第二篇 函数与基本初等函数Ⅰ第9讲 函数的应用.doc

第9讲函数的应用【2013年高考会这样考】1考查二次函数模型的建立及最值问题2考查分段函数模型的建立及最值问题3考查指数、对数、幂函数、“对勾”型函数模型的建立及最值问题【复习指导】函数模型的实际应用问题，主要抓好常见函数模型的训练，解答应用问题的重点在信息整理与建模上，建模后利用函数知识分析解决问题基础梳理1常见的函数模型及性质(1)几类函数模型一次函数模型：ykxb(k0)二次函数模型：yax2bxc(a0)指数函数型模型：yabxc(b0，b1)对数函数型模型：ymlogaxn(a0，a1)幂函数型模型：yaxnb.(2)三种函数模型的性质函数性质yax(a1)ylogax(a1)yxn(n0)在(0，)上的增减性单调递增单调递增单调递增增长速度越来越快越来越慢相对平稳图象的变化随x的增大逐渐表现为与y轴平行随x的增大逐渐表现为与x轴平行随n值变化而各有不同值的比较存在一个x0，当xx0时，有logaxxnax 一个防范特别关注实际问题的自变量的取值范围，合理确定函数的定义域 四个步骤(1)审题：深刻理解题意，分清条件和结论，理顺其中的数量关系，把握其中的数学本质；(2)建模：由题设中的数量关系，建立相应的数学模型，将实际问题转化为数学问题；(3)解模：用数学知识和方法解决转化出的数学问题；(4)还原：回到题目本身，检验结果的实际意义，给出结论双基自测1(人教A版教材习题改编)从1999年11月1日起，全国储蓄存款征收利息税，利息税的税率为20%，由各银行储蓄点代扣代收，某人2011年6月1日存入若干万元人民币，年利率为2%，到2012年6月1日取款时被银行扣除利息税138.64元，则该存款人的本金介于()A34万元 B45万元 C56万元 D23万元解析设存入的本金为x，则x2%20%138.64，x34 660.答案A2(2012新乡月考)某产品的总成本y(万元)与产量x(台)之间的函数关系是y3 00020x0.1x2(0x240，xN*)，若每台产品的售价为25万元，则生产者不亏本时(销售收入不小于总成本)的最低产量是()A100台 B120台 C150台 D180台解析设利润为f(x)(万元)，则f(x)25x(3 00020x0.1x2)0.1x25x3 0000，x150.答案C3有一批材料可以围成200米长的围墙，现用此材料在一边靠墙的地方围成一块矩形场地(如图)，且内部用此材料隔成三个面积相等的矩形，则围成的矩形场地的最大面积为()A1 000米2 B2 000米2C2 500米2 D3 000米2解析设三个面积相等的矩形的长、宽分别为x米、y米，如图，则4x3y200，又矩形场地的面积S3xy3xx(2004x)4(x25)22 500，当x25时，Smax2 500.答案C4(2011湖北)里氏震级M的计算公式为：Mlg Alg A0，其中A是测震仪记录的地震曲线的最大振幅，A0是相应的标准地震的振幅假设在一次地震中，测震仪记录的最大振幅是1 000，此时标准地震的振幅为0.001，则此次地震的震级为_级；9级地震的最大振幅是5级地震最大振幅的_倍解析由lg 1 000lg 0.0016，得此次地震的震级为6级因为标准地震的振幅为0.001，设9级地震最大振幅为A9，则lg A9lg 0.0019解得A9106，同理5级地震最大振幅A5102，所以9级地震的最大振幅是5级地震的最大振幅的10 000倍答案610 0005(2012东三校联考)为了保证信息安全，传输必须使用加密方式，有一种方式其加密、解密原理如下：明文密文密文明文已知加密为yax2(x为明文，y为密文)，如果明文“3”通过加密后得到密文为“6”，再发送，接受方通过解密得到明文“3”，若接受方接到密文为“14”，则原发的明文是_解析依题意yax2中，当x3时，y6，故6a32，解得a2.所以加密为y2x2，因此，当y14时，由142x2，解得x4.