三角函数图象和性质.doc

三角函数专题辅导
课程安排
项目
内容
课时安排
专题辅导一
三角函数的基本性质及解题思路
5课时
专题辅导二
三角函数的图像性质及解题思路
12课时

专题辅导三

形如函数的基本性质
及解题思路

4课时
专题辅导四
综合训练
6课时
专题辅导五
结业考察
2课时
专题辅导六
数学函数学习方法及二轮复习方法探讨
2课时

制作者:刘新春

专题辅导一
三角函数的基本性质及解题思路
课时：4-5学时
学习目标：
1. 掌握常用公式的变换。
2. 明确一般三角函数化简求值的思路。
第一部分 三角函数公式　
1、两角和与差的三角函数：
　　cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβ
　　cos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβ
　　sin(α±β)=sinα·cosβ±cosα·sinβ
　　tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα·tanβ)
tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα·tanβ

2、倍角公式：
　　sin(2α)=2sinα·cosα=2/(tanα+cotα)
　　cos(2α)=(cosα)^2-(sinα)^2=2(cosα)^2-1=1-2(sinα)^2　
　　tan(2α)=2tanα/(1-tan^2α)
cot(2α)=(cot^2α-1)/(2cotα)

3、两角和与差的正弦、余弦、正切公式及倍角公式：

4、同角三角函数的基本关系式：
（1）平方关系：
（2）倒数关系：sincsc=1,cossec=1,tancot=1,
（3）商数关系：

第二部分：三角函数的化简、计算、证明的恒等变形的基本思路：
一角二名三结构
首先观察角与角之间的关系，注意角的一些常用变式，角的变换是三角函数变换的核心！第二看函数名称之间的关系，通常“切化弦”；第三观察代数式的结构特点。

基本的技巧有:
（1）巧变角（已知角与特殊角的变换、已知角与目标角的变换、角与其倍角的变换、两角与其和差角的变换. 如，，，，等）。
如：
1、已知，，那么的值是_____///
2、，且，，求///
3、已知为锐角，，，则与的函数关系为______///

(2)三角函数名互化(切割化弦)，如
1、求值///1
2、已知，求的值///

(3)公式变形使用（。如
1、A、B为锐角，且满足，则＝_____///
2、，，， ____三角形///等边

(4)三角函数次数的降升(降幂公式：，与升幂公式：，)。如
1、若，化简为_____///
2、递增区间＿＿＿＿＿＿

(5)式子结构的转化(对角、函数名、式子结构化同)。如
1、 ///
2、求证：；
3、化简： ///

(6)常值变换主要指“1”的变换（
等）。
如已知，求 （答：）

(7)正余弦“三兄妹—”的内存联系――“知一求二”。如
1、若 ，则 __
（答：)，特别提醒：这里；
2、若，求的值。 ///
3、已知，试用表示的值///

（8）、辅助角公式中辅助角的确定：(其中角所在的象限由a, b的符号确定，角的值由确定)在求最值、化简时起着重要作用。如
（1）若方程有实数解，则的取值范围是___________. ///[－2,2]
（2）当函数取得最大值时，的值是______///
（3）如果是奇函数，则= ///－2

专题辅导二
三角函数的图像性质及解题思路
课时：10课时
学习目标：
1会求三角函数的定义域
2会求三角函数的值域
3会求三角函数的周期 ：定义法，公式法，图像法。如与的周期是.
4会判断三角函数奇偶性
5会求三角函数单调区间
6对函数的要求
（1）五点法作简图
（2）会写变为的步骤
（3）会求的解析式
（4）知道，的简单性质
7知道三角函数图像的对称中心，对称轴
8能解决以三角函数为模型的应用问题

（一） 、知识要点梳理
1、正弦函数和余弦函数的图象：正弦函数和余弦函数图象的作图方法：五点法：先取横坐标分别为0，的五点，再用光滑的曲线把这五点连接起来，就得到正弦曲线和余弦曲线在一个周期内的图象。

2、正弦函数、余弦函数的性质：
（1）定义域：都是R。
（2）值域：都是，对，当时，取最大值1；当时，取最小值－1；对，当时，取最大值1，当时，取最小值－1。如
（1）若函数的最大值为，最小值为，则__，＿
或）；
（2）函数（）的值域是____/// [－1, 2]
（3）若，则的最大值和最小值分别是___、___///7，－5
（4）函数的最小值是_____，此时＝__________
（答：2；）；
（5）己知，求的变化范围///
（6），求的最值///，）
特别提醒：在解含有正余弦函数的问题时，你深入挖掘正余弦函数的有界性了吗？

