上海民办交华中学八年级上册期末数学模拟试卷及答案.doc

上海民办交华中学八年级上册期末数学模拟试卷及答案

一、选择题
1．若分式有意义，则实数x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．我们知道，同底数幂的乘法法则为am·an=am+n（其中a≠0 ，m、n为正整数），类似地我们规定关于任意正整数m、n的一种新运算：h（m+n）=h（m）·h（n）；比如h（2）=3，则h（4）=h（2+2）=3×3=9，若h（2）=k（k≠0 ），那么h（2n）·h（2020）的结果是（ ）
A．2k+2020 B．2k+1010 C．kn+1010 D．1022k
3．如图，AB//CD，F为的平分线的交点，于点E，且EF=6，则AB与CD之间的距离是（ ）

A．6 B．8 C．10 D．12
4．下列从左到右的变形是因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
5．若中刚好有 ，则称此三角形为“可爱三角形”，并且 称作“可爱角”．现有 一个“可爱且等腰的三角形”，那么聪明的同学们知道这个三角形的“可爱角”应该是（ ）．
A．或 B．或 C．或 D．或或
6．如图，等边的边长为，是边上的中线，是上的动点，是边上一点，若，则的最小值为（ ）

A． B． C． D．
7．如图，已知∠ABC＝∠BAD，添加下列条件还不能判定△ABC≌△BAD的是（　　）

A．AC＝BD B．∠CAB＝∠DBA C．∠C＝∠D D．BC＝AD
8．下列图案中，是轴对称图形的有（ ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
9．如图将一张长方形纸的一角折叠过去，使顶点落在处，为折痕，若且为的平分线，则（ ）

A． B． C． D．
10．下列各多项式相乘：①（-2ab+5x）(5x+2ab);②(ax－y)(-ax-y);③(-ab-c)(ab-c);④(m+n)(-m-n).其中可以用平方差公式的有 （ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
二、填空题
11．若3m＝2，9n＝10，则3m﹣2n＝_____．
12．计算结果的个位数字是______________．
13．如果把中的x，y都缩小到原来的，那么分式的值变为__________．
14．如图,CA⊥BC,垂足为C,AC=2Cm,BC=6cm,射线BM⊥BQ,垂足为B,动点P从C点出发以1cm/s的速度沿射线CQ运动,点N为射线BM上一动点,满足PN=AB,随着P点运动而运动,当点P运动_______秒时，△BCA与点P、N、B为顶点的三角形全等.(2个全等三角形不重合)

15．如图是我国古代数学家杨辉最早发现的，称为“杨辉三角”，他的发现比西方要早五百年左右，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的．“杨辉三角”中有许多规律，如它的每一行的数字正好对应了（为非负整数）的展开式中按次数从大到小排列的项的系数，例如：展开式中的系数1，2，1恰好对应图中第三行的数字；展开式中的系数1，3，3，1恰好对应图中第四行的数字……．请认真观察此图，根据前面各式的规律，写出的展开式：______．

16．如图，在∠AOB 的边 OA、OB 上取点 M、N，连接 MN，P 是△MON 外角平分线的交点， 若 MN=2，S△PMN=2，S△OMN=7．则△MON 的周长是________；

17．如图，将一张长方形纸条折叠，若，则的度数为__________．

18．已知分式化简后的结果是一个整式，则常数=_____________．
19．如图，在△ABC中，BC的垂直平分线ED交AB于点E，交BC于点D，连接CE．如果△AEC的周长为12，AC=5，那么AB的长为__________．

20．如图，在△ABC中，AB＝10，AC＝6，BC＝8，将△ABC折叠，使点C落在AB边上的点E处，AD是折痕，则△BDE的周长为_____．

三、解答题
21．把下列各式分解因式：
（1）；
（2）；
22．如图，在四边形中，，的平分线交于点，交的延长线于点，．

（1）写出对由条件直接推出的相等或互补的角；
___________、_____________、_______________．
（2）与相等吗？为什么？
（3）证明：．
请在下面括号内，填上推理的根据，完成下面的证明：
，
．（①_________）；
（已证），
，（②__________）；
又（③___________），
，
（④_____________）．
23．先化简：，其中从，，中选一个恰当的数求值．
24．已知：如图，在中，，，

