第二章 函数与基本初等函数 课件.pdf

第二章函数与基本初等函数I 2.1 函数及其表示基础知识自主学习要点梳理1.函数的基本概念(1)函数的定义给定两个非空娄集A和B,如果按照某个对应关系C对 于集合A中任何一个数x.在集合B中都存在唯一确定 的数gx)与之对应，那么就把对应关系f叫作定义在集合 A上的函数，记作,A，或二,(2)函数的定义域、值域在函数y=A，)，力中，x叫做自变量，X的取值范围 A叫作函数的定义域；与x的值相对应的y值叫作函 数值，函数值的集合依匕改本叫做函数的值域.显 然，值域是集合与的子集.(3)函数的三要素：定义域、值域 和对应关系.(4)相等函数：如果两个函数的定义琳口对应关系完全 一致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等的依据.2.函数的表示法表示函数的常用方法有：解析法、图像法、列表法.3.映射的概念两个非空集合A与B间存在着对应关系而且对于集 合A中的每一个元素x,B中总有唯一的一个元素y与 它对应，就称这种对应为从集合A到集合B的映射,记作 AB.A中的元素x称为原像，B中的对应元素 y称为x的像，记作f：xy.4.函数与映射的关系由映射的定义可以看出，映射是.函数概念的推广,函数是一种特殊的映射，要注意构成函数的两个集合 A,4必须是非空数集.难点正本疑点清源L映射的特征映射是特殊的对应，其“特殊性”在于，它只能是“一对一，或“多对一”的对应，不能是“一对多”的对应.故判断一个对应是否为映射的方法是:首先检验集合Z中的每个元素是否在集合片中都有 像；然后看集合Z中每个元素的像是否唯一.另外 还要注意，映射是有方向性的，即Z到刀的映射与 5到Z的映射是不同的.对映射定义搞清如下几点(1)“对应关系”重在效果，未必要写出，可以“尽在不 言中”；对应关系未必都能用解析式表达.(2)力中的每一个元素都有像，且唯一；刀中的元素未必 有原像，即使有，也未必唯一.(3)若对应关系为f则a的像记为/().2.函数与映射的区别与联系(1)函数是特殊的映射，其特殊性在于，集合力与集 合只能是非空数集，即函数是非空数集力到非空 数集5的映射.(2)映射不一定是函数，从力到刀的一个映射，4、5若不是数集，则这个映射便不是函数.基础自测1.设一个函数的解析式为&)=2*+3,它的值域为J-1.51 125,8,则此函数的定义域为2,一7L五解析由函数的定义，结合函数的解析式可求2.函数 的定义域为1,2 U 2，+8）./XA 卜+1三0解析 2-xWO m%W212X(x 三 0)3.设函数/(*)=-MO)a的值是或1.解析当20时，1-%=4,当 a1B.C.D.1X,X0,A解析广，=i-排除A;*一 L x05x-1,xNL、人 y=x-l=排除 B;1 一羽 xl,C X（X 三 0 一,y=x=x=_，y=分=*，排除 C.x3+x X X D y=2+1=x,定义域、对应关系均相同.答案D题型分类深度剖析题型一对函数概念的准确理解例1试判断以下各组函数是否表示同一函数:(1=L y=x(2)产出2出+2,产出2_条(3)j=x,y=R(4)j=|x|,y=(y/x)2.思维启迪 从函数的三要素的角度来判断是否为同一 函数.只有定义域和对应关系相同的函数才是同一函数.解(l)y=1的定义域为R，y=x的定义域为国xR 且xWO,它们不是同一函数.(2)y=出-2出+2的定义域为x|x2.y=yjx?-4的定义域为xx2 或-2,它们不是同一函数.(3)=x,y=句？=右它们的定义域和对应关系都相同，,它们是同一函数.(4)/=国的定义域为R,y=(&)2的定义域为国国0，,它们不是同一函数.探究提高 函数的三要素是：定义域、值域、对应关 系.这三要素不是独立的，值域可由定义域和对应关系 唯一确定；因此当且仅当定义域和对应关系都相同的函 数才是同一函数.特别值得说明的是，对应关系是就效 果而言的（判断两个函数的对应关系是否相同，只要看 对于函数定义域中的任意一个相同的自变量的值，按照 这两个对应关系算出的函数值是否相同）不是指形式上 的.即对应关系是否相同，不能只看外形，要看本质；若是用解析式表示的，要看化简后的形式才能正确判 断.