上海复旦实验中学八年级上册期末数学模拟试卷含详细答案.doc

上海复旦实验中学八年级上册期末数学模拟试卷含详细答案

一、选择题
1．若分式的值为零，则x的值为（ ）
A． B． C．2 D．2
2．已知点P在∠AOB的平分线上，点P到OA的距离为10，点Q是OB边上的任意一点，则下列结论正确的是（ ）
A．PQ＞10 B．PQ≥10 C．PQ＜10 D．PQ≤10
3．下列计算正确的是（　　）
A．（﹣1）0＝﹣1 B．（﹣1）-1＝1
C． D．（﹣a）7÷（﹣a）3＝a4
4．下列代数式变形正确的是（　　）
A． B．
C． D．
5．下列选项所给条件能画出唯一的是（ ）
A．，， B．，，
C．， D．，，
6．如图，在△ABD中，AD=AB，∠DAB=90⁰，在△ACE中，AC=AE，∠EAC=90⁰，CD，BE相交于点F，有下列四个结论：①DC=BE；②∠BDC=∠BEC；③DC⊥BE；④FA平分∠DFE．其中，正确的结论有（ ）

A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
7．已知，为内一定点，上有一点，上有一点，当的周长取最小值时，的度数是　　

A． B． C． D．
8．程老师制作了如图1所示的学具，用来探究“边边角条件是否可确定三角形的形状”问题，操作学具时，点Q在轨道槽AM上运动，点P既能在以A为圆心、以8为半径的半圆轨道槽上运动，也能在轨道槽QN上运动，图2是操作学具时，所对应某个位置的图形的示意图．

有以下结论：
①当∠PAQ=30°，PQ=6时，可得到形状唯一确定的△PAQ
②当∠PAQ=30°，PQ=9时，可得到形状唯一确定的△PAQ
③当∠PAQ=90°，PQ=10时，可得到形状唯一确定的△PAQ
④当∠PAQ=150°，PQ=12时，可得到形状唯一确定的△PAQ

其中所有正确结论的序号是( )
A．②③ B．③④ C．②③④ D．①②③④
9．对于两个不相等的实数a，b，我们规定符号Max(a，b)表示a，b中的较大的值，如Max(2，4)=4，按照这个规定，方程Max( ， )=1- 的解是( )
A．x=4 B．x=5 C．x=4或x=5 D．无实数解
10．下列计算正确的是( )
A．a2+a3=a5 B．a6÷a2=a3 C．(a2)3=a6 D．2a×3a=6a
二、填空题
11．若，则分式的值为_____．
12．如图,△ABE和△ACD是△ABC分别以AB、AC为对称轴翻折180°形成的,若∠1:∠2:∠3=29:4:3,则∠的度数为_______.

13．若3m＝2，9n＝10，则3m﹣2n＝_____．
14．如图，在△ABC中，已知点D、E、F分别为BC、AD、CE的中点，且S△ABC＝1cm2，则S△BEF＝_____cm2．

15．如图，在长方形网格中，每个小长方形的长为，宽为，,两点在网格格点上，若点也在网格格点上，以,,为顶点的三角形的面积为，则满足条件的点有______个．

16．若正多边形的内角和等于，那么它的每一个外角是 __________
17．如图，是中的平分线，是的外角的平分线，如果，则____________．

18．在△ABC中，已知∠B＝50°，∠C＝60°，AE⊥BC于E，AD平分∠BAC，则∠DAE的度数是_____．

19．已知x2+3x+5的值为3，则代数式3x2+9x−1的值为_________．
20．一个多边形的每个外角的度数都是60°，则这个多边形的内角和为______．
三、解答题
21．化简：（1）；
（2）
22．已知：如图，在中，，，

