两角和与差的正弦、余弦和正切.doc

高三数学（理）集体备课材料 主备人：杨洪亮
两角和与差的正弦、余弦和正切
一、教学目标
1、掌握并熟练使用两角和与差的余弦、正弦、正切进行证明、化简和求值；
2、能针对不同情况进行寻找已知角之间的关系，灵活使用两角和与差的余弦、正弦、正切公式，二倍角公式进行证明、化简和求值.
二、重点、难点、易错（混）点、常考点
灵活使用两角和与差的余弦、正弦、正切进行证明、化简和求值
三、知识梳理【《创新设计》P57】

四、精选例题+变式训练
考点一　三角函数式的化简、求值问题
【例1】(1)(2012·重庆卷改编)＝________.
(2)＝________.
(3)化简：[2sin 50°＋sin 10°(1＋tan 10°)]·＝________.

规律揭示：(1)技巧：①寻求角与角之间的关系，化非特殊角为特殊角；
②正确灵活地运用公式，通过三角变换消去或约去一些非特殊角的三角函数值；
③一些常规技巧：“1”的代换、和积互化等．
(2)常用方法：异名三角函数化为同名三角函数，异角化为同角，异次化为同次，切化弦，特殊值与特殊角的三角函数互化．
【训练1】求值：

【训练2】化简：（1） (其中：0<θ<π)；
（2）.

考点二　三角函数的给角求值与给值求角问题
【例2】(1)已知cos α＝，cos(α＋β)＝－，且α，β∈，求cos(α－β)的值．
(2)已知0<β<<α<π，且cos＝－，sin＝，求cos(α＋β)的值；
(3)已知α，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝，tan β＝－，求2α－β的值．

规律揭示：(1) 解题的关键是找出条件中的角与结论中的角的联系，通过适当地拆角、凑角来利用所给条件．常见的变角技巧有：＝－；α＝(α－β)＋β等；＋α＝－；15°＝45°－30°等．
(2)给值求值问题一般是正用公式将所求“复角”展开，看需要求相关角的哪些三角函数值，然后根据角的范围求出相应角的三角函数值，代入展开式即可．
(3)通过求所求角的某种三角函数值来求角，关键点在选取函数，常遵照以下原则：①已知正切函数值，选正切函数；②已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数；若角的范围是，选正、余弦皆可；若角的范围是(0，π)，选余弦较好；若角的范围为，选正弦较好．
【训练1】已知cos α＝，cos(α－β)＝，且0<β<α<.
(1)求tan 2α的值； (2)求β.

【训练2】(2012·江苏卷)设α为锐角，若cos＝，则sin的值为________．

考点三 三角变换的简单应用
【例3】已知f(x)＝sin2x－2sin·sin.
(1)若tan α＝2，求f(α)的值； (2)若x∈，求f(x)的取值范围．

规律揭示：(1)将f(x)化简是解题的关键，本题中巧妙运用“1”的代换技巧，将sin 2α，cos 2α化为关于正切tan α的关系式，为第(1)问铺平道路．
(2)把形如y＝asin x＋bcos x化为y＝sin(x＋φ)，可进一步研究函数的周期、单调性、最值与对称性．
【训练1】已知函数f(x)＝4cos x·sin－1.
(1)求f(x)的最小正周期； (2)求f(x)在区间上的最大值和最小值．

【训练2】已知的三个内角对应的边长分别是，向量与向量的夹角的余弦值为.
（1）求角的大小； （2）若的外接圆的半径为，求的范围.

五、小结【方法规律、结论的归纳、提升】
1．重视三角函数的“三变”：“三变”是指“变角、变名、变式”；变角：对角的分拆要尽可能化成同名、同角、特殊角；变名：尽可能减少函数名称；变式：对式子变形一般要尽可能有理化、整式化、降低次数等．在解决求值、化简、证明问题时，一般是观察角度、函数名、所求(或所证明)问题的整体形式中的差异，再选择适当的三角公式恒等变形．
2．已知和角函数值，求单角或和角的三角函数值的技巧：把已知条件的和角进行加减或二倍角后再加减，观察是不是常数角，只要是常数角，就可以从此入手，给这个等式两边求某一函数值，可使所求的复杂问题简单化．
3．熟悉三角公式的整体结构，灵活变换．本节要重视公式的推导，既要熟悉三角公式的代数结构，更要掌握公式中角和函数名称的特征，要体会公式间的联系，掌握常见的公式变形，倍角公式应用是重点，涉及倍角或半角的都可以利用倍角公式及其变形．　
六、课后反思
（1）本节课我回顾了哪些知识：

（2）本节课我重新认识了哪些道理：

（3）本节课学习中还存在哪些不足：

备用题：
1、求值： .
2、求值： .
3、已知.
（1）求的值； （2）求的值.
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