两角和与差的正弦余弦和正切公式.doc

配餐作业(二十一)　两角和与差的正弦、余弦和正切公式
(时间：40分钟)
一、选择题
1．(2016·衡阳二联)＝(　　)
A．－ B．－1
C. D．1
解析　原式＝2×＝
2×＝2sin30°＝1，故选D。
答案　D
2．(2016·广州二测)已知cos＝，则
sin的值是(　　)
A. B.
C．－ D．－
解析　sin＝sin＝
cos＝。故选A。
答案　A
3．(2016·河南适应性测试)已知tan＝，则的值为(　　)
A. B．2
C．2 D．－2
解析　由tan＝＝，解得tanα＝3，所以＝＝＝2，故选B。
答案　B
4．(2016·陕西二检)若tanα＝，则sin4α－cos4α的值为(　　)
A．－ B.
C. D．－
解析　∵tanα＝，∴sin4α－cos4α＝(sin2α＋cos2α)·(sin2α－cos2α)＝＝－，故选D。
答案　D
5．(2017·福建模拟)已知sin＝，则cosx＋cos的值为(　　)
A．－ B.
C．－ D.
解析　因为sin＝sinx＋cosx＝，所以cosx＋cos＝cosx＋cosx＋sinx＝cosx＋sinx＝＝，故选B。
答案　B
6．(2016·沈阳三模)已知θ∈且sinθ＋cosθ＝a，其中a∈(0,1)，则tanθ的可能取值是(　　)
A．－3 B．3或
C．－ D．－3或－
解析　方法一：由sinθ＋cosθ＝a可得2sinθ·cosθ＝a2－1，由a∈(0,1)及θ∈，得sinθ·cosθ<0且|sinθ|<|cosθ|，θ∈，从而tanθ∈(－1,0)，故选C。
方法二：用单位圆中三角函数线的知识可知θ∈，从而tanθ∈(－1,0)，故选C。
答案　C
二、填空题
7．已知cosθ＝－，θ∈，则sin的值为________。
解析　由cosθ＝－，θ∈得sinθ＝－＝－，故sin＝sinθcos－cosθsin＝－×－×＝。
答案　
8．(2016·浙江高考)已知2cos2x＋sin2x＝Asin(ωx＋φ)＋b(A>0)，则A＝________，b＝________。
解析　由于2cos2x＋sin2x＝1＋cos2x＋sin2x
＝sin(2x＋)＋1，所以A＝，b＝1。
答案　　1
9．(2016·全国卷Ⅰ)已知θ是第四象限角，且sin＝，则tan＝________。
解析　方法一：因为sin＝，所以
cos＝sin＝sin＝，因为θ为第四象限角，所以－＋2kπ<θ<2kπ，k∈Z，所以－＋2kπ<θ－<2kπ－，k∈Z，
所以sin＝－ ＝－，
所以tan＝＝－。
方法二：因为θ是第四象限角，且sin＝，所以θ＋为第一象限角，所以cos＝，所以
tan＝＝＝－＝－。
答案　－
10．(2016·衡水二调)若tanα＋＝，α∈，则sin＋2coscos2α的值为________。
解析　∵tanα＋＝，
∴(tanα－3)(3tanα－1)＝0，∴tanα＝3或。
∵α∈，∴tanα>1，∴tanα＝3，
sin＋2coscos2α＝sin2α＋cos2α＋＝(sin2α＋2cos2α＋1)＝
＝＝0。
答案　0
三、解答题
11．(2016·衡水调研)已知α∈，且sin＋cos＝。
(1)求cosα的值；
(2)若sin(α－β)＝－，β∈，求cosβ的值。
解析　(1)由sin＋cos＝得1＋sinα＝，所以sinα＝，因为α∈，所以cosα＝－。
(2)由题意知α－β∈，因为sin(α－β)＝
－，所以cos(α－β)＝，所以cosβ＝cos[α－(α－β)]＝cosαcos(α－β)＋sinαsin(α－β)＝－×＋×＝－。
答案　(1)－　(2)－
12．已知函数f(x)＝2sinxcosx，过两点A(t，f(t))，B(t＋1，f(t＋1))的直线的斜率记为g(t)。
(1)求g(0)的值；
(2)写出函数g(t)的解析式，求g(t)在上的取值范围。
解析　(1)由题意知，f(x)＝sinx，
则g(0)＝＝sin－sin0＝。
(2)由题意知g(t)＝＝sin－sint＝sintcos＋costsin－sint＝
－sint＋cost＝－sin。
因为t∈，所以t－∈，
所以sin∈，
所以g(t)在上的取值范围是。
答案　(1)　(2)
(时间：20分钟)
1．若sinθ＋cosθ＝，则tan的值是(　　)
A．1 B．－3－
C．－1＋ D．－2－
解析　∵sinθ＋cosθ＝，
∴sin2θ＋2sinθcosθ＋cos2θ＝2，∴sin2θ＝1，
∴2θ＝2kπ＋，k∈Z，θ＝kπ＋，k∈Z，tanθ＝1。
∴tan＝＝＝－2－。故选D。
答案　D
2．(2017·石家庄模拟)设α，β∈[0，π]，且满足sinαcosβ－cosαsinβ＝1，则sin(2α－β)＋sin(α－2β)的取值范围为(　　)
A．[－，1] B．[－1，]
C．[－1,1] D．[1，]
解析　∵sinαcosβ－cosαsinβ＝1⇒sin(α－β)＝1，α，β∈[0，π]，∴α－β＝，
∴⇒≤α≤π，
∴sin(2α－β)＋sin(α－2β)＝sin＋sin(α－2α＋π)＝sinα＋cosα＝sin。
∵≤α≤π，∴≤α＋≤π，
∴－1≤sin≤1，
即取值范围是[－1,1]，故选C。
答案　C
3．(2016·广州五校联考)函数f(x)＝4cosx·sin－1(x∈R)的最大值为________。
解析　∵f(x)＝4cosxsin－1
＝4cosx－1＝2sinxcosx＋2cos2x－1＝sin2x＋cos2x＝2sin，
∴f(x)max＝2。
答案　2
4．已知函数f(x)＝3cos(ωx＋φ)(ω>0，－<φ<0)的最小正周期为π，且其图象经过点。
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)若函数g(x)＝f，α，β∈，且g(α)＝1，g(β)＝，求g(α－β)的值。
解析　(1)依题意知，函数f(x)的最小正周期T＝＝π，解得ω＝2，所以f(x)＝3cos(2x＋φ)。
因为函数f(x)的图象经过点，
所以3cos＝0，
则2×＋φ＝kπ＋，k∈Z，即φ＝kπ－，k∈Z。
由－<φ<0，得φ＝－。
故f(x)＝3cos。
(2)依题意得g(x)＝3cos＝3cosx。
由g(α)＝3cosα＝1，得cosα＝。
由g(β)＝3cosβ＝，得cosβ＝。
因为α，β∈，
所以sinα＝＝，sinβ＝＝，
所以g(α－β)＝3cos(α－β)＝3(cosαcosβ＋sinαsinβ)＝
3×＝。
答案　(1)f(x)＝3cos　(2)