（1）作的平分线，交于点；作的中点；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法和证明）
（2）连接，求证：．
23．如图，在△ABC中，已知AB＝AC，∠BAC＝90°，AH是△ABC的高，AH＝4 cm，BC＝8 cm，直线CM⊥BC，动点D从点C开始沿射线CB方向以每秒3厘米的速度运动，动点E也同时从点C开始在直线CM上以每秒1厘米的速度向远离C点的方向运动，连接AD、AE，设运动时间为t（t＞0）秒．
（1）请直接写出CD、CE的长度（用含有t的代数式表示）：CD＝　 　cm，CE＝　 　cm；
（2）当t为多少时，△ABD的面积为12 cm2？
（3）请利用备用图探究，当t为多少时，△ABD≌△ACE？并简要说明理由．

24．数学课堂上，老师提出问题：可以通过通分将两个分式的和表示成一个分式的形式，是否也可以将一个分式表示成两个分式和的形式？其中这两个分式的分母分别为x+1和x-1,小明通过观察、思考，发现可以用待定系数法解决上面问题.具体过程如下：
设
则有
故此 解得
所以=
问题解决：
（1）设，求A、B．
（2）直接写出方程 的解.
25．如图，四边形ABCD是长方形，E是边CD的中点，连接AE并延长交边BC的延长线于F，过点E作AF的垂线交边BC于M，连接AM．
（1）请说明 ΔADE ≌ ΔFCE；
（2）试说明AM = BC + MC；
（3）设S△AEM = S1，S△ECM = S2，S△ABM = S3，试探究S1，S2，S3三者之间的等量关系，并说明理由．

26．已知ΔABC是等腰三角形．
（1）若∠A = 100°，求∠B的度数；
（2）若∠A = 70°，求∠B的度数；
（3）若∠A =(45°<< 90°)，过顶点B的角平分线BD与过顶点C的高CE交于点F，求∠BFC的度数(用含的式子表示)．
27．（探究）如图1，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，把图1中的阴影部分拼成一个长方形（如图2所示），通过观察比较图2与图1中的阴影部分面积，可以得到乘法公式　 　．（用含a，b的等式表示）
（应用）请应用这个公式完成下列各题：
（1）已知4m2＝12+n2，2m+n＝4，则2m﹣n的值为　 　．
（2）计算：20192﹣2020×2018．
（拓展）计算：1002﹣992+982﹣972+…+42﹣32+22﹣12．

28．如图，在△ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC
（1）若∠B=70°，∠C=30°，求；
①∠BAE的度数．
②∠DAE的度数．
（2）探究：如果只知道∠B=∠C+40°，那么能求岀∠DAE的度数吗？若能，请你写出求解过程；若不能，请说明理由．

29．已知，，点在上，点在上．
（1）如图1中，的数量关系为：________；（不需要证明）
如图2中，的数量关系为：__________；（不需要证明）

（2）如图3中，平分，平分，且，求的度数；
（3）如图4中，，平分，平分，且，则的大小是否发生变化，若变化，请说明理由，若不变化，求出的度数．
30．如图，，点在直线上，射线经过点，平分交于点．

