学案23两角和与差的正弦、余弦、正切.doc

镇江市丹徒高级中学◆2015高三数学一轮复习理科◆导学案 班级：高三 班 学号 姓名_____________
总课题
高三一轮复习---第四章 三角函数
总课时

第5、6课时
课 题
4.3两角和与差的正弦、余弦、正切
课型
复习课
教 学
目 标
1.了解两角差的余弦公式的推导.
2.能利用两角差的余弦公式导出两角和（差）的正弦、正切公式.
3.能熟记二倍角的正弦、余弦、正切公式，并熟练应用
4.熟悉公式的正用、逆用、变形应用．
教 学
重 点
1.两角和与差的正弦、余弦、正切公式的应用
2.熟练应用二倍角的正弦、余弦、正切公式
教 学
难 点
同上
学 法
指 导
讲练结合
教 学
准 备
导学案导学 《步步高》一轮复习资料 自主学习
高 考
要 求
两角和（差）的正弦、余弦及正切 C
教 学 过 程
师 生 互 动
个案补充
第1课时：
一、基础知识梳理
1．(1)两角和与差的余弦
cos(α＋β)＝____________________________________，
cos(α－β)＝____________________________________.
(2)两角和与差的正弦
sin(α＋β)＝_____________________________________，
sin(α－β)＝_____________________________________.
(3)两角和与差的正切 (α，β，α＋β，α－β均不等于kπ＋，k∈Z)
tan(α＋β)＝_____________________________________，
tan(α－β)＝_____________________________________.
其变形为：
tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)，
tan α－tan β＝tan(α－β)(1＋tan αtan β)．
(4) 二倍角公式
sin 2α＝ ；
cos 2α＝ ＝ ＝ ；
tan 2α＝ .
(5) 降幂公式
；

(6)二倍角切化弦公式

2．辅助角公式
辅助角公式：
(其中,辅助角所在象限由点所在的象限决定, ).

二、基础练习训练
1.判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)两角和与差的正弦、余弦公式中的角α，β是任意的. (　 　)
(2)存在实数α，β，使等式sin(α＋β)＝sin α＋sin β成立. (　 　)
(3)在锐角△ABC中，sin Asin B和cos Acos B大小不确定. (　 　)
(4)当α＋β＝时，(1＋tan α)(1＋tan β)＝2. (　 　)
2. cos 43°cos 77°＋sin 43°cos 167°的值为________．
3 .(2013·课标全国Ⅱ)设θ为第二象限角，若tan＝，则sin θ＋cos θ＝ .
4. (2012·江西改编)若＝，则tan 2α等于 .
5．已知锐角α，β满足sin α＝，cos β＝，则α＋β＝ .
6．
7．； ；
cos＋sin＝________.
三、典型例题分析
题型一: 三角函数式的化简与给角求值
例1：(1) 的值为_________.
(2) 已知为第二象限的角，，为第一象限的角，．则的值为____________.
(3) 化简：

(4)求值：

变式训练：
(1) 的值是 .
(2) 求值： ； ．

第二课时：
题型二: 三角函数的给值求值
例2：(1)已知0<β<<α<π，且cos＝－，sin＝，求cos(α＋β)的值；

(2)已知锐角α，β满足sin (α+β)＝，sinβ＝，求的值.

变式训练：
(1)已知0<β<<α<，cos＝，sin＝，求sin(α＋β)的值．

(2) (2012·江苏)设α为锐角，若cos＝，则sin的值为 .
(3) (2010·广州高三二模)已知tan＝2，tan β＝.
(1)求tan α的值； (2)求的值．

题型三: 三角函数的给值求角
例3：(1)已知sin α＝，sin(α－β)＝－，α，β均为锐角，则角β等于 .
(2)已知，且均为锐角，则=______.
(3) 已知，且均为钝角，求的值.

变式训练：
(1)已知α，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝，tan β＝－，求2α－β的值.