（1）作的平分线，交于点；作的中点；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法和证明）
（2）连接，求证：．
25．如图，点是等边三角形的边上一点，交于，延长至，使，连结交于．

（1）请先判断的形状，并说明理由．
（2）请先判断和是否相等，并说明理由．
26．如图，点B，E，C，F在一条直线上，AB=DE，AC=DF，BE=CF．试说明：
（1）；
（2）．

27．如图1，在三角形ABC中，D是BC上一点，且∠CDA＝∠CAB．（注：三角形内角和等于180°）

（1）求证：∠CDA＝∠DAB+∠DBA；
（2）如图2，MN是经过点D的一条直线，若直线MN交AC边于点E，且∠CDE＝∠CAD．求证：∠AED+∠EAB＝180°；
（3）将图2中的直线MN绕点D旋转，使它与射线AB交于点P（点P不与点A，B重合）．在图3中画出直线MN，并用等式表示∠CAD，∠BDP，∠BPD这三个角之间的数量关系，不需证明．
28．如图，在△ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC
（1）若∠B=70°，∠C=30°，求；
①∠BAE的度数．
②∠DAE的度数．
（2）探究：如果只知道∠B=∠C+40°，那么能求岀∠DAE的度数吗？若能，请你写出求解过程；若不能，请说明理由．

29．观察下列各式
（x-1）（x+1）=x2-1
（x-1）（x2+x+1）=x3-1
（x-1）（x3+x2+x+1）=x4-1
（1）根据以上规律，则（x-1）（x6+x5+x4+x3+x2+x+1）
（2）你能否由此归纳出一般规律（x-1）（xn+xn-1+…+x+1）
（3）根据以上规律求32018+32017+32016+32+3+1的值
30．如图，△ACF≌△DBE，其中点A、B、C、D在一条直线上.
（1）若BE⊥AD，∠F=62°，求∠A的大小.
（2）若AD=9cm，BC=5cm，求AB的长.

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一、选择题

1．C
解析：C
【解析】
【分析】
根据分母不能为零，可得答案．
【详解】
解：由题意，得
x+3≠0，
解得x≠-3．
故选：C．
【点睛】
本题考查了分式有意义的条件，利用分式有意义得出不等式是解题关键．
2．C
解析：C
【解析】
【分析】
根据h（2）=k（k≠0），以及定义新运算：h（m+n）=h（m）•h（n）将原式变形为kn•k1010，再根据同底数幂的乘法法则计算即可求解．
【详解】
解：∵h（2）=k（k≠0），h（m+n）=h（m）•h（n），
∴h（2）= h（1+1）=h(1) •h(1)=k（k≠0）
∴h（2n）= kn；
∴h（2n）•h（2020）=kn•k1010=kn+1010．
故选：C．
【点睛】
考查了同底数幂的乘法，定义新运算，熟练掌握运算性质和法则是解题的关键．
3．D
解析：D
【解析】
【分析】
过点作于点，交于点，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得，再根据平行线间的距离的定义解答．
【详解】
解：如图，过点作于点，交于点，
，
．
为、的平分线的交点，，
，
与之间的距离．
故选：D．

