函数、基本初等函数的图像与性质.doc

专题一 第二讲 函数、基本初等函数的图像与性质
一、函数性质
1、函数单调性：
例1：已知在上是x的减函数，则a的值取范围是 。 答案：(1, 2)
2、函数图象的对称性与周期性
例2：设函数，且在闭区间[0，7]上，只有
（Ⅰ）试判断函数的奇偶性；
（Ⅱ）试求方程在闭区间[－2005，2005]上的根的个数，并证明你的结论.
解: (I)　由于在闭区间[0，7]上，只有，故．若是奇函数，则，矛盾．所以，不是奇函数．
由
,　从而知函数是以为周期的函数．
若是偶函数，则．又，从而．
由于对任意的（3，7]上，，又函数的图象的关于对称，所以对区间[7，11）上的任意均有．所以，，这与前面的结论矛盾．
所以，函数是非奇非偶函数．
(II) 由第(I)小题的解答，我们知道在区间（0，10）有且只有两个解，并且．由于函数是以为周期的函数，故．所以在区间[－2000,2000]上，方程共有个解．
在区间[2000,2010]上，方程有且只有两个解．因为
，
所以，在区间[2000,2005]上，方程有且只有两个解．
在区间[－2010,－2000]上，方程有且只有两个解．因为
，
所以，在区间[－2005,－2000]上，方程无解．
　　综上所述，方程在[－2005,2005]上共有802个解.
二、分段函数：
例3：已知函数，（为常数）．函数定义为：对每个给定的实数，
（1）求对所有实数成立的充分必要条件（用表示）；
（2）设是两个实数，满足，且．若，求证：函数在区间上的单调增区间的长度之和为（闭区间的长度定义为）
解：（1）由的定义可知，（对所有实数）等价于
（对所有实数）这又等价于，即
对所有实数均成立. （*）
由于的最大值为，
故（*）等价于，即，这就是所求的充分必要条件
（2）分两种情形讨论
（i）当时，由（1）知（对所有实数）
O
y
x
(a,f(a))
(b,f(b))

图1
则由及易知，
再由的单调性可知，
函数在区间上的单调增区间的长度
为（参见示意图1）
（ii）时，不妨设，则，于是
当时，有，从而；
当时，有
从而 ；
当时，，及，由方程
O
y
x
(a,f(a))
(b,f(b))
(x0,y0)
(p2,2)
(p1,1)
图2
解得图象交点的横坐标为
⑴

显然，
这表明在与之间。由⑴易知

综上可知，在区间上， （参见示意图2）
故由函数及的单调性可知，在区间上的单调增区间的长度之和为，由于，即，得
⑵
故由⑴、⑵得
综合（i）（ii）可知，在区间上的单调增区间的长度和为。

:
专题一 第二讲 函数、基本初等函数的图像与性质
班级_________________姓名____________________
一、填空题：
1．若，则的取值范围是 。
2、若使得方程 有实数解，则实数m的取值范围为 。高考资源网
3、关于x的不等式2·32x–3x+a2–a–3＞0，当0≤x≤1时恒成立，则实数a的取值范围为 .
4、若函数（a为常数）在定义域上为奇函数，则k= ．
5、若函数是奇函数，则a= .
6、二次函数中，且，对任意，都有，设，则的大小关系为 。
7、已知函数的值为 。
8、对于在区间上有意义的两个函数和，如果对任意，均有, 那么我们称和在上是接近的．若与在闭区间上是接近的，则的取值范围是 ．
9、函数的图像经过四个象限的充要条件是 。
10、设定义为R的函数，则关于的方程有7个不同实数解的充要条件是 。
11、已知是R上的单调函数，实数，，若，则的取值范围是 。
12、若函数在区间内单调递增，则a的取值范围是 。
13、 已知函数f（x）的定义域为R，则下列命题中：
①若f（x－2）是偶函数，则函数f（x）的图象关于直线x＝2对称；
②若f（x＋2）＝－f（x－2），则函数f（x）的图象关于原点对称；
③函数y＝f（2＋x）与函数y＝f（2－x）的图象关于直线x＝2对称；
④函数y＝f（x－2）与函数y＝f（2－x）的图象关于直线x＝2对称．
其中正确的命题序号是_________．
14、已知函数f（x）＝｜x2－2ax＋b｜（x∈R），给出下列命题：
①f（x）必是偶函数；
②当f（0）＝f（2）时，f（x）的图象必关于直线x＝1对称；
③若a2－b≤0，则f（x）在区面［a，＋∞）上是增函数；
④f（x）有最大值｜a2－b｜．
其中正确命题的序号是____________．
二、解答题：
15、已知函数的定义域为实数集。（1）求实数m的所有允许值组成的集合M；（2）求证：对所有，恒有 。