3、正弦、余弦、正切函数的图像和性质

定义域
R
R

值域

R
周期性

奇偶性
奇函数
偶函数
奇函数

单调性
上为增函数；上为减函数（）
；上为增函数
上为减函数
（）

上为增函数（）

4、周期性：①，的最小正周期都是2；
②和的最小正周期都是。
如
(1)若，则＝___///—1/2
(2) 函数的最小正周期为____///
(3) 设函数，若对任意都有成立，则的最小值为____///2

5、奇偶性与对称性：
(1)正弦函数是奇函数，对称中心是，对称轴是直线；
(2)余弦函数是偶函数，对称中心是，对称轴是直线；（正(余)弦型函数的对称轴为过最高点或最低点且垂直于轴的直线，对称中心为图象与轴的交点）。如
（1）函数的奇偶性是______、
（答：偶函数）；
（2）已知函数为常数），且，则______
（答：－5）；
（3）函数的图象的对称中心和对称轴分别是_______、_______
（答：、）；
（4）已知为偶函数，求的值。
（答：）

6、单调性：
上单调递增，在单调递减；
在上单调递减，在上单调递增。特别提醒，别忘了！

7、 三角形中的有关公式：
(1)内角和定理：三角形三角和为，这是三角形中三角函数问题的特殊性，解题可不能忘记！任意两角和与第三个角总互补，任意两半角和与第三个角的半角总互余.锐角三角形三内角都是锐角三内角的余弦值为正值任两角和都是钝角任意两边的平方和大于第三边的平方.
(2)正弦定理：(R为三角形外接圆的半径).
注意：①正弦定理的一些变式：；；； ②已知三角形两边一对角，求解三角形时，若运用正弦定理，则务必注意可能有两解.
(3)余弦定理：等，常选用余弦定理鉴定三角形的形状.
(4)面积公式：（其中为三角形内切圆半径）.如中，若，判断的形状（答：直角三角形）。
特别提醒：（1）求解三角形中的问题时，一定要注意这个特殊性：；（2）求解三角形中含有边角混合关系的问题时，常运用正弦定理、余弦定理实现边角互化。
如
（1）中，A、B的对边分别是，且，那么满足条件的 A、 有一个解 B、有两个解 C、无解 D、不能确定
（答：C）；
（2）在中，A＞B是成立的_____条件
（答：充要）；
（3）在中， ，则＝_____
（答：）；
(4)在中，分别是角A、B、C所对的边，若，则＝____
（答：）；
（5）在中，若其面积，则=____
（答：）；
（6）在中，，这个三角形的面积为，则外接圆的直径是_______
（答：）；
（7）在△ABC中，a、b、c是角A、B、C的对边，= ，的最大值为
（答：）；
（8）在△ABC中AB=1，BC=2，则角C的取值范围是 ＿＿
（答：）；
（9）设O是锐角三角形ABC的外心，若，且的面积满足关系式，求（答：）．

8、反三角函数：
（1）反三角函数的定义（以反正弦函数为例）：表示一个角，这个角的正弦值为,且这个角在内。
(2)反正弦、反余弦、反正切的取值范围分别是.
在用反三角表示两异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角的平面角、直线的倾斜角、到的角、与的夹角以及两向量的夹角时，你是否注意到了它们的范围？，， ．

9、求角的方法：先确定角的范围，再求出关于此角的某一个三角函数（要注意选择，其标准有二：一是此三角函数在角的范围内具有单调性；二是根据条件易求出此三角函数值）。如
（1）若，且、是方程的两根，则求的值______
（答：）；
（2）中，，则＝_______
（答：）；
（3）若且，，求的值
（答：）.

专题辅导三
形如函数的基本性质及解题思路
课时：4课时
学习目标：
1、掌握形如函数的基本性质。
2、知道解题方法。

（一）、知识要点梳理
1、几个物理量：A：振幅； 频率（周期的倒数）；：相位；：初相；

2、函数表达式的确定：A由最值确定；由周期确定；由图象上的特殊点确定，如，的图象如图所示，则＝_____（答：）；

3、函数图象的画法：①“五点法”――设，令＝0，求出相应的值，计算得出五点的坐标，描点后得出图象；②图象变换法：这是作函数简图常用方法。

4、函数的图象与图象间的关系：①函数的图象纵坐标不变，横坐标向左（>0）或向右（<0）平移个单位得的图象；②函数图象的纵坐标不变，横坐标变为原来的，得到函数的图象；③函数图象的横坐标不变，纵坐标变为原来的A倍，得到函数的图象；④函数图象的横坐标不变，纵坐标向上（）或向下（），得到的图象。
要特别注意，若由得到的图象，则向左或向右平移应平移个单位，如
（1）函数的图象经过怎样的变换才能得到的图象？
（答：向上平移1个单位得的图象，再向左平移个单位得的图象，横坐标扩大到原来的2倍得的图象，最后将纵坐标缩小到原来的即得的图象）；
(2) 要得到函数的图象，只需把函数的图象向___平移____个单位
（答：左；）；
（3）将函数图像，按向量平移后得到的函数图像关于原点对称，这样的向量是否唯一？若唯一，求出；若不唯一，求出模最小的向量
（答：存在但不唯一，模最小的向量）；
（4）若函数的图象与直线有且仅有四个不同的交点，则的取值范围是
（答：）

