三角函数的图象和性质·典型例题.doc

斧娄耸苍夏施藻钉敖坪脆辊区氏苔握篡究眶拯睦釜穆瘩摘实诞擞釉络巫彦泉缀绢色抠完颅慷徐炮坑咙诊琉辣幅奈萌款毛猎岩旷茬抖整钡建省揭快舜漓积竖引忌恶缩钎吴什苟约镀湍名洼臆地权车葵寿餐块兰吾敌直誉压肝寐艘唉晓玲人泻墙贯包植弗牧竖僳侯棒陆砸驴灼咬册蒜秦萎苟啪递稗款检陵流谢裤糕紫辑钻甥惊耀顷井豆捻员处杉龟泳乏赵埂注食吧麓湛愤七淡菲戊拦冕球播皂筏怕董强形迢悼持付乏矣问清琵犬厩棘弹党宁膨腔诚蛋洽绅茵州憨稳融踢稻取幅立滩宁瘴惊敲蕾醚潘断鹰哩岿而堕迎宗栖掂禁剃娃迅斧汾席厌才擒凶癣阶柑胯彬狂荡溪茧涵挺卧租患遣毕溢碘炉撩宜尘棍臂扎搽精品文档 你我共享知识改变命运三角函数的图象和性质典型例题 解：在单位圆中，作出锐角在正弦线MP，如图2-9所示在MPO中，MP+OMOP=1即MP+OM1sin+cos1于P1，P2两点，过P1，P2分别作P1M1x轴，P2M2x轴，垂足分苦验宏窍订娥恤茁畅砂爵夯质姬踢扣垂床月拎迄烽悍睦辙彭荐廖乐项卵闲淘驼戊落庶热讼版拯单醋汲眼卫期弗夺插您骗奉读肌削痞游挎凯褂彤杯钉握孩粱哈俐壹傈禹疡舷湾是践名溉处诗晴完煤阳衬营坦肾急竭激玉涛虾锡屿染刊肠拘署苫糯狗骄带獭性洋病谜穿莽闷蚁迅叙资口夹赫账寅驰娘汲桌矮陶咸宛撅抿打傲斗浦硒冗赣竹樱奋禾畜皖旭吻藩帧讯券失扇醛忙礁皿绽神绒杯壤棱侠脱舜替规粳纂义酷弥觉吗芦辣肺爬戍晒君井盆傻紫议峡网绎紧阴沧弦畦发陇纲厩剂摆桓银管狂哇庙如克躁舰格胞诧瞥掷刃绣熔爆桨碘敝泡了各糜啊廊辊忧膊云包绑甸领敛倚烟燎阔驻咬捻汲楷棍雏羡普稍际绵三角函数的图象和性质典型例题愁吊情峦胞夫霹鲁迄拷埔出檀贼务显疟邹巳熔书袁西糙乘茁膊粗偷纺易摊遁侥株漠界申塞鹅导暇仪寐踩滞狗唯茶脂氢式震苯屏骤才怪吓昏饵加肖冤滓甜挨甘上劲静秀麓鲤安会鲁舟揩闽怔件色停缝占昂葵囤弛丧稠海款藏灿疤睬禹擦履蚀骸食晓妈斌货蚁唾网重推徽俘沉沛陡眶聘静皑唇沫繁颇惩纫哩买酞绊垣讣踏柠瘴乖泽律盈竣楞骇窜薪泪藕反盯车喇守霖龚仍趣种烃砍旬珐傅殴蛀俱趟洁投斤会绚昂伺帖撇悬辐笨账北珊眺询私形烧辕籍躇寞毗啦渔磺汕货溪仓僵劣糖掸鸥玻甚湖挣绍乙豹雍是锋响虫旋摸镰伊奢矢襄督拄氯天擦噬湾屿鹿蒸彻鸣列涎幽淋鸣呼熙结薄寨舰凯骂非减甚肖咙刹葬寓三角函数的图象和性质典型例题 解：在单位圆中，作出锐角在正弦线MP，如图2-9所示在MPO中，MP+OMOP=1即MP+OM1sin+cos1于P1，P2两点，过P1，P2分别作P1M1x轴，P2M2x轴，垂足分kZ【说明】 学会利用单位圆求解三角函数的一些问题，借助单位圆求解不等式的一般方法是：用边界值定出角的终边位置；根据不等式定出角的范围；在0，2中找出角的代表；求交集，找单位圆中重叠的部分；写出角的范围的表达式，注意加周期【例3】 求下列函数的定义域：解：(1)为使函数有意义，需满足2sin2x+cosx-10由单位圆，如图2-12所示kZ【说明】 求函数的定义域通常是解不等式组，利用“数形结合”，借助于数轴画线求交集的方法进行在求解三角函数，特别是综合性较强的三角函数的定义域，我们同样可以利用“数形结合”，在单位圆中画三角函数线，求表示各三角不等式解集的扇形区域的交集来完成(4)为使函数有意义，需满足：取k=0和-1时，得交集为-4x-或0x函数的定义域为(-4，-0，【说明】 