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浅谈三角函数的图象与性质的教学
江苏省南通市如东县岔河中学 胡文建 邮编226403

摘要：三角函数的图象与性质是高考的热点，涉及的内容包括三角函数的定义域、值域、奇偶性、单调性和周期性，这些都是三角函数的核心内容。近年来,各级各类考试命题者不断变换考查的角度,相继推出了许多新颖别致,极富思考性和挑战性的创新题型,给此类问题注入了新的活力。同学们重点要掌握的有关三角函数的知识有：y=sinx，y=cosx，y=tanx的定义域、值域（最值）、周期性、奇偶性、对称性及单调性；y=Asin（ωx+φ）+k模型（图象变换、性质）及应用。
关键字：高中数学；三角函数；图像；性质
三角函数是高中数学的基本内容之一，三角函数的图象和性质（定义域、值域、周期性、奇偶性和单调性）是三角函数的重点。函数图象是研究函数性质、解决函数相关问题的重要工具。通过解决函数图象问题既能够考查函数性质的掌握情况，也能够通过创设新的情景，考查创新和知识迁移能力，所以是各类考试的热点问题。由于三角函数的图象及性质有许多独特的表现，因此近年来高考对三角部分的考查多集中在三角函数的图象和性质，重视对三角函数基础知识和技能的考查。 
一、已知函数图象求函数解析式方面的问题
　　应用函数图象来解决问题，我们需要增强读图和识图能力，捕捉图象中包含的信息。从图象的交点、极值点、范围、位置、对称轴和对称中心、上升和下降等信息来判断函数的单调性、奇偶性、最值、定义域、值域等性质。已知图象求函数y=Asin(ωx+φ)（A>0, ω>0）的解析式，是“五点法”作图的逆向思维问题，解题的关键在于利用图象上的特殊点，确定参变量A、ω、φ的值。本文就一般情况例析如下。 
(一)A值的确定方法：A等于图象中最高点的纵坐标减去最低点的纵坐标所得差的一半。
(二)ω值的确定方法： 
方法１：在一个周期内的五个“关键点”中，若任知其中两点的横坐标，则可先求出周期Ｔ，然后据ω＝，求得ω的值。
方法２：“特殊点坐标法”。特殊点包括曲线与坐标轴的交点、最高点和最低点等。在求出了A与φ的值之后，可由特殊点的坐标来确定ω的值。
(三)φ值的确定方法： 
方法１：“关键点对等法”。确定了ω的值之后，把已知图象上五个关键点之一的横坐标代人ωx+φ，它应与曲线ｙ＝sinx上对应五点之一的横坐标相等，由此可求得φ的值。此法最主要的是找准“对等的关键点”，我们知道曲线y＝sinx在区间[0，2π]上的第一至第五个关键点的横坐标依次为0、、π、、2π，若设所给图象与曲线y=sinx上对应五点的横坐标为XJ(J＝1,2,3,4,5),则顺次有ωx1+φ＝0、ωx2+φ＝、ωx3+φ＝π、ωx4+φ＝、ωx5+φ＝2π,由此可求出φ的值。 
方法2：“筛选选项法”，对于选择题，可根据图象的平移方向经过筛选选项来确定φ的值。 
方法3：“特殊点坐标法”。（与2中的方法2类同）。 
(四)k值的确定方法：|K|等于图象向上或向下平移的长度，图象上移时k为正值，下移时k为负值。 
另外A、ω、φ的值还可以通过“解方程（组）法”来求得。
例如：图1是函数ｙ＝2sin（ωx+φ）(ω＞０，|φ|≤)的图象，那么正确的是（   ） 