附录一、三种基本变换规律：
1．平移变换规律
　　(1)水平平移：y＝f(x＋ )的图象，可由y＝f(x)的图象向左( ＞0), 或向右( ＜0)平移| |个单位得到。
　　(2)垂直平移：y＝f(x)+b的图象，可由y＝f(x)的图象向上(b＞0)或向下(b＜0)平移|b|个单位得到。
2．对称变换规律
(1) y＝－f(x)与y＝f(x)的图象关于x轴对称。
(2) y＝f(－x)与y＝f(x)的图象关于y轴对称。
(3) y＝f －1(x)与y＝f(x)的图象关于直线y＝x对称。
(4) y＝－f-1(－x)与y＝f(x) 的图象关于直线y＝－x对称。
(5) y＝－f(－x)与y＝f(x)的图象关于原点对称
3．伸缩变换规律
(1) 水平伸缩：y＝f(ωx)(ω＞0)的图象，可由y＝f(x)的图象上每点的横坐标伸长(0＜ω＜1) 或缩短( ω＞1)到原来的倍(纵坐标不变)得到。
(2) 垂直伸缩:y＝Af(x)(A＞0)的图象，可由y＝f(x)的图象上每点的纵坐标伸长(A＞1)或缩短(0＜A＜1)到原来的A倍(横坐标不变)得到。
　 注：函数y＝Asin(ωx＋ )(A＞0, ω＞0) 的图象变换规律，是上述平移变换与伸缩变换结合在一起的特殊情况，这一变换规律对一般函数y=Af(ωx＋ ) (A＞0, ω＞0)也成立。
例1：要得到函数y＝sin(2x－)的图象，只需将函数y＝sin2x的图象(　　 )
　　(A)向左平移 个单位　　 (B)向右平移个单位
　　(C)向左平移个单位　　 (D)向右平移个单位
例2：函数y＝－的图象是(　　 )

例3：如果直线l沿x轴负方向平移3个单位，再沿y轴正方向平移1个单位后，又回到原来的位置，那么直线l的斜率是(　 )
　　(A) －　　(B)－3　　(C) 　　(D)3
例4：设函数f(x)＝1－ (-1≤x≤0)，则函数y＝f －1(x)的图象是(　 )

例5：将y＝2x的图象(　 )
　　(A)先向左平行移动1个单位　　(B)先向右平行移动1个单位
　　(C)先向上平行移动1个单位　　(D)先向下平行移动1个单位
再作关于直线y＝x对称的图象，可得到y＝log2(x+1)的图象。
例6：函数y＝tan(－)在一个周期内的图象是(　 )

例7：函数y＝cos2x＋sinxcosx＋1的图象可由y＝sinx的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到？　　

5、研究函数性质的方法：类比于研究的性质，只需将中的看成中的，但在求的单调区间时，要特别注意A和的符号，通过诱导公式先将化正。如
（1）函数的递减区间是______
（答：）；
（2）的递减区间是_______
（答：）；
（3）设函数的图象关于直线对称，它的周期是，则
A、
B、在区间上是减函数
C、
D、的最大值是A
（答：C）；
（4）对于函数给出下列结论：
①图象关于原点成中心对称；
②图象关于直线成轴对称；
③图象可由函数的图像向左平移个单位得到；
④图像向左平移个单位，即得到函数的图像。
其中正确结论是_______
（答：②④）；
（5）已知函数图象与直线的交点中，距离最近两点间的距离为，那么此函数的周期是_______
（答：）

6、正切函数的图象和性质：
（1）定义域：。遇到有关正切函数问题时，你注意到正切函数的定义域了吗？
（2）值域是R，在上面定义域上无最大值也无最小值；
（3）周期性：是周期函数且周期是，它与直线的两个相邻交点之间的距离是一个周期。绝对值或平方对三角函数周期性的影响：一般说来，某一周期函数解析式加绝对值或平方，其周期性是：弦减半、切不变．既为周期函数又是偶函数的函数自变量加绝对值，其周期性不变，其它不定。 如的周期都是, 但
的周期为，而，的周期不变；
（4）奇偶性与对称性：是奇函数，对称中心是，特别提醒：正(余)切型函数的对称中心有两类：一类是图象与轴的交点，另一类是渐近线与轴的交点，但无对称轴，这是与正弦、余弦函数的不同之处。
（5）单调性：正切函数在开区间内都是增函数。但要注意在整个定义域上不具有单调性。
专题辅导四
综合训练
课时：4课时
学习目标：
1、掌握一些常见题型的解法。
（三）例题讲解
例1求函数的定义域，周期和单调区间。