【点睛】
本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，平行线间的距离的求解，熟记性质并作出辅助线是解题的关键．
4．D
解析：D
【解析】
【分析】
根据分解因式的意义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式；进行作答即可．
【详解】
A、，结果不是几个整式乘积形式，不是因式分解，故此选项错误；
B、，这属于整式的乘法运算，故此选项错误；
C、，这属于整式的乘法运算，故此选项错误；
D、，从左到右的变形是因式分解，故此选项正确；
故选：D．
【点睛】
本题考查了因式分解的意义，解答本题的关键是熟练掌握因式分解的定义与形式．
5．C
解析：C
【解析】
【分析】
根据三角形内角和为180°且等腰三角形的两个底角相等，再结合题中一个角是另一个角的2倍即可求解．
【详解】
解：由题意可知：设这个等腰三角形为△ABC，且，
情况一：当∠B是底角时，则另一底角为∠A，且∠A=∠B=2∠C，
由三角形内角和为180°可知：∠A+∠B+∠C=180°，
∴5∠C=180°，∴∠C=36°，∠A=∠B=72°，
此时可爱角为∠A=72°，
情况二：当∠C是底角，则另一底角为∠A，且∠B=2∠A=2∠C，
由三角形内角和为180°可知：∠A+∠B+∠C=180°，
∴4∠C=180°，即∠C=45°，
此时可爱角为∠A=45°，
故选：C．
【点睛】
本题借助三角形内角和考查了新定义题型，关键是读懂题目意思，熟练掌握等腰三角形的两底角相等及三角形内角和为180°．
6．B
解析：B
【解析】
【分析】
连接，与交于点，就是的最小值，根据等边三角形的性质求解即可.
【详解】
解：连接，与交于点，

是边上的中线，
，
是的垂直平分线，
、关于对称，
就是的最小值，
等边的边长为，
∴，,
，
，
，
是的垂直平分线，
∵是等边三角形，
易得，
，
的最小值为，
故选：B．
【点睛】
本题考查等边三角形的性质、轴对称-路径最短等内容，明确当B，M，E三点共线时最短是解题的关键．
7．A
解析：A
【解析】
【分析】
根据全等三角形的判定方法逐项判断即得答案．
【详解】
解： A、由于∠ABC＝∠BAD，AB＝BA，AC＝BD，具备两边及其一边的对角相等，
所以△ABC与△BAD不全等，故本选项符合题意；
B、在△ABC与△BAD中，∵∠ABC＝∠BAD，AB＝BA，∠CAB＝∠DBA，
∴△ABC≌△BAD（ASA），故本选项不符合题意；
C、在△ABC与△BAD中，∵∠C＝∠D，∠ABC＝∠BAD，AB＝BA，
∴△ABC≌△BAD（AAS），故本选项不符合题意；
D、在△ABC与△BAD中，∵BC＝AD，∠ABC＝∠BAD，AB＝BA，
∴△ABC≌△BAD（SAS），故本选项不符合题意；
故选：A．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定，属于基本题目，熟练掌握判定三角形全等的方法是关键．
8．B
解析：B
【解析】
【分析】
根据轴对称图形的概念对各图形分析判断即可得解．
【详解】
第一个图形不是轴对称图形，
第二个图形不是轴对称图形，
第三个图形是轴对称图形，
第四个图形是轴对称图形，
综上所述，是轴对称图形的有2个．
故选：B．
【点睛】
本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
9．C
解析：C
【解析】
【分析】
利用等腰直角三角形的性质可求∠ABC=45°，利用折叠的性质可得∠A’BC=∠ABC =45°，再利用角平分线的性质和平角的定义可求∠CBD=67.5°，由此得到∠A’BD=∠CBD-∠A’BC即可求解．
【详解】
解：∵∠A=90°，AC=AB，∴∠ABC=45°，
∵将顶点A折叠落在A’处，∴∠ABC=∠A’BC=45°，
∵BD为∠CBE的平分线，
∴∠CBD=∠DBE=×(180°- 45°)=67.5°，
∴∠A’BD=67.5°- 45°=22.5°．
故选：C．
【点睛】
考查了图形的折叠问题，解题的关键是熟练掌握折叠的性质、等腰三角形的性质、角平分线定义及平角的定义等．
10．B
解析：B
【解析】
【分析】
【详解】
解：①（-2ab+5x）(5x+2ab)= （5x -2ab）(5x+2ab)，符合平方差公式，故①正确;
②(ax－y)(-ax-y) =- (ax－y)( ax+y)，符合平方差公式，故②正确;
③(-ab-c)(ab-c)=- (a+-c)(ab-c) ，符合平方差公式，故③正确;
④(m+n)(-m-n)=- (m+n)(m+n)，不符合平方差公式，故④错误.
正确的有①②③.
故选B.
二、填空题