Ａ.ω＝,φ＝p   Ｂ．ω＝,φ＝－
Ｃ．ω＝２，φ＝ Ｄ．ω＝２，φ＝－
解：可用“筛选选项法”。            
题设图象可看作由y＝2sinωx的图象向左平移而得到，所以φ＞0排除B和D，由A,C知φ＝；ω值的确定可用“关键点对等法”，图1因点（,0）是“五点法”中的第五个点，∴ω·+＝2π，解得ω＝２，故选C。 
又如：图2是函数y＝Asin(ωx+φ)图象上的一段,（A＞0，ω＞0,φ∈（0，）,求该函数的解析式。

解法一：观察图象易得A＝2,∴T＝2×（-）＝π，
∴ω＝＝2,  
∴y＝2sin(2x+φ)。
下面用“关键点对等法”来求出φ的值,由2×+φ＝π（用“第三点”），得φ＝，
∴所求函数解析式为y＝2sin(2x+)。
说明：若用“第二点”，可由2×+φ＝求得φ的值；若用“第五点”，可由2×+φ＝2π，求得φ的值。 
解法二：由解法一得到T=π，ω=2后，可用“解方程组法”求得φ与A的值，
∵点（0，）及点（，0）在图象上， 
∴  
由(2)得，φ＝kπ-(k∈Z)，   
又φ∈（0，)， 
  ∴只有K＝1，得φ＝，代人（1）得A＝2。
∴所求函数解析式为 y＝2sin(2x+)。 
二、有关三角函数图像对称性方面的问题
　　函数的奇偶性表现为其图像对称性（中心对称或轴对称），三角函数的图像经过伸缩或平移后，仍具有对称的特征。一般地，基本三角函数sinx,cosx,tanx, cotx的图像具有以下对称性：
y=sinx的图像有无数条对称轴 x=kπ+π/2，无数多个对称中心（kπ,0），kΖ 。
y=cosx的图像有无数条对称轴x=kπ，无数多个对称中心〔kπ+π/2，0〕，kΖ。 
y=tanx与y=cotx的图像有无数多个对称中心〔kπ/2，0〕，kΖ。 
例如，苏教版《三角函数的图像和性质》中1·3·1中的例2：
求函数f(x)=cos2x的周期。
解：设周期为T。f(x)=cos2x=cos(2x+2π)，f(x+T)=cos2(x+T)，
由f(x)= f(x+T)得，2x+2π=2(x+T)，解得T=2π/2=π
∴函数f(x)=cos2x的周期π。
注意：①运用了换元方法，u=2x；②f(u)=cosu的(最小正)周期是2π；即cosu=cos(u+2π)；③由于cos(2x+2π) =cos2(x+T)对任一x的值都成立，所以2x+2π=2(x+T)；④f(x)= cos2x的周期与f(u)=cosu的周期是两个不同的概念。
总结：一般地，函数y=Asin(ωx+φ)及函数y=Acos(ωx+φ)（其中A，ω，φ为常数，且A≠0，ω＞0）的周期T=。
又如：已知函数y=sin(2x+)，求其图象的对称轴和对称中心。
解析：利用余弦函数的性质，由2x=kπ（k∈Z）可求得其图象的对称轴方程，由2x=kπ+（k∈Z）可求得其图象的对称中心。
解：∵y=sin（2x+）=cos2x，
∴由2x=kπ（k∈Z）得其图象的对称轴方程为x=，k∈Z；
由2x=kπ+（k∈Z）得：x=+，k∈Z，
∴其图象的对称中心为（+，0），k∈Z。
三、与三角函数的图象变换有关的问题
在三角函数图象的三种变换中，相位变换与周期变换比较复杂，稍有不慎，极易出错。关于三角函数图象变换的位移问题，只需抓住函数图象的“起点”变化，便可迎刃而解。这类问题多以选择填空的形式出现。画出三角函数y=Asin（ωx+φ）+k的图象有两种常用的方法：
（1）“五点作图法”，即令ωx+φ=0，π/2，π，3π/2，2π时，求出相对应的x的值及相应的y的值，进而列表，描点，作出函数的图象。这五个点是使得三角函数在一个周期内取得极大值与极小值，以及曲线与x轴相交的点。
（2）“图象变换法”，即三角函数y=Asin（ωx+φ）+k的图象可由函数y=sinx的图象经过平移变换，周期变换，振幅变换等得到的。
①振幅变换：由A的变化引起的。即函数y=Asinx的图象可由函数y=sinx的图象上的所有点的纵坐标伸长（A>1）或缩短。
②周期变换：由ω的变化引起的.即函数y=sinωx的图象可由函数y=sinx的图象上的所有点的横坐标伸长（0<ω<1）或缩短（ω>1）到原来的1Dω倍，纵坐标不变。
　 ③平移变换：包括左右平移（即相位变换）和上下平移。
左右平移：即函数y=sin（x+φ）的图象可由函数y=sinx的图象上的所有点向左（φ>0）或向右（φ<0）平移|φ|个单位。
上下平移：即函数y=sinx+k的图象可由函数y=sinx的图象上的所有点向上（k>0）或向下（k<0）平移|k|个单位。
周期变换和振幅变换统称为伸缩变换，在进行三角函数图象变换时，因周期变换，振幅变换，相位变换的顺序不同而产生不同的变换方式。要注意虽然各种变换的顺序可以是任意的，但在不同的变换顺序下，平移的单位可能是不同的。
例如，苏教版《三角函数的图像和性质》中1·3·3中的例1：
若函数y=3sin（2x-）表示一个振动量:
(1)求这个振动的振幅、周期、初相;
(2)不用计算机和图形计算器,画出该函数的简图。
解：(1) 函数y=3sin（2x-）的振幅为3,初相为,周期为.
(2)方法一“五点法”：
周期T=p,令X=2-则=+。
列表：