（1）求证：；
（2）若，求的度数．

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一、选择题

1．B
解析：B
【解析】
【分析】
直接利用分式的值为零则分子为零，分母不为零进而得出答案．
【详解】
解：∵分式的值为0，
∴|x|-2=0，且x-1≠0，
解得：x=．
故选：B．
【点睛】
本题考查分式值为零的条件，解题关键是熟练掌握分式值为零的条件．
2．B
解析：B
【解析】
【分析】
根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得点P到OB的距离为10，再根据垂线段最短解答．
【详解】
解：∵点P在∠AOB的平分线上，点P到OA边的距离等于10，
∴点P到OB的距离为10，
∵点Q是OB边上的任意一点，
∴PQ≥10．
故选B．
【点睛】
本题考查角平分线的性质；垂线段最短．
3．D
解析：D
【解析】
【分析】
分别根据0指数幂、负整数指数幂及同底数幂的除法法则进行逐一计算即可．
【详解】
解：A、错误，（﹣1）0＝1；
B、错误，（﹣1）﹣1＝﹣1；
C、错误，；
D、正确．
故选：D．
【点睛】
本题考查的知识点为：
（1）0指数幂：任何非0数的0次幂等于1；
（2）负整数指数幂：负整数指数幂等于对应的正整数指数幂的倒数；
（3）同底数幂的除法法则：底数不变，指数相减．
4．D
解析：D
【解析】
【分析】
利用分式的基本性质对四个选项一一进行恒等变形，即可得出正确答案.
【详解】
解：A.，故本选项变形错误；
B. ，故本选项变形错误；
C.，故本选项变形错误；
D.，故本选项变形正确，
故选D.
【点睛】
本题考查了分式的基本性质.熟练应用分式的基本性质对分式进行约分和通分是解题的关键.
5．B
解析：B
【解析】
【分析】
利用全等三角形的判定方法以及三角形三边关系分别判断得出即可．
【详解】
解：A、3+4<8，不能构成三角形，故A错误；
B、，，，满足ASA条件，能画出唯一的三角形，故B正确；
C、，，不能画出唯一的三角形，故C错误；
D、，，，不能画出唯一的三角形，故D错误；
故选：B.
【点睛】
此题主要考查了全等三角形的判定以及三角形三边关系，正确把握全等三角形的判定方法是解题关键．
6．B
解析：B
【解析】
【分析】
根据∠BAD=∠CAE=90°，结合图形可得∠CAD=∠BAE，再结合AD=AB，AC=AE，利用全等三角形的判定定理可得△CAD≌△EAB，再根据全等三角形的性质即可判断①；根据已知条件，结合图形分析，对②进行分析判断，设AB与CD的交点为O，由（1）中△CAD≌△BAE可得∠ADC=∠ABE，再结合∠AOD=∠BOF，即可得到∠BFO=∠BAD=90°，进而判断③；对④，可通过作△CAD和△BAE的高，结合全等三角形的性质得到两个高之间的关系，再根据角平分线的判定定理即可判断．
【详解】
∵∠BAD=∠CAE=90°，
∴∠BAD+∠BAC=∠CAE+∠BAC，
∴∠CAD=∠BAE，
又∵AD=AB，AC=AE，
∴△CAD≌△EAB（SAS）,
∴DC=BE．
故①正确．
∵△CAD≌△EAB，
∴∠ADC=∠ABE．
设AB与CD的交点为O．

∵∠AOD=∠BOF，∠ADC=∠ABE，
∴∠BFO=∠BAD=90°，
∴CD⊥BE．
故③正确．
过点A作AP⊥BE于P，AQ⊥CD于Q．

∵△CAD≌△EAB，AP⊥BE，AQ⊥CD，
∴AP=AQ，
∴AF平分∠DFE．
故④正确．
②无法通过已知条件和图形得到．
故选Ｂ．
【点睛】
本题考查三角形全等的判定和性质，掌握三角形全等的判定方法和性质应用为解题关键．
7．C
解析：C
【解析】
【分析】
设点关于、对称点分别为、，当点、在上时，周长为，此时周长最小．根据轴对称的性质，可求出的度数．
【详解】
分别作点关于、的对称点、，连接、、，交、于点、，连接、，此时周长的最小值等于．
由轴对称性质可得，，，，
，
，
又，，
．
故选：．

【点睛】
此题考查轴对称作图，最短路径问题，将三角形周长最小转化为最短路径问题，根据轴对称作图是解题的关键.
8．C
解析：C
【解析】
【分析】
分别在以上四种情况下以P为圆心，PQ的长度为半径画弧，观察弧与直线AM的交点即为Q点，作出后可得答案．
【详解】
如下图，当∠PAQ=30°，PQ=6时，以P为圆心，PQ的长度为半径画弧，弧与直线AM有两个交点，作出，发现两个位置的Q都符合题意，所以不唯一，所以①错误．

如下图，当∠PAQ=30°，PQ=9时，以P为圆心，PQ的长度为半径画弧，弧与直线AM有两个交点，作出，发现左边位置的Q不符合题意，所以唯一，所以②正确．

如下图，当∠PAQ=90°，PQ=10时，以P为圆心，PQ的长度为半径画弧，弧与直线AM有两个交点，作出，发现两个位置的Q都符合题意，但是此时两个三角形全等，所以形状相同，所以唯一，所以③正确．