11．【解析】
【分析】
直接利用同底数幂的除法运算法则、幂的乘方运算法则将原式变形得出答案即可．
【详解】
解：∵3m＝2，9n＝（32）n＝32n，
∴3m﹣2n＝3m÷32n
＝2÷10
＝．
故
解析：
【解析】
【分析】
直接利用同底数幂的除法运算法则、幂的乘方运算法则将原式变形得出答案即可．
【详解】
解：∵3m＝2，9n＝（32）n＝32n，
∴3m﹣2n＝3m÷32n
＝2÷10
＝．
故答案为：．
【点睛】
本题考查了同底数幂相除，幂的乘方等知识，理解好两个公式，灵活运用是解题关键．
12．6
【解析】
【分析】
根据平方差公式化简所求，再根据2的n次幂的变化规律即可求解．
【详解】

=
=
=
=
=
∵21＝2，22＝4，23＝8，24＝16，25＝32，26＝64，27＝128
解析：6
【解析】
【分析】
根据平方差公式化简所求，再根据2的n次幂的变化规律即可求解．
【详解】

=
=
=
=
=
∵21＝2，22＝4，23＝8，24＝16，25＝32，26＝64，27＝128，28＝256，…
∴64÷4=16
∴个位数为6
故答案为：6．
【点睛】
本题考查了平方差公式的应用，解此题的关键是熟知平方差公式的特点，题型较好，难度适中，是一道不错的题目，通过此题能培养学生的观察能力．
13．9
【解析】
【分析】
根据分式的基本性质即可求出答案．
【详解】
∵，x，y都缩小到原来的，
∴，
故答案为：9．
【点睛】
本题考查了分式的基本性质，分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的
解析：9
【解析】
【分析】
根据分式的基本性质即可求出答案．
【详解】
∵，x，y都缩小到原来的，
∴，
故答案为：9．
【点睛】
本题考查了分式的基本性质，分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变．
14．0；4；8；12
【解析】
【分析】
此题要分两种情况：①当P在线段BC上时，②当P在BQ上，再分别分两种情况AC＝BP或AC＝BN进行计算即可．
【详解】
解：①当P在线段BC上，AC＝BP时，△
解析：0；4；8；12
【解析】
【分析】
此题要分两种情况：①当P在线段BC上时，②当P在BQ上，再分别分两种情况AC＝BP或AC＝BN进行计算即可．
【详解】
解：①当P在线段BC上，AC＝BP时，△ACB≌△PBN，

∵AC＝2，
∴BP＝2，
∴CP＝6−2＝4，
∴点P的运动时间为4÷1＝4（秒）；
②当P在线段BC上，AC＝BN时，△ACB≌△NBP，
这时BC＝PN＝6，CP＝0，因此时间为0秒；
③当P在BQ上，AC＝BP时，△ACB≌△PBN，
∵AC＝2，
∴BP＝2，
∴CP＝2＋6＝8，
∴点P的运动时间为8÷1＝8（秒）；
④当P在BQ上，AC＝NB时，△ACB≌△NBP，
∵BC＝6，
∴BP＝6，
∴CP＝6＋6＝12，
点P的运动时间为12÷1＝12（秒），
故答案为0或4或8或12．
【点睛】
本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等时必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
15．a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5
【解析】
【分析】
利用已知各项系数变化规律进而得出答案．
【详解】
解：可得：（a+b）4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4；
解析：a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5
【解析】
【分析】
利用已知各项系数变化规律进而得出答案．
【详解】
解：可得：（a+b）4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4；
则（a+b）5=a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5．
故答案为：a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5．
【点睛】
本题考查了数字的规律变化，要求学生通过观察数字，分析、归纳并发现其中的规律，并应用规律解决问题是解题的关键．
16．11
【解析】
【分析】
作PE⊥OB，PG⊥OA，PF⊥MN，连结OP，根据角平分线的性质定理得PF=PG=PE，再由三角形面积公式得PF=PG=PE=2，再根据S△OPM +S△OPN =S△P
解析：11
【解析】
【分析】
作PE⊥OB，PG⊥OA，PF⊥MN，连结OP，根据角平分线的性质定理得PF=PG=PE，再由三角形面积公式得PF=PG=PE=2，再根据S△OPM +S△OPN =S△PMN +S△OMN =2+7=9，得出OM+ON的值，从而求出△MON 的周长.
【详解】
解：如图：作PE⊥OB，PG⊥OA，PF⊥MN，连结OP，