16、已知函数，存在正数，使得的定义域和值域相同．
（1）求非零实数的值；
（2）若函数有零点，求的最小值．

17、 已知函数f(x)=lg(的定义域为（0，+∞），问是否存在这样的a,b，使f(x)恰在（1，+∞）上取正值，且f(3)=lg4，若存在，求出a,b的值，若不存在，说明理由。

18、 定义在R上的函数满足：对任意实数，总有，且当时，．
（1）试求的值；
（2）判断的单调性并证明你的结论；
（3）设，若，试确定的取值范围．
（4）试举出一个满足条件的函数．

第二讲 函数、基本初等函数的图像与性质答案
1、 3. (–∞,–1)∪(2,+∞) 4、
5. 6. 7、0 8. 9.
10、且 11.且 12. 13.④ 14. ③
15、证明（1）∵的定义域为实数集

（2）令

16、解：（1）若，对于正数，的定义域为，但 的值域，故，不合要求． --------------------------2分
若，对于正数，的定义域为． -----------------3分
由于此时，
故函数的值域． ------------------------------------6分
由题意，有，由于，所以．------------------8分

17、解：由，得，∵a>1>b>0，∴>1，∴x>log
又f(x)定义域为（0，+∞），∴log=0，K=1，∴f(x)=lg
设0<，，∵a>1>b>0，∴a< a，－b< b
∴0< a－b< a－ b，∴0<<1，∴lg<0
∴，∴f(x)在（0，+∞）上是增函数
∴x(1,+∞）时，必有f(x)>f(1)=lg(a－b)
∵f(x)在（1，+∞）上取正值，∴lg(a－b)=0 a－b=1 (1)
又f(3)=lg4 ∴lg=lg4， =4 (2)
解(1)(2)得：，b=，即有在，b=满足条件

18、解：（1）在中，令．得：
．
因为，所以，．
（2）要判断的单调性，可任取，且设．
在已知条件中，若取，则已知条件可化为：．
由于，所以．
为比较的大小，只需考虑的正负即可．
在中，令，，则得．
∵ 时，，
∴ 当时，．
又，所以，综上，可知，对于任意，均有．
∴ ．
∴ 函数在R上单调递减．
（3）首先利用的单调性，将有关函数值的不等式转化为不含的式子．
，
，即．
由，所以，直线与圆面无公共点．所以，
．
解得：．
（4）如．
18．已知对于x的所有实数值，二次函数f（x）＝x2－4ax＋2a＋12（a∈R）的值都是非负的，求关于x的方程＝｜a－1｜＋2的根的取值范围．
解：由条件知∆≤0，即（－4a）2－4（2a＋12）≤0，∴－≤a≤2．
（1）当－≤a＜1时，原方程化为
x＝－a2＋a＋6，∵－a2＋a＋6＝－（a－）2＋
∴a＝－时，xmin＝，a＝时，xmax＝
∴≤x≤．
（2）当1≤a≤2时，x＝a2＋3a＋2＝（a＋）2－
∴当a＝1时，xmin＝6，当a＝2时，xmax＝12，∴6≤x≤12，
综上所述，≤x≤12．

11