如下图，当∠PAQ=150°，PQ=12时，以P为圆心，PQ的长度为半径画弧，弧与直线AM有两个交点，作出，发现左边位置的Q不符合题意，所以唯一，所以④正确．

综上：②③④正确．
故选C．
【点睛】
本题考查的是三角形形状问题，为三角形全等来探索判定方法，也考查三角形的作图，利用对称关系作出另一个Q是关键．
9．B
解析：B
【解析】
【分析】
抓住已知条件：规定符号Max(a，b)表示a，b中的较大的值．分情况讨论：当Max(，)=时；当Max(，)=时，分别建立关于x的方程，解方程求出x的值，检验可得方程的解．
【详解】
解：当Max(，)=时，
，
解之：x=4，
经检验x=4时方程的解，
此时，故不符合题意；
当Max(，)=时，
，
解之：x=5，
经检验x=5时方程的解，
此时，符合题意；
∴ 方程Max(，)=1- 的解是x=5．
故答案为：B．
【点睛】
本题考查了新定义运算，以及分式方程的解法，其基本思路是把方程的两边都乘以各分母的最简公分母，化为整式方程求解，求出x的值后不要忘记检验．
10．C
解析：C
【解析】
试题分析： A、a2与a3是相加，不是相乘，不能运用同底数幂的乘法计算，故本选项错误；
B、根据同底数幂相除，底数不变，指数相减，可得a6÷a2=a4，故本选项错误；
C、根据幂的乘方，底数不变，指数相乘，可得（a2）3=a6，故正确；
D、单项式乘单项式：把系数和相同字母分别相乘，只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数，作为积的一个因式．因此可得2a×3a=6a2，故本选项错误．
故选C．
考点：同底数幂的除法；幂的乘方与积的乘方
二、填空题

11．【解析】
【分析】
可根据设a＝7k，b＝8k（k≠0），然后代入分式计算即可．
【详解】
解：∵，
∴设a＝7k，b＝8k（k≠0），则有：
==．
故答案为：．
【点睛】
本题考查分式的值，属
解析：
【解析】
【分析】
可根据设a＝7k，b＝8k（k≠0），然后代入分式计算即可．
【详解】
解：∵，
∴设a＝7k，b＝8k（k≠0），则有：
==．
故答案为：．
【点睛】
本题考查分式的值，属于基础知识的考查，比较简单．
12．70°
【解析】
【分析】
根据轴对称的性质可得∠ACB=∠ACD，∠ABC=∠EBA，再根据三角形的内角和等于180°列式计算即可∠2+∠3的度数，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角
解析：70°
【解析】
【分析】
根据轴对称的性质可得∠ACB=∠ACD，∠ABC=∠EBA，再根据三角形的内角和等于180°列式计算即可∠2+∠3的度数，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和表示出∠α．
【详解】
解：由题可得，∠ACB=∠ACD，∠ABC=∠EBA，
∵∠1：∠2：∠3=29：4：3，
∴∠2+∠3=180°×=35°，
∴∠α=∠EBC+∠DCB=2（∠2+∠3）=2×35°=70°，
故答案为70°．
【点睛】
本题考查轴对称的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，三角形的内角和定理，熟记性质并表示出∠α是解题的关键．
13．【解析】
【分析】
直接利用同底数幂的除法运算法则、幂的乘方运算法则将原式变形得出答案即可．
【详解】
解：∵3m＝2，9n＝（32）n＝32n，
∴3m﹣2n＝3m÷32n
＝2÷10
＝．
故
解析：
【解析】
【分析】
直接利用同底数幂的除法运算法则、幂的乘方运算法则将原式变形得出答案即可．
【详解】
解：∵3m＝2，9n＝（32）n＝32n，
∴3m﹣2n＝3m÷32n
＝2÷10
＝．
故答案为：．
【点睛】
本题考查了同底数幂相除，幂的乘方等知识，理解好两个公式，灵活运用是解题关键．
14．【解析】
【分析】
由于D、E、F分别为BC、AD、CE的中点，可判断出AD、BE、CE、BF为△ABC、△ABD、△ACD、△BEC的中线，根据中线的性质可知将相应三角形分成面积相等的两部分，从
解析：
【解析】
【分析】
由于D、E、F分别为BC、AD、CE的中点，可判断出AD、BE、CE、BF为△ABC、△ABD、△ACD、△BEC的中线，根据中线的性质可知将相应三角形分成面积相等的两部分，从而完成解答．
【详解】
∵由于D、E、F分别为BC、AD、CE的中点
∴△ABE、△DBE、△DCE、△AEC的面积相等
S△BEC＝S△ABC＝
S△BEF＝S△BEC＝×＝
故答案为：．
【点睛】
本题考察了三角形中线的知识；求解的关键是熟练掌握三角形中线的性质，从而完成求解．
15．4
【解析】
【分析】
尝试在网格中寻找符合条件的点，总共有16个点，可以依次尝试一遍．
【详解】
根据题意，遍历网络中的所有点，发现符合条件的点C点如下图：