∵PM、PN分别平分∠AMN，∠BNM，
∴PF=PG=PE，
∵S△PMN=·MN·PF=2，MN=2，
∴PF=PG=PE=2，
∴S△OPM=OM·PG=OM2=OM；S△OPN=ON·PE=ON2=ON，
∵S△OPM +S△OPN =S△PMN +S△OMN =2+7=9
∴OM+ON=9，
∴△MON 的周长=OM+ON+MN =9+2 =11.
故答案为11.
【点睛】
此题考查了角平分线的性质和三角形的面积，观察出S△OPM +S△OPN =S△PMN +S△OMN ，运用等积法是解题的关键.
17．130°
【解析】
【分析】
延长DC到点E，如图，根据平行线的性质可得∠BCE＝∠ABC＝25°，根据折叠的性质可得∠ACB＝∠BCE＝25°，进一步即可求出答案．
【详解】
解：延长DC到点E，
解析：130°
【解析】
【分析】
延长DC到点E，如图，根据平行线的性质可得∠BCE＝∠ABC＝25°，根据折叠的性质可得∠ACB＝∠BCE＝25°，进一步即可求出答案．
【详解】
解：延长DC到点E，如图：
∵AB∥CD，
∴∠BCE＝∠ABC＝25°，
由折叠可得：∠ACB＝∠BCE＝25°，
∵∠BCE+∠ACB+∠ACD＝180°，
∴∠ACD＝180°﹣∠BCE﹣∠ACB＝180°﹣25°﹣25°＝130°，
故答案为：130°．

【点睛】
此题主要考查了平行线的性质和折叠的性质，正确添加辅助线、熟练掌握平行线的性质是解决问题的关键．
18．【解析】
【分析】
依题意可知，分式化简后是一个整式，说明分式可以由公约数“x+1”，即分式的分子部分可以化成的形式，将这个分子展开与原式中分子部分联立，求取常数的值即可.
【详解】
∵分式化简后
解析：
【解析】
【分析】
依题意可知，分式化简后是一个整式，说明分式可以由公约数“x+1”，即分式的分子部分可以化成的形式，将这个分子展开与原式中分子部分联立，求取常数的值即可.
【详解】
∵分式化简后的结果是一个整式
∴分式的分子部分可以化为：
∵

解得：,
故答案为：
【点睛】
本题考查了分式的变形求字母的值，解决本题的关键是正确的将分式的分子部分进行变形，使得分子部分含有（x+1）.
19．7
【解析】
【分析】
根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，得BE=CE，所以△AEC的周长等于边长AB与AC的和．
【详解】
∵DE垂直平分BC，
∴BE=CE，
∴△AEC的周长=A
解析：7
【解析】
【分析】
根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，得BE=CE，所以△AEC的周长等于边长AB与AC的和．
【详解】
∵DE垂直平分BC，
∴BE=CE，
∴△AEC的周长=AC+CE+AE=AC+AB=12．
∵AC=5，
∴AB=12-5=7．
故答案是：7．
【点睛】
本题主要考查线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，熟练掌握性质是解题的关键．
20．12
【解析】
【分析】
根据题意利用翻折不变性可得AE＝AC，CD＝DE进而利用DE+BD+BE＝CD+BD+E＝BC+BE即可解决问题．
【详解】
解：由翻折的性质可知：AE＝AC，CD＝DE，
解析：12
【解析】
【分析】
根据题意利用翻折不变性可得AE＝AC，CD＝DE进而利用DE+BD+BE＝CD+BD+E＝BC+BE即可解决问题．
【详解】
解：由翻折的性质可知：AE＝AC，CD＝DE，
且AB＝10，AC＝6，BC＝8，
∴BE＝AB-AE=10-6=4，
∴△BDE的周长＝DE+BD+BE＝CD+BD+E＝BC+BE＝8+4＝12．
故答案为：12．
【点睛】
本题考查翻折变换，解题的关键是熟练掌握翻折变换的性质．
三、解答题