2-
0

p

2p
3sin(2-)
0
3
0
-3
0

作图：

x
1
y=sin(x-)
y=sin(2x-)
y=3sin(2x-)
y
0

方法二(先周期后相位)：
作出正弦曲线，并将曲线上每一点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），得到函数y=sin2x的图象；再将函数y=sin2x的图象向右平移个单位长度，得到函数y=3sin（2x-）的图象；再将函数y=sin（2x-）的图象上每一点的纵坐标变为原来的3倍（横坐标不变），即可得到函数y=3sin（2x-）的图象。y=sinx→y=sin2x→y=sin（2x-）→y=3sin（2x-）。
方法三(先相位后周期)：
作出正弦曲线，并将其向右平移个单位长度，得到函数y=sin（x-）的图象;再将函数y=sin（x-）图象上每一点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），得到函数y=sin（2x-）的图象;再将函数y=sin（2x-）图象上每一点的纵坐标变为原来的3倍（横坐标不变），即可得到函数y=3sin（2x-）的图象。
y=sinx→y=sin（x-）→y=sin（2x-）→y=3sin（2x-）。
总结参数A，ω，φ函数y＝Asin(ωx＋φ)的影响。
（1）振幅变化，由A的变化引起;
（2）周期变化，由ω的变化引起;
（3）相位变化，由或的变化引起。
总之，对于三角函数图像与性质部分，我们没有必要花费大量的精力在较难题上，而应把重点放在三角函数自身的性质的理解和掌握上，注重落实课本中例题习题以及其变式、组合的应用。熟练掌握正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数的性质，形状、特点，并会用五点画出函数的图象；理解图象平移变换、伸缩变换的意义，并会用这两种变换研究函数图象的变化。在教师的引导下,让学生积极、主动地提出问题,自主分析,再合作交流,达到殊途同归。
参考文献：
[1]徐勇.三角函数的图象与性质[J].数学教学通讯2011(29);
[2]段赛花.概念课之差异教学研究——三角函数的图象与性质[J].中学数学月刊2012(10);
[3]朱金祥.反比例函数的图象与性质的教学实录与反思[J].基础教育课程2013(05);
[4]李健康.浅谈如何提高高中三角函数课堂教学的有效性[J].中学数学研究(华南师范大学版).2013(11);