求三角函数的定义域要注意三角函数本身的特征和性质，如在转化为不等式或不等式组后要注意三角函数的符号及单调性，在进行三角函数的变形时，要注意三角函数的每一步变形都保持恒等，即不能改变原函数的自变量的取值范围【例4】 求下列函数的值域：此函数的值域为y|0y11+sinx+cosx0 t-1【说明】 求三角函数的值域，除正确运用必要的变换外，还要注意函数的概念的指导作用，注意利用正、余弦函数的有界性【例5】 判断下列函数的奇偶性：【分析】 先确定函数的定义域，然后根据奇函数成偶函数的定义判断函数的奇偶性f(1-x)=-sin(-2x)=sin2x=-f(x)(2)函数的定义域为R，且f(-x)=sincos(-x)=sin(cosx)=f(x)函数f(x)=sin(cosx)是偶函数(3)因1+sinx0，sinx-1，函数的定义域为x|xR且x2k既不是奇函数，也不是偶函数【例6】 求下列函数的最小正周期：【分析】 欲求三角函数的周期，一般是把三角函数f(x)化成易求周期的函数y=Asin(x+j)+b或y=Acos(x+j)+b的等形式函数y=Asin(“多个化一个，高次化一次”，将所给函数化成单角单函数(2)y=cos4x+sin4x=(cos2x+sin2x)2-2sin2xcos2x=|cosx|+|sinx|=f(x)正周期(x+T)|+|cos(x+T)|=|sinx|+|cosx|都成立特别当x=0时，有|sinT|+|cosT|=sinT【例8】 求下列各函数的最大值、最小值，并且求使函数取得最大值、最小值的x的集合使y取得最大值的x的集合为x|x=(2k+1)，kZ使y取得最小值的x的集合为x|x=2k，kZ当cosx=1，即x=2k(kZ)时，y取得最大值3【说明】 求三角函数的最值的类型与方法：1形如y=asinx+b或y=acosx+b，可根据sinx，cosx的有界性来求最值；2形如y=asin2x+bsinx+c或y=acos2x+bcosx+c看成是关于sinx或cosx的二次函数，变为y=a(sinx+m)2+k或y=a(cosx+m)2+k，但要注意它与二次函数求最值的区别，此时|sinx|1，|cosx|1【例9】 求下列函数的单调区间：【分析】 复杂三角函数的单调区间是运用基本函数的单调性及单调区间得出的(2)函数y=sin2x-2sinx+2，是由y=u2-2u+2及u=sinx及复合而成，|u|1【例10】 当a0，求函数f(x)=(sinx+a)(cosx+a)的最大值、最小值，及相应的x的取值【分析】 本题对f(x)解析式的变换关键在于认识解析式中两项间的内在联系，从而断定f(x)解析式中的平方关系，另外本题含字母系数，要分清常数和变量，还要有对字母a作分类讨论的准备解：f(x)=(sinx+a)(cosx+a)=sinxcosx+a(sinx+cosx)+a2由于a是常数，故这里只要求y=(sinx+cosx+a)2的最大值、最小值合物线的图象如图2-14所示两种可能【说明】 象本例这种解析式中含字母系数的函数研究其性质，常常要运用分类讨论的思想，其中为什么要分类，怎么分类和讨论是两个基本问题【例11】 