答案4考向一一次函数、二次函数函数模型的应用【例1】(2011武汉调研)在经济学中，函数f(x)的边际函数Mf(x)定义为：Mf(x)f(x1)f(x)某公司每月生产x台某种产品的收入为R(x)元，成本为C(x)元，且R(x)3 000x20x2，C(x)500x4 000(xN*)现已知该公司每月生产该产品不超过100台(1)求利润函数P(x)以及它的边际利润函数MP(x)；(2)求利润函数的最大值与边际利润函数的最大值之差审题视点 列出函数解析式，根据函数性质求最值解(1)由题意，得x1,100，且xN*.P(x)R(x)C(x)(3 000x20x2)(500x4 000)20x22 500x4 000，MP(x)P(x1)P(x)20(x1)22 500(x1)4 000(20x22 500x4 000)2 48040x.(2)P(x)20274 125，当x62或x63时，P(x)取得最大值74 120元；因为MP(x)2 48040x是减函数，所以当x1时，MP(x)取得最大值2 440元故利润函数的最大值与边际利润函数的最大值之差为71 680元. 二次函数是我们比较熟悉的基本函数，建立二次函数模型可以求出函数的最值，解决实际中的最优化问题，值得注意的是：一定要注意自变量的取值范围，根据图象的对称轴与定义域在数轴上表示的区间之间的位置关系讨论求解【训练1】 经市场调查，某种商品在过去50天的销售量和价格均为销售时间t(天)的函数，且销售量近似地满足f(t)2t200(1t50，tN)前30天价格为g(t)t30(1t30，tN)，后20天价格为g(t)45(31t50，tN)(1)写出该种商品的日销售额S与时间t的函数关系；(2)求日销售额S的最大值解(1)根据题意，得S(2)当1t30，tN时，S(t20)26 400，当t20时，S的最大值为6 400；当31t50，tN时，S90t9 000为减函数，当t31时，S的最大值为6 210.6 2106 400，当t20时，日销售额S有最大值6 400.考向二指数函数模型的应用【例2】某医药研究所开发的一种新药，如果成年人按规定的剂量服用，据监测：服药后每毫升血液中的含药量y(微克)与时间t(小时)之间近似满足如图所示的曲线(1)写出第一次服药后y与t之间的函数关系式yf(t)；(2)据进一步测定：每毫升血液中含药量不少于0.25微克时，治疗有效求服药一次后治疗有效的时间是多长？审题视点 根据图象用待定系数法求出函数解析式，再分段求出时间长解(1)设y当t1时，由y4得k4，由1a4得a3.则y(2)由y0.25得或解得t5，因此服药一次后治疗有效的时间是5小时 可根据图象利用待定系数法确定函数解析式，然后把实际问题转化为解不等式问题进行求解【训练2】 某城市现有人口总数为100万人，如果年自然增长率为1.2%，试解答以下问题：(1)写出该城市人口总数y(万人)与年份x(年)的函数关系式；(2)计算10年以后该城市人口总数(精确到0.1万人)；(3)计算大约多少年以后，该城市人口将达到120万人(精确到1年)；(4)如果20年后该城市人口总数不超过120万人，年自然增长率应该控制在多少？(参考数据：1.01291.113,1.012101.127，lg 1.20.079，lg 20.3010，lg 1.0120.005，lg 1.0090.003 9)解(1)1年后该城市人口总数为y1001001.2%100(11.2%)2年后该城市人口总数为y100(11.2%)100(11.2%)1.2%100(11.2%)2.3年后该城市人口总数为y100(11.2%)2100(11.2%)21.2%100(11.2%)3.x年后该城市人口总数为y100(11.2%)x.(2)10年后，人口总数为100(11.2%)10112.7(万人)(3)设x年后该城市人口将达到120万人，即100(11.2%)x120，xlog1.012log1.0121.2016(年)(4)由100(1x%)20120，得(1x%)201.2，两边取对数得20lg(1x%)lg 1.20.079，所以lg(1x%)0.003 95，所以1x%1.009，得x0.9，即年自然增长率应该控制在0.9%.