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第二讲 基本初等函数【基础回顾】一、基础知识：1二次函数（1）二次函数的三种形式为：一般式：；顶点式：，其中为抛物线顶点；零点式：，其中、为方程的两根（2）二次函数的图象是抛物线, 以直线为对称轴, 顶点为，它与轴交点的横坐标是方程的根, 它在轴上截得线段长为: 当且时, 有恒成立；当且时, 恒成立2. 幂函数（1）我们把形如的函数称为幂函数，其中是自变量，是常数（2）幂函数的图像和性质：无论取任何实数，幂函数的图象必然经过第一象限，并且一定不经过第四象限。当时，幂函数图象在第一象限内是增函数，过点；当时，幂函数在第一象限内是减函数，过点3指数函数与对数函数（1）指数式与对数式的关系： 且（2）指数函数与对数函数互为反函数，它们的图象关于直线对称,，性质如下表所示：二、基础达标：1.已知函数f(x)是(，)上是偶函数，若对于x0，都有f(x2)f(x)，且当x0,2)时，则f(2011)f(2012)的值为 2已知点在幂函数f(x)的图像上，则f(x)是_函数(填“奇”或“偶”) 3二次函数的二次项系数为正，且对任意实数恒有，若，则的取值范围是 4设函数，若，则实数的取值范围是 5关于的方程有实根，则的取值范围是 【典型例题】例题1：已知二次函数，若，试判断函数零点的个数；若对，试证明：，使成立； 是否存在，使同时满足以下条件对，且的最小值是0；对对都有，若存在，求出的值，若不存在，说明理由。例题2：已知函数满足（1）求的值并求出相应的的解析式；（2）对于（1）中得到的函数，试判断是否存在，使函数在区间上的值域为？若存在，求出；若不存在，说明理由例题3：已知，（1）若关于x的方程的根都在区间内，求实数m的取值范围；（2）若在区间上单调递增，求实数m的取值范围例题4：已知函数是定义在上的奇函数求的值；求函数的值域； 当时，恒成立，求实数的取值范围【巩固练习】1函数恰有三个零点，则_.2（2008全国高考试题）若，则的大小关系是 3已知实数a、b满足等式，下列五个关系式：0ba；ab0；0ab；ba0；ab.其中不可能成立的关系式有 4若定义在R上的偶函数f(x)在(，0)上是减函数，且f()2，那么不等式的解集为 5已知二次函数f(x)同时满足条件：(1)f(1x)f(1x)；(2)f(x)的最大值为15；(3)f(x)0的两根立方和等于17.则f(x)的解析式为 6已知函数在区间上是单调递减函数则实数的取值范围是 7设 当x时, 恒成立, 则实数a的取值范围是 8已知x满足, 函数y的值域为, 则a= 9设，则= 10已知函数满足，且当时，。那么使不等式在时恒成立的最小整数 11已知常数, 变数x、y有关系. (1)若, 试以a、t表示y ；(2)若t在内变化时, y有最小值8, 求此时a和x的值12已知幂函数的图像关于轴对称，且在(0，)上是减函数，求满足的的取值范围13已知(1)判断的奇偶性；(2)讨论的单调性；(3)当时，恒成立，求的取值范围14设二次函数, 方程的两根满足，（1）当时, 证明: ；（2）设函数的图象关于直线对称, 证明: .【拓展提高】1(2010年高考天津卷) 设函数，对任意，恒成立，则实数的取值范围是 .2已知二次函数(1) 若对于任意R, 有成立, 求实数的取值范围；(2) 若时，有, 试求实数的取值范围 【总结反思】第二讲 基本初等函数【基础达标】1.1； 2奇； 3（-2,0）； 4(1,0)(1，) ； 5-3,0）【典型例题】例题1：解：（1）由得，即，又，当且仅当时取“=”，所以当时，有一个零点；当时，有两个零点（2）令，则，使成立（3）假设存在符合条件的的值，由可知关于x=-1对称，且的最小值是0，即 ， ， 又对对都有，则，即， ， 从而例题2：解：（1）因为，所以在第一象限是增函数，故，解得又，所以或，当或时， 所以.（2）假设存在满足题设，由（1）知，因为，所以两个最值点只能在端点和顶点处取到，而，所以，解得，所以存在满足题意.例题3：解：（1）， ，令，则，的根都在区间， .（2）在上单调递增，令，则在上单调递减且恒大于0， .例题4：解：(1)方法一：是定义在上的奇函数，即恒成立， ，方法二：是定义在上的奇函数，f(0)0. 即10，解得a2，此时，为奇函数.(2)，由得，即f(x)的值域为(1,1)(3)方法一：不等式，即为，即：，设，时恒成立，解得.方法二：，不等式恒成立，即令，则恒成立，在上单调递增，从而.【巩固练习】14； 2； 3； 4； 5；6； 7； 8； 95； 10-6；11（1）；（2）a=16,x=64；12；13（1）奇函数；（2）在R上是增函数；（3）(，1 ；14证明：（1）令.是方程的两根，.当时，由于所以.又因，得.即从而得到又因,因，.因,.综上可知. （2）由题意知是方程的两根, 即是方程的两根,.又因, .【拓展提高】1 ；2. (1) 因函数是二次函数得又因对于任意R, 有成立, 得到函数是凹函数,从而得出 (2) 由等价于, 即, 而x, 当时, ,式显然成立; 当x时, 式化为在x上恒成立.设, 则有所以只须又, 故得到.综上所述, a的取值范围是10