第二篇 函数与基本初等函数Ⅰ第7讲 函数图象.doc

第7讲　函数图象
【2013年高考会这样考】
1．考查函数图象的识辨．
2．考查函数图象的变换．
3．利用函数图象研究函数性质或求两函数的图象的交点个数．
【复习指导】
函数图象是研究函数性质、方程、不等式的重要工具，是数形结合的基础，是高考考查的热点，复习时，应重点掌握几种基本初等函数的图象，并在审题、识图上多下功夫，学会分析“数”与“形”的结合点，把几种常见题型的解法技巧理解透彻．

基础梳理
1．函数图象的变换
(1)平移变换
①水平平移：y＝f(x±a)(a＞0)的图象，可由y＝f(x)的图象向左(＋)或向右(－)平移a个单位而得到．
②竖直平移：y＝f(x)±b(b＞0)的图象，可由y＝f(x)的图象向上(＋)或向下(－)平移b个单位而得到．
(2)对称变换
①y＝f(－x)与y＝f(x)的图象关于y轴对称．
②y＝－f(x)与y＝f(x)的图象关于x轴对称．
③y＝－f(－x)与y＝f(x)的图象关于原点对称．
由对称变换可利用y＝f(x)的图象得到y＝|f(x)|与y＝f(|x|)的图象．
①作出y＝f(x)的图象，将图象位于x轴下方的部分以x轴为对称轴翻折到上方，其余部分不变，得到y＝|f(x)|的图象；
②作出y＝f(x)在y轴上及y轴右边的图象部分，并作y轴右边的图象关于y轴对称的图象，即得y＝f(|x|)的图象．
(3)伸缩变换
①y＝af(x)(a＞0)的图象，可将y＝f(x)图象上每点的纵坐标伸(a＞1时)或缩(a＜1时)到原来的a倍，横坐标不变．
②y＝f(ax)(a＞0)的图象，可将y＝f(x)的图象上每点的横坐标伸(a＜1时)或缩(a＞1时)到原来的倍，纵坐标不变．
(4)翻折变换
①作为y＝f(x)的图象，将图象位于x轴下方的部分以x轴为对称轴翻折到上方，其余部分不变，得到y＝|f(x)|的图象；
②作为y＝f(x)在y轴上及y轴右边的图象部分，并作y轴右边的图象关于y轴对称的图象，即得y＝f(|x|)的图象．
2．等价变换
例如：作出函数y＝的图象，可对解析式等价变形
y＝⇔⇔⇔x2＋y2＝1(y≥0)，可看出函数的图象为半圆．此过程可归纳为：(1)写出函数解析式的等价组；(2)化简等价组；(3)作图．
3．描点法作图
方法步骤：(1)确定函数的定义域；(2)化简函数的解析式；(3)讨论函数的性质即奇偶性、周期性、单调性、最值(甚至变化趋势)；(4)描点连线，画出函数的图象．

一条主线
数形结合的思想方法是学习函数内容的一条主线，也是高考考查的热点．作函数图象首先要明确函数图象的形状和位置，而取值、列表、描点、连线只是作函数图象的辅助手段，不可本末倒置．
两个区别
(1)一个函数的图象关于原点对称与两个函数的图象关于原点对称不同，前者是自身对称，且为奇函数，后者是两个不同的函数对称．
(2)一个函数的图象关于y轴对称与两个函数的图象关于y轴对称也不同，前者也是自身对称，且为偶函数，后者也是两个不同函数的对称关系．
三种途径
明确函数图象形状和位置的方法大致有以下三种途径．
(1)图象变换：平移变换、伸缩变换、对称变换．
(2)函数解析式的等价变换．
(3)研究函数的性质．
双基自测
1．(人教A版教材习题改编)为了得到函数y＝lg的图象，只需把函数y＝lg x的图象上所有的点(　　)．
A．向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度
B．向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度
C．向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度
D．向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度
解析　y＝lg＝lg(x＋3)－1可由y＝lg x的图象向左平移3个单位长度，向下平移1个单位长度而得到．
答案　C
2．(2011·安徽)若点(a，b)在y＝lg x图象上，a≠1，则下列点也在此图象上的是
(　　)
A. B．(10a,1－b)
C. D．(a2,2b)
解析　本题主要考查对数运算法则及对数函数图象，属于简单题．当x＝a2时，y＝lg a2＝2lg a＝2b，所以点(a2,2b)在函数y＝lg x图象上．
答案　D
3．函数y＝1－的图象是(　　)．

解析　将y＝的图象向右平移1个单位，再向上平移一个单位，即可得到函数y＝1－的图象．
答案　B
4．(2011·陕西)函数y＝x的图象是(　　)．

解析　该题考查幂函数的图象与性质，解决此类问题首先是考虑函数的性质，尤其是奇偶性和单调性，再与函数y＝x比较即可．
由(－x)＝－x知函数是奇函数．同时由当0＜x＜1时，x＞x，当x＞1时，x＜x，知只有B选项符合．
答案　B
5．已知图①中的图象对应的函数为y＝f(x)，则图②的图象对应的函数为(　　)．

A．y＝f(|x|) B．y＝|f(x)|
C．y＝f(－|x|) D．y＝－f(|x|)
解析　y＝f(－|x|)＝
答案　C

考向一　作函数图象
【例1】►分别画出下列函数的图象：
(1)y＝|lg x|；
(2)y＝2x＋2；
(3)y＝x2－2|x|－1；
(4)y＝.
[审题视点] 根据函数性质通过平移，对称等变换作出函数图象．
解　(1)y＝图象如图①.
(2)将y＝2x的图象向左平移2个单位．图象如图②.
(3)y＝.图象如图③.
(4)因y＝1＋，先作出y＝的图象，将其图象向右平移1个单位，再向上平移1个单位，即得y＝的图象，如图④.