考向三函数yx模型的应用【例3】(2010湖北)为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元该建筑物每年的能源消耗费用C(单位：万元)与隔热层厚度x(单位：cm)满足关系：C(x)(0x10)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元，设f(x)为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和(1)求k的值及f(x)的表达式；(2)隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小，并求最小值审题视点 用基本不等式求最值，注意等号成立的条件解(1)由已知条件C(0)8则k40，因此f(x)6x20C(x)6x (0x10)(2)f(x)6x10102 1070(万元)，当且仅当6x10即x5时等号成立所以当隔热层为5 cm时，总费用f(x)达到最小值，最小值为70万元 求函数解析式同时要注意确定函数的定义域，对于yx(a0)类型的函数最值问题，特别要注意定义域问题，可考虑用均值不等式求最值，否则要考虑使用函数的单调性【训练3】 某村计划建造一个室内面积为800 m2的矩形蔬菜温室，在温室内，沿左、右两侧与后侧内墙各保留1 m宽的通道，沿前侧内墙保留3 m宽的空地，当矩形温室的边长各为多少时，蔬菜的种植面积最大？最大面积是多少？解设温室的左侧边长为x m，则后侧边长为m.蔬菜种植面积y(x4)8082(4x400)x2 80，y808280648(m)2.当且仅当x，即x40，此时20 m，y最大648(m2)当矩形温室的左侧边长为40 m，后侧边长为20 m时，蔬菜的种植面积最大，为648 m2.规范解答5应用题中的函数建模问题(【问题研究】 解决应用问题的关键是建立恰当的函数模型，因此，首先要熟悉和掌握几类常用的函数模型.求解中容易在以下两个地方出现失误：,(1)列函数关系式时，会出现由于理不清楚各个量之间的关系，而导致列出错误的关系式.这一点在求解应用题时是常出现的错误；,(2)列出解析式，在求最优解的过程中，由于方法使用不当而出现求解上的错误.,【解决方案】 (1)阅读理解，审清题意.读题要做到逐字逐句，读懂题中的文字叙述，理解叙述部分所反映的实际背景，在此基础上，分析出已知是什么，求什么，从中提炼出相应的数学问题.,(2)根据所给模型，列出函数关系式.根据已知条件和数量关系，建立函数关系式，在此基础上将实际问题转化为一个函数问题.,(3)利用数学的方法将得到的常规函数问题(即数学模型)予以解答，并求得结果.,(4)将所得结果代入原问题中，对具体问题进行解答.)【示例】(本题满分12分)(2011湖北)提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况在一般情况下，大桥上的车流速度v(单位：千米/小时)是车流密度x(单位：辆/千米)的函数当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时研究表明：当20x200时，车流速度v是车流密度x的一次函数(1)当0x200时，求函数v(x)的表达式；(2)当车流密度x为多大时，车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时)f(x)xv(x)可以达到最大，并求出最大值(精确到1辆/小时) 首先求函数v(x)为分段函数，然后利用一元二次函数配方法或基本不等式求解解答示范 (1)由题意：当0x20时，v(x)60；当20x200时，设v(x)axb，再由已知，得解得故函数v(x)的表达式为v(x)(4分)(2)依题意并由(1)可得f(x)(6分)当0x20时，f(x)为增函数，故当x20时，其最大值为60201 200；(7分)当20x200时，f(x)x(200x)2，当且仅当x200x，即x100时，等号成立所以，当x100时，f(x)在区间(20,200上取得最大值.(10分)综上，当x100时，f(x)在区间0,200上取得最大值3 333，即当车流密度为100 辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3 333辆/小时(12分) 对于分段函数模型的最值问题，应该先求出每一段上的最值，然后再比较大小另外在利用均值不等式求解最值时，一定要检验等号成立的条件，也可通过函数的单调性求解最值.精品资料。欢迎使用。高考资源网w。w-w*k&s%5￥u高考资源网w。w-w*k&s%5￥u.精品资料。欢迎使用。高考资源网w。w-w*k&s%5￥u高考资源网w。w-w*k&s%5￥u