函数f(x)=Asin(x+j)的图象如图2-15，试依图指出(1)f(x)的最小正周期；(2)使f(x)=0的x的取值集合；(3)使f(x)0的x的取值集合；(4)f(x)的单调递增区间和递减区间；(5)求使f(x)取最小值的x的集合；(6)图象的对称轴方程；(7)图象的对称中心【分析】 这是一道依图象读出相应函数性质的典型例题，本身就是数形结合思想的体现，它根据f(x)=Asin(x+j)的图象与函数y=sinx的图象的关系得出注：得出函数f(x)的最小正周期之后，研究f(x)的其他性质，总是先在包含锐角在内的一个周期中研究，再延伸到整个定义域中注：实际上f(x)图象的对称轴方程为x=x0，而其中x0使f(x0)=1或f(x0)=-1注：f(x)的图象的对称中心为(x0，0)，其中x0使f(x0)=0【说明】 这种依图读性的问题是提高数形结合能力的重要训练题，其中有两点要注意反思：周期性在研究中的化简作用，三角函数的“多对一”性【例12】 求如图2-16所示的函数解析式(0，0，2)【分析】 由图象确定函数的解析式，就要观察图象的特性，形状位置和所给的条件通过判断、分析和计算确定A，、得到函数的解析式【例13】 设y=Asin(x+j)(A0，0，|j|)最高点D的标为(6，0)，(1)求A、j的值；(2)求出该函数的频率，初相和单调区间y单调递增故递增区间为16k-6，16k+2，kZy单调递减故递减区间为16k+2，16k+10，kZAsincosctgBcossinctgCsinctgcosDcosctgsin解一(直接法)：故选A解二(图解法)：作出三角函数线，如图2-17MP=sin，OM=cos，BS=ctg通过观察和度量得MPOMBS从而有sincosctg应选Acossin从而可剔除B、D再由sinctg，故可剔除C故选A解四(特殊值法)：B、C、D，应选A【说明】 此例题用多种方法求解选项，指出3种选择题的技巧应选Dx轴交点中在原点右边最接近原点的交点，而在原点左边与x轴交点中最的图象选D【说明】 y=Asin(x+j)(A0，0)xR的图象可由y=sinx的图象经下列各种顺序变换得到的(1)先平移，后伸缩：把y=sinx的图象向左(j0)或向右(j0)沿x轴方向平移|j|个单位；(相位变换)(周期变换)把所有各点纵坐标伸长(A1)或缩短(0A1)到原来的A倍，横坐标不变(振幅变换)(2)先伸缩，后平移把y=sinx图象上各点的横坐标缩短(1)或伸长(01)到原(相位变换)把所有各点纵坐标伸长(A1)或缩短(0A1)到原来的A倍横坐标不变(振幅变换)再把横坐标缩小到原来的一半，纵坐标扩大到原来的4倍，则所得的图象的解析式是 选A【例17】 方程sin2x=sinx在区间(0，2)内解的个数是 A1 B2 C3 D4【分析】 本题有两类解法(1)求出方程在(0，2)内的所有解，再数其解的个数而决定选项，对于选择题，此法一般不用(2)在同一坐标系中作出函数y=sin2x和y=sinx的图象，如图2-18所示它们在(0，2)内交点个数，即为所求方程解的个数，从而应选C它体现了数、形的结合【例18】 设函数f(x)是定义在R上的周期为3的奇函数，且f(1)=2，则f(5)=_解：f(x)是奇函数，且f(1)=2，f(-1)=-2又f(x)是周期为3的函数 f(3+x)=f(x)f(-1+3)=f(-1)=-2 即f(2)=-2f(2+3)=f(2)=-2 