例2已知函数
（1）求函数的定义域； （2） 求函数的值域； （3） 求函数的周期；
（4）求函数的最值及相应的值集合； （5）求函数的单调区间；
（6）若，求的取值范围；
（7）求函数的对称轴与对称中心；
（8）若为奇函数，，求；若为偶函数，，求。

例3．（1）将函数的图象向______平移_______个单位得到函数的图象(只要求写出一个值)
(2) 要得到的图象,可以把函数的图象向______平移_______个单位(只要求写出一个值).

例4.设,函数,已知的最小正周期为,且. (1)求和的值; (2)求的单调增区间.

例5.如下图，某地一天从6时到14时的温度变化曲线近似满足函数y=Asin(ωx+φ)+b
(1)求这段时间的最大温差
(2)写出这段曲线的函数解析式

（四）练习题
一、选择题
1.将函数的图象向左平移个单位，平移后的图象如图所示，则平移后的图象所对应函数的解析式是
A． B．
C． D．
2.设，对于函数，下列结论正确的是
A．有最大值而无最小值 B．有最小值而无最大值
C．有最大值且有最小值 D．既无最大值又无最小值
3.函数y=1+cosx的图象
（A）关于x轴对称 （B）关于y轴对称
（C）关于原点对称 （D）关于直线x=对称
4.已知函数f(x)=2sinx(>0)在区间[,]上的最小值是－2，则的最小值等于
A. B. C.2 D.3
5.设点P是函数的图象C的一个对称中心，若点P到图象C的对称轴上的距离的最小值，则的最小正周期是
A．2π 　　　　B. π 　　　　C. 　　　 D.
6.已知，函数为奇函数，则a＝( )
（A）0　　　　（B）1　　　　（C）－1　　　　（D）±1
7为了得到函数的图像，只需把函数的图像上所有的点
（A）向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变）
（B）向右平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变）
（C）向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变）
（D）向右平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变）
8.已知函数,则的值域是
(A) (B) (C) (D)
9.函数的最小正周期是（　　）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
10.函数的单调增区间为
A． B．
C． D．
11.下列函数中，图象的一部分如右图所示的是
（A） （B）
（C） （D）
12.已知函数（、为常数，，）在处取得最小值，则函数是（　　）
A．偶函数且它的图象关于点对称 　B．偶函数且它的图象关于点对称
C．奇函数且它的图象关于点对称　 D．奇函数且它的图象关于点对称
13设，那么“”是“”的（　　）
Ａ．充分而不必要条件 Ｂ．必要而不充分条件
Ｃ．充分必要条件 Ｄ．既不充分也不必要条件
14.函数y=sin2+4sinx,x的值域是
(A)［-,］ (B)［-,］ (C)［］　　 (D)［］
二、填空题
15.在的增区间是
16.满足的的集合是
17.的振幅,初相,相位分别是
18.,且是直线的倾斜角,则
19.已知函数在区间上的最小值是，则的最小值是＿＿＿＿。
20.若是偶函数，则a= .
三．解答题
22设函数
（1）用“五点法”作出在一个周期内的简图；
（2）写出它可由的图像经怎样的变化得到。

23已知函数的图像关于直线对称，求的值。

24已知（是常数
（1）若的定义域为，求的单调增区间；
（2）若时，的最大值为4，求的值。

25已知函数在同一个周期上的最高点为，最低点为。求函数解析式。

26 已知某海滨浴场的海浪高度（米）是时间（，单位小时）的函数，记作：下表是某日各时的浪高数据：
t时
0
3
6
9
12
15
18
21
24
y米
1.5
1.0
0.5
1.0
1.5
1
0.5
0.99
1.5
经长期观测，的曲线可近似地看成是函数。
（1）根据以上数据，求函数的最小正周期T，振幅A及函数表达式；
（2）依据规定，当海浪高度高于1米时才对冲浪爱好者开放。由（1）的结论，判断一天内的上午8：00时至晚上20：00时之间，有多少时间可供冲浪者进行运动？

27已知函数f(x)=A(A>0,>0,0<<函数，且y=f(x)的最大值为2，其图象相邻两对称轴间的距离为2，并过点（1，2）.
（1）求;
（2）计算f(1)+f(2)+… +f(2 008).

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