(1)熟练掌握几种基本函数的图象，如二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数、形如y＝x＋的函数；(2)掌握平移变换、伸缩变换、对称变换、翻折变换、周期变换等常用的方法技巧，来帮助我们简化作图过程．
【训练1】 作出下列函数的图象：
(1)y＝2x＋1－1；
(2)y＝sin|x|；
(3)y＝|log2(x＋1)|.
解　(1)y＝2x＋1－1的图象可由y＝2x的图象向左平移1个单位，得y＝2x＋1的图象，再向下平移一个单位得到y＝2x＋1－1的图象，如图①所示．

(2)当x≥0时，y＝sin|x|与y＝sin x的图象完全相同，又y＝sin|x|为偶函数，其图象关于y轴对称，如图②所示．

(3)首先作出y＝log2x的图象c1，然后将c1向左平移1个单位，得到y＝log2(x＋1)的图象c2，再把c2在x轴下方的图象翻折到x轴上方，即为所求图象c3：y＝|log2(x＋1)|.如图③所示(实线部分)．
考向二　函数图象的识辨
【例2】►函数f(x)＝1＋log2x与g(x)＝21－x在同一直角坐标系下的图象大致是
(　　)．

[审题视点] 在同一个坐标系中判断两个函数的图象，可根据函数图象上的特征点以及函数的单调性来判断．
解析　f(x)＝1＋log2x的图象由函数f(x)＝log2x的图象向上平移一个单位而得到，所以函数图象经过(1,1)点，且为单调增函数，显然，A项中单调递增的函数经过点(1,0)，而不是(1,1)，故不满足；
函数g(x)＝21－x＝2×x，其图象经过(0,2)点，且为单调减函数，B项中单调递减的函数与y轴的交点坐标为(0,1)，故不满足；D项中两个函数都是单调递增的，故也不满足．
综上所述，排除A，B，D.故选C.
答案　C
函数图象的识辨可从以下方面入手：
(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；
(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；
(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；
(4)从函数的周期性，判断图象的循环往复．
利用上述方法，排除、筛选错误与正确的选项．
【训练2】 (2010·山东)函数y＝2x－x2的图象大致是(　　)．

解析　当x＞0时，2x＝x2有两根x＝2,4；当x＜0时，根据图象法易得到y＝2x与y＝x2有一个交点，则y＝2x－x2在R上有3个零点，故排除B、C；当x→－∞时，2x→0.而x2→＋∞，故y＝2x－x2＜0，故选A.
答案　A
考向三　函数图象的应用
【例3】►已知函数f(x)＝|x2－4x＋3|.
(1)求函数f(x)的单调区间，并指出其增减性；
(2)求集合M＝{m|使方程f(x)＝m有四个不相等的实根}．
[审题视点] 作出函数图象，由图象观察．
解　f(x)＝
作出图象如图所示．

(1)递增区间为[1,2]和[3，＋∞)，递减区间为(－∞，1]和[2,3]．
(2)由图象可知，y＝f(x)与y ＝m图象，有四个不同的交点，则0＜m＜1，
∴集合M＝{m|0＜m＜1}．
(1)从图象的左右分布，分析函数的定义域；从图象的上下分布，分析函数的值域；从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等．
(2)利用函数的图象可解决方程和不等式的求解问题，比如判断方程是否有解，有多少个解？数形结合是常用的思想方法．
【训练3】 (2010·湖北)若直线y＝x＋b与曲线y＝3－有公共点，则b的取值范围是(　　)．
A．[－1,1＋2] B．[1－2，1＋2]
C．[1－2，3] D．[1－，3]
解析　在同一坐标系下画出曲线y＝3－(注：该曲线是以点C(2,3)为圆

心、2为半径的圆不在直线y＝3上方的部分)与直线y＝x的图象，平移该直线，结合图形分析可知，当直线沿y轴正方向平移到点(0,3)的过程中的任何位置相应的直线与曲线y＝3－都有公共点；注意到与y＝x平行且过点(0,3)的直线的方程是y＝x＋3；当直线y＝x＋b与以点C(2,3)为圆心、2为半径的圆相切时(圆不在直线y＝3上方的部分)，有＝2，b＝1－2.结合图形可知，满足题意的只有C选项．
答案　C　　

难点突破5——高考中函数图象的考查题型
涉及函数图象的知识点在高考中的考查形式主要有三种类型：
一、由解析式选配图象
解决时需要从定义域、值域、奇偶性、单调性等方面综合考查，有时也可以根据特殊情况(如特殊点、特殊位置)进行分析．
【示例】► (2011·山东)函数y＝－2sin x的图象大致是(　　)．

二、图象平移问题
一般地，平移按“左加右减，上正下负”进行函数式的变换．
【示例】► (2011·郑州模拟)若函数f(x)＝kax－a－x(a＞0且a≠1)在(－∞，＋∞)上既是奇函数又是增函数，则g(x)＝loga(x＋k)的图象是(　　)．

三、图象对称问题
【示例】► (2011·厦门质检)函数y＝log2|x|的图象大致是(　　)．

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