(2)（2012江苏高考15改编）在中，已知且若求A的值．

题型四　三角变换的简单应用
例4：已知函数，
求（1）函数的单调增区间；（2）已知，且，求的值。

变式训练：
(2013·北京)已知函数f(x)＝(2cos2x－1)·sin 2x＋cos 4x.
(1)求f(x)的最小正周期及最大值；
(2)若α∈，且f(α)＝，求α的值.

五、课堂总结：

六、教（学）反思：

七、课后作业
1、《步练》P243 A组；
2、一轮复习作业纸。

课后作业
一轮复习作业纸： 4.3两角和与差的正弦、余弦、正切
一、填空题
1. 已知a∈(－，0)，sin α＝－，则tan(α＋)＝______________.

2.

3. 已知tan α、tan β是方程x2＋3x＋4＝0的两根，且α、β∈，则tan(α＋β)＝__________，
α＋β的值为________．

4．在△ABC中，已知三个内角A，B，C成等差数列，则tan ＋tan ＋tan tan 的值为 .

5. 若0<α<，－<β<0，cos(＋α)＝，cos(－)＝，则cos(α＋)等于 .

6. = ．

7．若，则= ．

8．定义运算＝ad－bc，若cos α＝，＝，0<β<α<，则β＝ .

二、解答题
9． 设=，=，，，求，。

10. 已知tan α＝－，cos β＝，α∈(，π)，β∈(0，)，求tan(α＋β)的值，并求出α＋β的值.

总课题
高三一轮复习---第四章 三角函数
总课时

第5、6课时
课 题
4.3两角和与差的正弦、余弦、正切
课型
复习课
教 学
目 标
1.了解两角差的余弦公式的推导.
2.能利用两角差的余弦公式导出两角和（差）的正弦、正切公式.
3.能熟记二倍角的正弦、余弦、正切公式，并熟练应用
4.熟悉公式的正用、逆用、变形应用．
教 学
重 点
1.两角和与差的正弦、余弦、正切公式的应用
2.熟练应用二倍角的正弦、余弦、正切公式
教 学
难 点
同上
学 法
指 导
讲练结合
教 学
准 备
导学案导学 《步步高》一轮复习资料 自主学习
高 考
要 求
两角和（差）的正弦、余弦及正切 C
教 学 过 程
师 生 互 动
个案补充
第1课时：
一、基础知识梳理
1．(1)两角和与差的余弦
cos(α＋β)＝____________________________________，
cos(α－β)＝____________________________________.
(2)两角和与差的正弦
sin(α＋β)＝_____________________________________，
sin(α－β)＝_____________________________________.
(3)两角和与差的正切 (α，β，α＋β，α－β均不等于kπ＋，k∈Z)
tan(α＋β)＝_____________________________________，
tan(α－β)＝_____________________________________.
其变形为：
tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)，
tan α－tan β＝tan(α－β)(1＋tan αtan β)．
(4) 二倍角公式
sin 2α＝ ；
cos 2α＝ ＝ ＝ ；
tan 2α＝ .
(5) 降幂公式
；

(6)二倍角切化弦公式

2．辅助角公式
辅助角公式：
(其中,辅助角所在象限由点所在的象限决定, ).

