a)f(b) Df(c)f(b)f(a)解析：选C由题意可知f(x)在(0，)上是减函数，且f(a)f(|a|)，f(b)f(|b|)，f(c)f(|c|)，又|a|ln 1，|b|(ln )2|a|，|c|ln ，且0ln |a|c|0，f(|c|)f(|a|)f(|b|)，即f(c)f(a)f(b)3考点二应用(二)(2017太原模拟)定义在R上的奇函数yf(x)在(0，)上单调递增，且f0，则满足flogx0的x的集合为_解析：由题意，yf(x)为奇函数且f0，所以ff0，又yf(x)在(0，)上单调递增，则yf(x)在(，0)上单调递增，于是或即或解得0x或1x0成立，那么a的取值范围是_解析：由已知条件得f(x)为增函数，解得a2，a的取值范围是.答案：5考点一用定义法讨论函数f(x)x(a0)的单调性解：函数的定义域为x|x0任取x1，x2x|x0，且x1x2，则f(x1)f(x2)x1x2(x1x2).令x1x2x0,10可得到x0，这样就把f(x)的定义域分为(， ，0)，(0， ，)四个区间，下面讨论它的单调性若0x1x2，则x1x20,0x1x2a，所以x1x2a0，即f(x1)f(x2)，所以f(x)在(0， 上单调递减同理可得，f(x)在，)上单调递增，在(， 上单调递增，在，0)上单调递减故函数f(x)在(， 和，)上单调递增，在，0)和(0， 上单调递减突破点(二)函数的最值基础联通 抓主干知识的“源”与“流” 1.函数的最值前提设函数f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足条件对于任意xI，都有f(x)M；对于任意xI，都有f(x)M；存在x0I，使得f(x0)M存在x0I，使得f(x0)M结论M为最大值M为最小值2.函数最值存在的两条结论(1)闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值当函数在闭区间上单调时最值一定在端点处取到(2)开区间上的“单峰”函数一定存在最大或最小值考点贯通 抓高考命题的“形”与“神” 求函数的最值(值域)1利用函数的单调性求解函数最值的步骤(1)判断或证明函数的单调性；(2)计算端点处的函数值；(3)确定最大值和最小值2分段函数的最值由于分段函数在定义域不同的子区间上对应不同的解析式，因而求其最值的常用方法是先求出分段函数在每一个子区间上的最值，然后取各区间上最大值中的最大者作为分段函数的最大值，各区间上最小值中的最小者作为分段函数的最小值典例(1)函数yx的最小值为_(2)函数y的值域为_(3)函数f(x)的最大值为_解析(1)法一：令t，且t0，则xt21，原函数变为yt21t，t0.配方得y2，又t0，y1.故函数yx的最小值为1.法二：因为函数yx和y在定义域内均为增函数，故函数yx在其定义域1，