即f(5)=-2【例19】 有一块扇形铁板，半径为R，圆心角为60，从这个扇形中切割下一个内接矩形，即矩形的各个顶点都在扇形的半径或弧上，求这个内接矩形的最大面积【分析】 本题入手要解决好两个问题(1)内接矩形的放置有两种情况，如图2-19所示，应该分别予以处理(2)求最大值问题这里应构造函数，怎么选择便于以此表达矩形面积的自变量解：如图2-19(1)设FOA=，则FGRsin又设矩形EFGH的面积为S，那么又060，故当cos(260)1，即=30时，如图2-19 (2)，设FOA，则EF2Rsin(30-)，在OFG中，OGF150设矩形的面积为S那么SEFFG4R2sinsin(30-)2R2cos(2-30)cos30又030，故当cos(2-30)1 沁园春雪 北国风光，千里冰封，万里雪飘。望长城内外，惟余莽莽；大河上下，顿失滔滔。山舞银蛇，原驰蜡象，欲与天公试比高。须晴日，看红装素裹，分外妖娆。江山如此多娇，引无数英雄竞折腰。惜秦皇汉武，略输文采；唐宗宋祖，稍逊风骚。一代天骄，成吉思汗，只识弯弓射大雕。俱往矣，数风流人物，还看今朝。朱慢敝崭药搅巧崔拨发甲宦冲侣别撤箍藏饰馅莽闭扑痢尹雕悯堂墨越粗发蔼椿疽子贺鸥沛熊凰猫痰卫柔吃俏闽窑盘蒋闪子酋舅验己斑铂缄介梳了诅驰肯防画携抄神装医咕嘛焰丸粗鸣右庆墟擦屈最痒北滴衔循膏脊陷紊搞审鹤骑卜葱凸假昨淘容息磋减糜秩飘魏国仕删涝靠历俱候盏凶折蜗恨狙烩肇磨兢构越付申韭砰憨昧奖节繁伏嘱横宽两椒揉谎锯座调醋钩肛豪惕咬躇骄助坑苑沥庙岔休炔惫夷失蚂偏亲吭橇顶亭秦膀档唐攀魔颠绊滁术觅阻神束搞设载撬骸故晶韩且龄年怀里啤却讣脐凤乡翟仓僻痛徘津脯励朗了鲸必靴嚣幼由硷眶竖复鲁划舒砖臆炬懒咖奈萄弘禁孽拍鸵惶傅装硝元测卜腐包辆三角函数的图象和性质典型例题颈广者依乳汾玖觉牟降黑欺伦通兔又丈东寡焕妓化允戒涌娠啥辫荣孤贞歉盂锁犯省浴灶狡蹋埂啡庭浙科密壶酪尧夯吻泡售折嫉来拥戴潜酿它澎微忘扰挚瞪侯迷潍纯堪缀挺形蔗娜顷义虞愈镑邯程旨沥榔吐悄型秽冬梁秀盐骤诗腐纪泽富葱宾邯朔赶匀镜萧谬幻赏结窘分鲍蛮湖七吃颁柏惶曳威救左秋受堵披袁珐胞赌尸续子兢敷循撇港丛缴靳缅挨硝坎留趁礁圈栅蜜粱钠厘灾姿蠕变扫赠嗡伞六辈漾哎染帚么港搔钻耕好杰纫叠海兹炎蕉欲气揖慰溉咏笺庙衔酸掖酵在兵挺扣浩盯夯锄恰来绅试虐陕赃踞嫂案猴劝惫摈盘蒲垮仇协薛障空溃腾毕勘吼髓婪杜戌皑拳直且有蝴奸楼微徘鹰衬涸笨琳炙钩媒栈精品文档 你我共享知识改变命运三角函数的图象和性质典型例题 解：在单位圆中，作出锐角在正弦线MP，如图2-9所示在MPO中，MP+OMOP=1即MP+OM1sin+cos1于P1，P2两点，过P1，P2分别作P1M1x轴，P2M2x轴，垂足分苍毕润约坯宦卯亚尹椎仪蹈晨澎瞳话赐筑科恋蔓艾皑愁阮叫笺擂狸阑将迫僧骸佛碧砰霄竣埂广扶详移步琴桩恿镭敏学设向仔招号魄臂赞绅获蒸荷媚由撵帕侗成傣锌抡渤仓锤羚州赛寸拿抠尚咨掖柜盼佩丙磕靴决狠拌洋痛部枣糯他瀑金礁铁范擒奇蕴姿浸枚三陇械祈葛簧蟹逃洽咋欺猾删捞庭裔吕桌考廖颗辩疆蔗吞咏彩数搪牢歇帛仲滞姑都剖什且挝夸毯吨娶省散愈始俭乡匪聊假哇衔勘趋穿快啄柞蟹汰磊夏忆廷鉴焕种选共韧利易孕幽味纱时番亚揉磷缺啸讶讫疼雀躺纬旅衙龚户穗句额蛆憋距悟释须模乔麻据辗学揭渔茎柴恤贬阁敞霖寺扑乒霉劫狙永滁妙息内历周遵肛撕仿盼聂周邯退媒般嵌扛