故答案为：4．
【点睛】
本题考查在
解析：4
【解析】
【分析】
尝试在网格中寻找符合条件的点，总共有16个点，可以依次尝试一遍．
【详解】
根据题意，遍历网络中的所有点，发现符合条件的点C点如下图：

故答案为：4．
【点睛】
本题考查在格点中找寻符合要求的点，此类题型，我们需要大胆尝试．
16．60
【解析】
【分析】
首先设此多边形为n边形，根据题意得：180（n-2）=720，即可求得n=6，再由多边形的外角和等于360°，即可求得答案．
【详解】
解：设此多边形为n边形，
根据题意得
解析：60
【解析】
【分析】
首先设此多边形为n边形，根据题意得：180（n-2）=720，即可求得n=6，再由多边形的外角和等于360°，即可求得答案．
【详解】
解：设此多边形为n边形，
根据题意得：180（n-2）=720，
解得：n=6，
∴这个正多边形的每一个外角等于：360°÷6=60°．
故答案为：60°．
【点睛】
本题考查了多边形的内角和与外角和的知识．注意掌握多边形内角和定理：（n-2）•180°，外角和等于360°．
17．60°
【解析】
【分析】
根据角平分线的定义以及一个三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和，可求出∠A的度数．
【详解】
∵BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是∠ACB的外角的平分线，
∴∠A
解析：60°
【解析】
【分析】
根据角平分线的定义以及一个三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和，可求出∠A的度数．
【详解】
∵BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是∠ACB的外角的平分线，
∴∠ABC=2∠ABP，∠ACM=2∠ACP，
又∵∠ABP=20°，∠ACP=50°，
∴∠ABC=2×20°=40°，∠ACM=2×50°=100°，
∴∠A=∠ACM-∠ABC=60°，
故答案为：60°．
【点睛】
本题考查了角平分线的定义，三角形的外角性质，掌握“一个三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和”是解题的关键．
18．5°
【解析】
【分析】
先根据三角形的内角和定理求出∠BAC，再根据角平分线的定义求出∠CAD，然后由直角三角形的两锐角互余求出∠CAE，进而可求得∠DAE的度数．
【详解】
解：∵在△ABC中，
解析：5°
【解析】
【分析】
先根据三角形的内角和定理求出∠BAC，再根据角平分线的定义求出∠CAD，然后由直角三角形的两锐角互余求出∠CAE，进而可求得∠DAE的度数．
【详解】
解：∵在△ABC中，∠B＝50°，∠C＝60°，
∴∠BAC＝180°﹣50°﹣60°＝70°，
∵AD平分∠BAC，
∴∠CAD＝∠BAC＝35°，
∵AE⊥BC于E，
∴∠CAE＝90°﹣60°＝30°，
∴∠DAE＝∠CAD﹣∠CAE＝35°﹣30°＝5°，
故答案为：5°．
【点睛】
本题考查了三角形的内角和定理、角平分线的定义、直角三角形的两锐角互余，属于基础题型，熟练掌握它们的性质及应用是解答的关键．
19．-7．
【解析】
【分析】
【详解】
解：的值为3，
，
，
，
故答案为：-7．
解析：-7．
【解析】
【分析】
【详解】
解：的值为3，
，
，
，
故答案为：-7．
20．720°
【解析】
【分析】
多边形的外角和计算公式为：边数×外角的度数=360°，根据公式即可得出多边形的边数，然后再根据多边形的内角和公式求出它的内角和，n边形内角和等于(n-2) ×180°．
解析：720°
【解析】
【分析】
多边形的外角和计算公式为：边数×外角的度数=360°，根据公式即可得出多边形的边数，然后再根据多边形的内角和公式求出它的内角和，n边形内角和等于(n-2) ×180°．
【详解】
解：∵任何多边形的外角和是360°，此正多边形每一个外角都为60°，边数×外角的度数=360°，
∴n=360°÷60°=6，
∴此正多边形的边数为6，
则这个多边形的内角和为(n-2) ×180°，
(6-2)×180°=720°，
故答案为720°．
【点睛】
本题主要考查了多边形内角和及外角和定理，熟知“任何多边形的外角和是360°，n边形内角和等于(n-2) ×180°”是解题的关键．
三、解答题