变式训练1试判断以下各组函数是否表示同一函数:1x1(1双0=，g(X)=1,x三0,1,x 0,3A04x-3l,：.xl.探究提高（1 求函数的定义域，其实质就是以函数解析 式所含运算有意义为准则，列出不等式或不等式组，然 后求出它们的解集，其准则一般是：分式中，分母不为零；偶次根式，被开方数非负；对于J=x,要求xWO；对数式中，真数大于0,底数大于0且不等于1；由实际问题确定的函数，其定义域要受实际问题的约 束.抽象函数的定义域要看清内、外层函数之间的关系.变式训练2函数=出(*1)+出的定义域为 小心1 0.,x(x-1)0 解析因为Q0,所以或*21,工三0,即 x=0 或 xl.题型三求函数值例3 2009四川）已知函数心）是定义在实数集R上的不恒为零的偶函数，且对任意实数X都有如+1=1+用心），则/f 5的值是 k 刀A.0B,2C.1)Di思维启迪1观察式子特征,可用赋值法求解，令=0,1x=X=y3X=不即可求得.由 1 =1+刈/）可得:O-/1/中中剧-1(11-+1O-/欣:W=又：A 案 答探究提高 求德(切类型的函数值时，遵循先内后外 的原则；(2)对于分段函数的求值问题，依据条件准确地找出利用 哪一段求解，不确定时要分类讨论；(3)对具有奇偶性、周期性的函数求值要利用好其奇偶 性、周期性.变式训练3设函数胆)对于任意实数x满足条件於+2)1加)若人1)=一5,求烦5)的值.令x=l,八3)=卡=15,方法人 1令=3,45)=而一 5,解令尤=-L令 x=-3,令x=-5,1 1 心1)=而=-5?1)=7-5,1 1/(5)=/F3)=、,胆5)=4-5)=1方法二由a+2)=而2 1用於+4)=涯0=/)所以八5)=H1)=-5,则加 5)=火-5)=/(-1)1 1 11+2)河=-5-题型四分段函数1(xO)、“八例4已知/(x)=，求不寺式x+(x+2)/(x一1(xU)+2)W5的解集.思维启迪 分段函数问题，要把握好分段求解.人,、，x+220 t x+20解由题意知：*或 yv，x+x+2&5 x-x-25解之得-或x0,2X,x0,(2010 湖北)已知函数/(x)=变式训练4(B)(m则/fa的值为1-4D4-c二 4 Be4A1-4-22)A-71-93 g o()时，X+-2;当 x0 时，x+-2.4 分/./(x)=x3-3x(*三2 或-2).6 分(2)令,+1=f,则，三l./.x=Q-I)?=/-2,+LV(出+1)=X+2出,，加=*-2，+1+2(L 1)=/-1.即凡)=/-1(*三1).12分 批阅笔记 求函数的解析式是一类重要的题目类型.换 元法是解决此类问题的基本方法，但根据题目特点，换 元时略有不同.一是先配凑，再换元，即通过观察、分 析，将右端配凑成括号内的表达式.二是令括号内的式 子等于，然后化简.易错点提醒求函数的解析式问题，一定要注意函数的 定义域.这两个小题最易忽略定义域，从而致误.换元,首先要确定新元的取值范围，这是防止漏掉定义域的好 办法.思想方法感悟提高方法与技巧1.在判断两个函数是否为同一函数时，要紧扣两点：一是定义域相同；二是对应关系相同.2.求用解析式=兀0表示的函数的定义域时，常有以 下几种情况：(1)若加0是整式，则函数的定义域是实数集R;(2)若风丫)是分式，则函数的定义域是使分母不等于0 的实数集；(3)若是二次根式，则函数的定义域是使根号内 的式子大于或等于0的实数集合；(4)若小)是由几个部分的数学式子构成的，贝函数 的定义域是使各部分式子都有意义的实数集合；(5)若 加)是由实际问题抽象出来的函数，则函数的 定义域应符合实际问题.3.定义域优先原则：函数定义域是研究函数的基础依 据，对函数性质的讨论，必须在定义域上进行，坚持 定义域优先的原则，之所以要做到这一点，不仅是为 了防止出现错误，有时还会为解题带来很大的方便.失误与防范I.判断对应是否为映射，即看z中元素是否满足“每 元有像”和“且像惟一”.但要注意：（1 4中不同 元素可有相同的像，即允许多对一，但不允许一对 多；（2*中元素可无原像，即4中元素可有剩余.2.求分段函数应注意的问题在求分段函数的值心。）时，一定要首先判断勺属于 定义域的哪个子集，然后再代入相应的关系式；分 段函数的值域应是其定义域内不同子集上各关系式 的取值范围的并集.返回