21．（1）；（2）
【解析】
【分析】
（1）直接了利用提公因式法分解因式即可；
（2）先提公因式，再利用完全平方公式进行分解因式即可．
【详解】
解：（1）
；
（2）

；
【点睛】
本题考查了分解因式的方法，解题的关键是掌握提公因式法和公式法进行分解因式．
22．（1），，或
（2）相等，理由见解析
（3）见解析
【解析】
【分析】
（1）根据平行线的性质解答；
（2）根据对顶角的性质解答；
（3）根据平行线的性质及等量代换，平行线的判定定理解答.
【详解】
（1）∵，
∴，，或；
故答案为：，，或；
（2）与相等．理由如下：
，，
．
（3），
．（①两直线平行，内错角相等）；
（已证），
，（②等量代换）；
又（③角平分线的定义），
，
（④内错角相等，两直线平行）.
故答案为：①两直线平行，内错角相等；②等量代换；③角平分线的定义；④内错角相等，两直线平行.
【点睛】
此题考查平行线的性质定理及判定定理，角平分线的性质定理，等量代换的推理依据，熟练掌握平行线的判定及性质定理是解题的关键.
23．，2
【解析】
【分析】
原式利用除法法则变形，约分后两项通分并利用同分母分式的减法法则计算得到最简结果，把代入计算即可求出值．
【详解】
解：

因为m+1 ，m-1，m-2
所以m ，m，m
当时，原式．
【点睛】
此题考查了解分式方程，以及分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
24．（1）见解析；（2）见解析
【解析】
【分析】
（1）①以B为圆心，任意长为半径画弧，交AB、BC于F、N，再以F、N为圆心，大于FN长为半径画弧，两弧交于点M，过B、M画射线，交AC于D，线段BD就是∠B的平分线；
②分别以A、B为圆心，大于AB长为半径画弧，两弧交于X、Y，过X、Y画直线与AB交于点E，点E就是AB的中点；
（2）首先根据角平分线的性质可得∠ABD的度数，进而得到∠ABD＝∠A，根据等角对等边可得AD＝BD，再加上条件AE＝BE，ED＝ED，即可利用SSS证明△ADE≌△BDE．
【详解】
解：（1）作出的平分线； 作出的中点．
（2）证明：，，
，
，
在和中，

．

【点睛】
此题主要考查了复杂作图，以及全等三角形的判定，关键是掌握基本作图的方法和证明三角形全等的判定方法．
25．（1）等边三角形，证明见解析；（2），证明见解析．
【解析】
【分析】
（1）根据等边三角形和平行线的性质，即可完成证明；
（2）根据（1）的结论，结合，可得；再根据平行线性质，得，，从而得到，即可得到答案．
【详解】
（1）∵是等边三角形
∴
∵
∴，
∴
∴是等边三角形；
（2）∵是等边三角形
∴
∵
∴
∵
∴，
在和中