21．（1）y；（2）
【解析】
【分析】
（1）先运用完全平方公式和平方差公式化简括号内，最后运用整式除法法则计算即可；
（2）先将括号内通分计算，然后再对能因式分解的部分因式分解，最后运用整式除法法则计算即可．
【详解】
（1）原式

=y；
（2）解：原式

．
【点睛】
本题考查了整式的混合运算和分式的混合运算，掌握并灵活运用相关运算法则和计算技巧是解答本题的关键．
22．（1）见解析；（2）见解析
【解析】
【分析】
（1）①以B为圆心，任意长为半径画弧，交AB、BC于F、N，再以F、N为圆心，大于FN长为半径画弧，两弧交于点M，过B、M画射线，交AC于D，线段BD就是∠B的平分线；
②分别以A、B为圆心，大于AB长为半径画弧，两弧交于X、Y，过X、Y画直线与AB交于点E，点E就是AB的中点；
（2）首先根据角平分线的性质可得∠ABD的度数，进而得到∠ABD＝∠A，根据等角对等边可得AD＝BD，再加上条件AE＝BE，ED＝ED，即可利用SSS证明△ADE≌△BDE．
【详解】
解：（1）作出的平分线； 作出的中点．
（2）证明：，，
，
，
在和中，

．

【点睛】
此题主要考查了复杂作图，以及全等三角形的判定，关键是掌握基本作图的方法和证明三角形全等的判定方法．
23．（1）3t，t；（2）t为s或s；（3）见解析.
【解析】
【分析】
（1）根据路程=速度×时间，即可得出结果；
（2）首先求出△ABD中BD边上的高，然后根据面积公式列出方程，求出BD的值，分两种情况分别求出t的值即可；
（3）假设△ABD≌△ACE，根据全等三角形的对应边相等得出BD=CE，分别用含t的代数式表示CE和BD，得到关于t的方程，从而求出t的值．
【详解】
（1）根据题意得：CD＝3tcm，CE＝tcm；
故答案为3t，t；
（2）∵S△ABDBD•AH＝12，AH＝4，
∴AH×BD＝24，
∴BD＝6．
若D在B点右侧，则CD＝BC﹣BD＝2，t；
若D在B点左侧，则CD＝BC+BD＝14，t；
综上所述：当t为s或s时，△ABD的面积为12 cm2；
（3）动点E从点C沿射线CM方向运动2秒或当动点E从点C沿射线CM的反向延长线方向运动4秒时，△ABD≌△ACE．
理由如下：
①当E在射线CM上时，D必在CB上，则需BD＝CE．如图所示，