二、基础练习训练
1.判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)两角和与差的正弦、余弦公式中的角α，β是任意的. (　 　)
(2)存在实数α，β，使等式sin(α＋β)＝sin α＋sin β成立. (　 　)
(3)在锐角△ABC中，sin Asin B和cos Acos B大小不确定. (　 　)
(4)当α＋β＝时，(1＋tan α)(1＋tan β)＝2. (　 　)
2. cos 43°cos 77°＋sin 43°cos 167°的值为________．
3 .(2013·课标全国Ⅱ)设θ为第二象限角，若tan＝，则sin θ＋cos θ＝ .
4. (2012·江西改编)若＝，则tan 2α等于 .
5．已知锐角α，β满足sin α＝，cos β＝，则α＋β＝ .
6．
7．； ；
cos＋sin＝________.
三、典型例题分析
题型一: 三角函数式的化简与给角求值
例1：(1) 的值为_________.
(2) 已知为第二象限的角，，为第一象限的角，．则的值为____________.
(3) 化简：
方法1：学生说，由于15°＝45°－30°，所以求出sin15°，cos15°的值代入即得：原式＝－．
方法2：学生说，由于＝tan(－α)，所以，想起在原式分子、分母上同除以sin15°，原式＝＝－tan(45°－15°)＝－ ．
方法3：由于sin15°－cos15°＝sin(15°－45°)＝－sin30°，
sin15°＋cos15°＝cos(45°－15°)＝cos30°，所以，原式＝－tan30°＝－．
方法4：由于(sin15°－cos15°)×(sin15°＋cos15°)＝sin215°－cos215°＝－cos30°，所以在在原式分子、分母上同乘以(sin15°－cos15°)，原式＝＝＝－．
方法5：分子分母平方，得()2＝＝，
因为＜0，所以＝－．

(4)求值：

变式训练：
(1) 的值是 .
(2) 求值： ； ．

第二课时：
题型二: 三角函数的给值求值
例2：(1)已知0<β<<α<π，且cos＝－，sin＝，求cos(α＋β)的值；

(2)已知锐角α，β满足sin (α+β)＝，sinβ＝，求的值.

变式训练：
(1)已知0<β<<α<，cos＝，sin＝，求sin(α＋β)的值．

(2) (2012·江苏)设α为锐角，若cos＝，则sin的值为 .
(3) (2010·广州高三二模)已知tan＝2，tan β＝.
(1)求tan α的值； (2)求的值．

题型三: 三角函数的给值求角
例3：(1)已知sin α＝，sin(α－β)＝－，α，β均为锐角，则角β等于 .
(2)已知，且均为锐角，则=______.
(3) 已知，且均为钝角，求的值.
变式训练：
(1)已知α，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝，tan β＝－，求2α－β的值.
(2)（2012江苏高考15改编）在中，已知且若求A的值．

题型四　三角变换的简单应用
例4：已知函数，
求（1）函数的单调增区间；（2）已知，且，求的值。

变式训练：
(2013·北京)已知函数f(x)＝(2cos2x－1)·sin 2x＋cos 4x.
(1)求f(x)的最小正周期及最大值；
(2)若α∈，且f(α)＝，求α的值.
解　(1)f(x)＝(2cos2x－1)sin 2x＋cos 4x
＝cos 2x·sin 2x＋cos 4x
＝(sin 4x＋cos 4x)＝sin
∴f(x)的最小正周期T＝，最大值为.
(2)由f(α)＝，得sin＝1.
∵α∈，则<4α＋<
所以4α＋＝π，故α＝π.

五、课堂总结：

六、教（学）反思：

七、课后作业
1、《步练》P243 A组；
2、一轮复习作业纸。

课后作业
一轮复习作业纸： 4.3两角和与差的正弦、余弦、正切
一、填空题
1. 已知a∈(－，0)，sin α＝－，则tan(α＋)＝______________.

2.

3. 已知tan α、tan β是方程x2＋3x＋4＝0的两根，且α、β∈，则tan(α＋β)＝__________，
α＋β的值为________．

4．在△ABC中，已知三个内角A，B，C成等差数列，则tan ＋tan ＋tan tan 的值为 .

5. 若0<α<，－<β<0，cos(＋α)＝，cos(－)＝，则cos(α＋)等于 .

6. = ．

7．若，则= ．

8．定义运算＝ad－bc，若cos α＝，＝，0<β<α<，则β＝ .
答案　

二、解答题
9． 设=，=，，，求，。
10. 已知tan α＝－，cos β＝，α∈(，π)，β∈(0，)，求tan(α＋β)的值，并求出α＋β的值.
解　由cos β＝，β∈(0，)，
得sin β＝，tan β＝2.
∴tan(α＋β)＝＝＝1.
∵α∈(，π)，β∈(0，)，∴<α＋β<，
∴α＋β＝.

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