三角函数的图象与性质.doc

高三数学（理）集体备课材料 主备人：杨洪亮
三角函数的图象与性质
一、教学目标
1、掌握正弦函数、余弦函数、正切函数的图象及其性质；
2、能灵活运用正弦函数、余弦函数的图象及其性质解决相关问题.
二、重点、难点、易错（混）点、常考点
正弦函数、余弦函数的图象及其性质的应用.
三、知识梳理【《创新设计》P51】

四、精选例题+变式训练
考点一　三角函数的定义域、值域问题
【例1】 (2014·广州模拟)已知函数f(x)＝，求f(x)的定义域和值域．

规律揭示：(1)求三角函数定义域实际上是构造简单的三角不等式(组)，常借助三角函数线或三角函数图象来求解．
(2)三角函数值域的不同求法
①利用sin x和cos x的值域直接求．
②把形如y＝asin x＋bcos x的三角函数化为y＝Asin(ωx＋φ)的形式求值域．
③利用sin x±cos x和sin xcos x的关系转换成二次函数求值域．
【训练1】(1)函数y＝的定义域为________．
(2)当x∈时，函数y＝3－sin x－2cos2x的最小值是________，最大值是________．

【训练2】已知函数的图象经过点.
（1）求实数和的值； （2）当为何值时，函数取得最大值.

考点二　三角函数的奇偶性、周期性和对称性
【例2】(1)函数y＝2cos2－1的最小正周期是________．奇偶性为________．
(2)函数y＝2sin(3x＋φ)的一条对称轴为x＝，则φ＝________.

规律揭示：(1)求最小正周期时可先把所给三角函数式化为y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ω x＋φ)的形式，则最小正周期为T＝；奇偶性的判断关键是解析式是否为y＝Asin ωx或y＝Acos ωx＋b的形式．
(2)求f(x)＝Asin(ωx＋φ)(ω≠0)的对称轴，只需令ωx＋φ＝＋kπ(k∈Z)，求x；求f(x)的对称中心的横坐标，只需令ωx＋φ＝kπ(k∈Z)即可．
【训练1】已知函数f(x)＝sin(x∈R)，下面结论正确的是________．
①函数f(x)的最小正周期为π； ②函数f(x)是偶函数；
③函数f(x)的图象关于直线x＝对称； ④函数f(x)在区间上是增函数.

【训练2】如果函数y＝3cos(2x＋φ)的图象关于点中心对称，那么|φ|的最小值为________．

考点三 　三角函数的单调性
【例3】(2014·临沂月考)设函数f(x)＝sin(－2x＋φ)(0＜φ＜π)，y＝f(x)图象的一条对称轴是直线x＝.
(1)求φ； 　(2)求函数y＝f(x)的单调区间．

规律揭示：求较为复杂的三角函数的单调区间时，首先化简成y＝Asin(ωx＋φ)形式，再求y＝Asin(ωx＋φ)的单调区间，只需把ωx＋φ看作一个整体代入y＝sin x的相应单调区间内即可，注意要先把ω化为正数
【训练1】(2012·北京卷)已知函数f(x)＝.
(1)求f(x)的定义域及最小正周期； (2)求f(x)的单调递减区间．

【训练2】已知函数.
（1）求函数的最小正周期；
（2）若时，求函数的最大值和最小值.

五、小结【方法规律、结论的归纳、提升】
1．求三角函数的定义域应注意利用三角函数线或者三角函数图象．
2．判断函数奇偶性，应先判定函数定义域的对称性，注意偶函数的和、差、积、商仍为偶函数；复合函数在复合过程中，对每个函数而言，一偶则偶，同奇则奇．
3．三角函数单调区间的确定，一般先将函数式化为基本三角函数标准式，然后通过同解变形或利用数形结合方法求解．对复合函数单调区间的确定，应明确是对复合过程中的每一个函数而言，同增同减则为增，一增一减则为减．

六、课后反思
（1）本节课我回顾了哪些知识：

（2）本节课我重新认识了哪些道理：

（3）本节课学习中还存在哪些不足：

备用题：
1、函数的周期为，且，则正整数的最大值是 .
2、函数的减区间是 .
3、若函数且为常数对任意的都有，则 .
4、设点是函数的图象的一个对称中心，若点到图象的对称轴的距离的最小值为，则函数的最小正周期是 .
5、若函数对于任意的都有，则的最小值是 .
6、某城市一年中个月的平均气温与月份的关系可近似地用三角函数其中来表示，已知月份的月平均气温最高，为，月份的月平均气温最高，为，则月份的月平均气温为 .
7、已知.
（1）求函数的最小正周期；
（2）设，且函数是偶函数，求满足的的集合.

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