∵CE＝t，BD＝8﹣3t
∴t＝8﹣3t，
∴t＝2，
∵在△ABD和△ACE中，，
∴△ABD≌△ACE（SAS）．
②当E在CM的反向延长线上时，D必在CB延长线上，则需BD＝CE．如图，

∵CE＝t，BD＝3t﹣8，
∴t＝3t﹣8，
∴t＝4，
∵在△ABD和△ACE中，，
∴△ABD≌△ACE（SAS）．
【点睛】
本题是三角形综合题目，考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质及面积的计算；本题综合性强，有一定难度，熟练掌握等腰直角三角形的性质，注意分类讨论．
24．（1）A=1，B=-2；（2）
【解析】
【分析】
（1）根据题目所给方法进行求解即可；
（2）根据题目所给方法先对等号左边各式进行变形化简，最后再解分式方程即可.
【详解】
解：（1）∵，
∴，
解得；
（2）设，
则有，
∴，解得，
∴，
由（1）知，，
∴原方程可化为，
解得，
经检验，是原方程的解.
【点睛】
本题为关于分式及分式方程的创新题，此类型题重点在于理解题目所给的做题方法，并按照题目所给示例进行解答.
25．（1）见解析；（2）见解析；（3）S3=2S1-4S2，理由见解析．
【解析】
【分析】
（1）根据ASA可证得 ΔADE ≌ ΔFCE；
（2）由（1）可得AE=EF，AD=CF，根据垂直平分线的性质可得再由线段等量关系即可说明AM = BC + MC；
（3）由AE=EF得出S△ECF=S1-S2，再由底和高的倍数关系得到S△ABF=4S△ECF=4S1-4S2，从而根据S3=S△ABF-S△MAF得到结果．
【详解】
解：（1）∵E是边CD的中点，
∴DE=CE，
∵∠D=∠DCF=90°，∠DEA=∠ECF，
∴△ADE≌△FCE（ASA）；
（2）由（1）得AE=EF，AD=CF，
∴点E为AF中点，
∵ME⊥AF，
∴AM=MF，
∵MF=CF+MC，
∵AD=BC=CF，
∴MF=BC+MC，
即AM=BC+MC；
（3）S3=2S1-4S2，理由是：
由（2）可知：AE=EF，AD=BC=CF，
∴S1=S△MEF=S2+S△ECF，
∴S△ECF=S1-S2，
∵AB=2EC，BF=2CF，∠B=∠ECF=90°，
∴S△ABF=4S△ECF=4S1-4S2，
∴S3=S△ABF-S△MAF=S△ABF-2S1=2S1-4S2．

【点睛】
本题考查了长方形的性质，全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，勾股定理。熟记性质并找出三角形全等的条件是解题的关键．
26．（1）40°；（2）55°或70°或40°；（3）135°-或180°-α或90°+α．
【解析】
【分析】
（1）根据等腰三角形的性质和三角形内角和计算即可；
（2）分∠A为顶角时和∠A为底角时两种情况分别求解；
（3）主要分∠A为顶角时和∠A为底角时两种情况分别求解．
【详解】
解：（1）∵∠A=100°，
∴△ABC中，∠B=∠C，
∴∠B =；
（2）①当∠A为顶角时，∠B =；
②∠A为底角时，
若∠B为底角，
则∠B =∠A=70°，
若∠B为顶角，
则∠B =，
故∠B的度数为55°或70°或40°；
（3）①∠A为顶角时，如图，
BD平分∠ABC，CE⊥AB，
∴∠ABC=90°-，
∴∠DBC=∠ABD=∠ABC=45°-，
∴∠BFC=∠BEF+∠ABD
=90°+45°-
=135°-；

②∠A为底角时，
若∠B为顶角，如图，
∵CD⊥AB，
∴∠ACE=90°-∠A=90°-α，
∵AB=BC，BD平分∠ABC，
∴BD⊥AC，
∴∠BFC=∠ACE+∠CDF=90°-α+90°=180°-α；

若∠B为底角，如图，
∵AC=BC，
∴∠A=∠ABC=α，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠CBD=α，
∵CE⊥AB，
∴∠CEB=90°，
∴∠BFC=∠CEB+∠EBF=90°+α．