∴
∴．
【点睛】
本题考查了等边三角形、平行线、全等三角形的知识；解题的关键是熟练掌握等边三角形、平行线、全等三角形的性质，从而完成求解．
26．（1）见解析；（2）见解析
【解析】
【分析】
（1）根据等式性质，由BE=CF得BC=EF，再根据SSS定理得△ABC≌△DEF即可；
（2）由全等三角形得∠B=∠DEF，由平行线的判定定理得AB∥DE，再根据平行线的性质得∠A=∠EGC．
【详解】
（1）∵，
∴，即，
在△ABC与△DEF中，
，
∴；
（2）∵△ABC≌△DEF，
∴∠B=∠DEF，
∴AB∥DE，
∴∠A=∠EGC．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定和性质，平行线的性质与判定，解题的关键是正确寻找全等三角形全等的条件，属于中考常考题型．
27．（1）见解析；（2）见解析；（3）∠CAD＝∠BDP+∠DPB.
【解析】
【分析】
（1）根据三角形的内角和即可得到结论；
（2）根据三角形的内角和得到∠B＝∠CDE，得到MN∥BA，根据平行线的性质证明；
（3）根据三角形的外角性质证明．
【详解】
（1）∵∠C+∠CAD+∠ADC＝∠C+∠CAB+∠B＝180°，
∴∠CAD+∠ADC＝∠CAB+∠B，
∵∠CDA＝∠CAB，
∴∠CAD＝∠B，
∵∠CAB＝∠CAD+∠DAB＝∠ABC+∠DAB，
∴∠CDA＝∠DAB+∠DBA；
（2）∵∠CDA＝∠CAB，∠C＝∠C，
∴180°-∠CDA-∠C＝180°-∠CAB -∠C
∴∠B＝∠CAD，
∵∠CDE＝∠CAD，
∴∠B＝∠CDE，
∴MN∥BA，
∴∠AED+∠EAB＝180°；
（3）∠CAD＝∠BDP+∠DPB
证明：由三角形的外角的性质可知，∠ABC＝∠BDP+∠DPB，
∵∠CDA＝∠CAB，∠C＝∠C，
∴∠B＝∠CAD，
∴∠ABC＝∠BDP+∠DPB．
∴∠CAD＝∠BDP+∠DPB.

【点睛】
本题考查了三角形的内角和，熟练掌握三角形的内角和即可得到结论．
28．（1）①∠BAE=40°；②∠DAE=20°；（2）∠DAE=20°．
【解析】
【分析】
（1）①利用三角形的内角和定理求出∠BAC，再利用角平分线定义求∠BAE．②先求出∠BAD，就可知道∠DAE的度数．
（2）用∠B，∠C表示∠DAE，即可求岀∠DAE的度数．
【详解】
解：（1）①∵∠B=70°，∠C=30°，
∴∠BAC=180°-70°-30°=80°，
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE=40°；
②∵AD⊥BC，∠B=70°，
∴∠BAD=90°-∠B=90°-70°=20°，
而∠BAE=40°，
∴∠DAE=20°；
（2）∵AE为角平分线，
∴∠BAE=（180°-∠B-∠C），
∵∠BAD=90°-∠B，
∴∠DAE=∠BAE-∠BAD=（180°-∠B-∠C）-（90°-∠B）=（∠B-∠C），
又∵∠B=∠C+40°，
∴∠B-∠C=40°，
∴∠DAE=20°．
【点睛】
此题考查了三角形内角和定理，熟练运用角平分线定义和三角形的内角和定理是解题的关键．
29．（1）x7﹣1；（2）xn+1﹣1；（3）．
【解析】
【分析】
（1）仿照已知等式求出所求原式的值即可；
（2）归纳总结得到一般性规律，写出即可；
（3）原式变形后，利用得出的规律变形，计算即可求出值．
【详解】
（1）根据题中规律得：（x﹣1）（x6+x5+x4+x3+x2+x+1）＝x7﹣1；
（2）总结题中规律得：（x﹣1）（xn+xn﹣1+…+x+1）＝xn+1﹣1；
（3）原式＝×（3﹣1）×（32018+32017+…+32+3+1）＝．
【点睛】
此题考查了平方差公式，规律型：数字的变化类，以及多项式乘多项式，熟练掌握公式及法则是解本题的关键．
30．（1）∠A=28°；（2）AB =2 cm．
【解析】
【分析】
（1）根据全等三角形的性质得到∠FCA=∠EBD=90°，根据直角三角形的性质计算即可；
（2）根据全等三角形的性质得到CA=BD，结合图形得到AB=CD，计算即可．
【详解】
（1）∵BE⊥AD，
∴∠EBD=90°．
∵△ACF≌△DBE，
∴∠FCA=∠EBD=90°．
∴∠F+∠A=90°
∵∠F =62°，
∴∠A=28°．
（2）∵△ACF≌△DBE，
∴CA=BD．
∴CA-CB=BD-CB．
即AB=CD．
∵AD=9 cm, BC=5 cm，
∴AB+CD=9-5=4 cm．
∴AB=CD=2 cm．
【点睛】
考查的是全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应边相等、对应角相等是解题的关键．