综上：∠BFC的度数为135°-或180°-α或90°+α．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质，角平分线的定义，以及三角形内角和，特别注意利用分类讨论的方法，避免漏解．
27．探究：（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2；应用：（1）3；（2）1；拓展：5050
【解析】
【分析】
探究：将两个图中阴影部分面积分别表示出来，建立等式即可；
应用：（1）利用平方差公式得出（2m+n）•（2m+n）＝4m2﹣n2，代入求值即可；
（2）可将2020×2018写成（2019+1）×（2019﹣1），再利用平法差公式求值；
拓展：利用平方差公式将1002﹣992写成（100+99）×（100﹣99），以此类推，然后化简求值．
【详解】
解：探究：图1中阴影部分面积a2﹣b2，图2中阴影部分面积（a+b）（a﹣b），
所以，得到乘法公式（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2
故答案为（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2．
应用：（1）由4m2＝12+n2得，4m2﹣n2＝12
∵（2m+n）•（2m+n）＝4m2﹣n2
∴2m﹣n＝3
故答案为3．
（2）20192﹣2020×2018
＝20192﹣（2019+1）×（2019﹣1）
＝20192﹣（20192﹣1）
＝20192﹣20192+1
＝1
拓展：1002﹣992+982﹣972+…+42﹣32+22﹣12
＝（100+99）×（100﹣99）+（98+97）×（98﹣97）+…+（4+3）×（4﹣3）+（2+1）×（2﹣1）
＝100+99+98+97+…+4+3+2+1
＝5050
【点睛】
本题考查平方差公式的应用．解题关键是熟练掌握平方差公式．
28．（1）①∠BAE=40°；②∠DAE=20°；（2）∠DAE=20°．
【解析】
【分析】
（1）①利用三角形的内角和定理求出∠BAC，再利用角平分线定义求∠BAE．②先求出∠BAD，就可知道∠DAE的度数．
（2）用∠B，∠C表示∠DAE，即可求岀∠DAE的度数．
【详解】
解：（1）①∵∠B=70°，∠C=30°，
∴∠BAC=180°-70°-30°=80°，
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE=40°；
②∵AD⊥BC，∠B=70°，
∴∠BAD=90°-∠B=90°-70°=20°，
而∠BAE=40°，
∴∠DAE=20°；
（2）∵AE为角平分线，
∴∠BAE=（180°-∠B-∠C），
∵∠BAD=90°-∠B，
∴∠DAE=∠BAE-∠BAD=（180°-∠B-∠C）-（90°-∠B）=（∠B-∠C），
又∵∠B=∠C+40°，
∴∠B-∠C=40°，
∴∠DAE=20°．
【点睛】
此题考查了三角形内角和定理，熟练运用角平分线定义和三角形的内角和定理是解题的关键．
29．（1），；（2）120°；（3）没发生变化，30°
【解析】
【分析】
（1）过作，易得，根据平行线的性质可求解；过作，易得，根据平行线的性质可求解；
（2）根据（1）的结论及角平分线的定义可得，可求解，进而可求解；
（3）根据培训心得性质及角平分线的定义可推知，进而可求解．
【详解】
解：（1）过作，如图1，

，
，
，
，
，
即．
如图2，过作，
，
，
，
，
，
即：．

故答案为；．
（2）由（1）得；．
平分，平分，
，，
，
，
，
即，
解得，
；
（3）的大小没发生变化，．
由（1）知：，
平分，平分，
，，
，
，
，
，
．
【点睛】
本题主要考查平行线的性质及角平分线的定义，作辅助线是解题的关键．
30．（1）见解析；（2）145°
【解析】
【分析】
（1）根据，可得，根据平分，可得，进而可得；
（2）根据，可得，根据平角定义可得，根据平分，可得，进而可得的度数．
【详解】
解：（1）证明：，
，
平分，
，
；
（2），
，
，
平分，
，
．
答：的度数为．
【点睛】
本题考查了平行线的性质，解决本题的关键是掌握平行线的性质．