福州市时代中学数学八年级上册期末试卷.doc

福州市时代中学数学八年级上册期末试卷
一、选择题
1、下面图形中，是轴对称图形的是（       ）
A． B． C． D．
2、每到四月，许多地方杨絮、柳絮如雪花般漫天飞舞，人们不堪其扰．据测定，杨絮纤维的直径约为，该数用科学记数法表示为（       ）
A． B． C． D．
3、下列计算中，正确的是（       ）
A． B． C． D．
4、若分式有意义，则应满足的条件是（　　　）
A． B． C．且 D．
5、下列等式从左到右的变形中，属于因式分解的是（       ）
A． B．
C． D．
6、如果把分式中的x，y都扩大3倍，那么分式的值（　　）
A．扩大6倍 B．扩大3倍 C．不变 D．缩小3倍
7、如图，已知点A、D、C、F在同一条直线上，∠B=∠E =90°，AB=DE，若添加一个条件后，能用“HL”的方法判定Rt△ABC≌Rt△DEF，添加的条件可以是（　　）

A．BC=EF B．∠BCA=∠F C．AB∥DE D．AD=CF
8、若关于的分式方程的解为，则的值为（       ）
A． B． C． D．2
9、如图，和都是等腰直角三角形，的顶点A在的斜边上．下列结论：①；②；③；④是直角三角形．其中正确的有（       ）

A．①②③ B．①②③④ C．①③④ D．①②④
二、填空题
10、观察图中的两个图形，利用它们之间的关系可以验证的等式是（       ）

A．（a＋b）2﹣（a﹣b）2＝4ab B．（a﹣b）2＋2ab＝a2＋b2
C．（a＋b）2﹣（a2＋b2）＝2ab D．（a＋b）（a﹣b）＝a2﹣b2
11、若分式的值为零，则______．
12、点与点关于y轴对称，则___________．
13、已知，则的值是_____．
14、求值：______．
15、如图，中，，，点在线段上运动（点不与点，重合），连接，作，交线段于点．当是等腰三角形时，的度数为______．

16、如图，点P在∠AOB内部，PM⊥OA于点M，PN⊥OB于点N，PM＝PN，若∠MPN＝140°，则∠AOC＝_____°．

17、已知，则______．
18、如图，在长方形ABCD中，，．延长BC到点E，使，连结DE，动点P从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿向终点A运动．设点P的运动时间为t秒，当t的值为______________时，和全等．

三、解答题
19、因式分解
(1)；
(2)．
20、解方程：
(1)
(2)
21、如图，AB⊥CB，DC⊥CB，E、F在BC上，∠A=∠D，BE=CF，求证：AF=DE．

22、在四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°．
（1）求：∠ABC+∠ADC＝　 　°；
（2）如图①，若DE平分∠ADC，BF平分∠CBM，写出DE与BF的位置关系．
（3）如图②，若BF，DE分别平分∠ABC，∠ADC的外角，写出BF与DE的位置关系，对（2）和（3）任选一个加以证明．

23、为了落实“双减”政策措施，增强学生的体质，西安市某中学决定购买一些篮球和足球来促进学生的体育锻炼，已知每个篮球的售价比每个足球的售价多20元，购买篮球花费7000元，购买足球花费2500元，篮球是足球数量的2倍．
(1)求篮球和足球的单价分别是多少元？
(2)根据学校的实际需求，需要一次性购买篮球和足球共200个，并且要求购买篮球和足球的总费用不超过12000元，那么学校最少购入多少个足球？
24、先阅读下列材料，然后解答后面的问题：材料：一个三位自然数 （百位数字为a，十位数字为b，个位数字为c），若满足a+c=b，则称这个三位数为“欢喜数”，如374，因为它的百位上数字3与个位数字4之和等于十位上的数字7，所以374是“欢喜数”
(1)直接写出：最小的“欢喜数”是 ，最大的“欢喜数”是 ；
(2)求证：任意“欢喜数 ”一定能被11整除；
(3)若“欢喜数 ”m为奇数，且十位数字比个位数字大5， 求所有符合条件的“欢喜数 ”m．
25、在平面直角坐标系中，，点在第一象限，，
（1）如图，求点的坐标．

（2）如图，作的角平分线，交于点，过点作于点，求证：
（3）若点在第二象限，且为等腰直角三角形，请直接写出所有满足条件的点的坐标．

一、选择题
1、B
【解析】B
【分析】轴对称图形的定义：如果一个平面图形沿着一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，据此逐项判断即可．
【详解】解：A中图形不是轴对称图形，不符合题意；
B中图形是轴对称图形，符合题意；
C中图形不是轴对称图形，不符合题意；
D中图形不是轴对称图形，不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查轴对称图形的定义，理解定义，找准对称轴是解答的关键．
2、D
【解析】D
【分析】科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案．
【详解】解：，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了科学记数法，解题的关键在于能够熟练掌握科学记数法的定义．
3、C
【解析】C
【分析】根据幂的乘方，合并同类项，同底数幂的乘法，同底数幂的除法分别分析即可．
【详解】A. ，故该选项错误；
B. 不能合并，故该选项错误；
C. ，故该选项正确；
D. ，故该选项错误．
故选：C．
【点睛】本题考查幂的乘方，合并同类项，同底数幂的乘法，同底数幂的除法，解题的关键是掌握幂的相关运算．
4、C
【解析】C
【分析】根据分式有意义的条件求解即可．
【详解】解：若分式有意义，则，
∴且，
故选：C．
【点睛】本题考查了分式有意义的条件，熟知分式有意义分母不为零是解题的关键．
5、C
【解析】C
【分析】根据因式分解的定义判断即可．
【详解】解：A、，属于整式的乘法运算，故本选项不符合题意；
B、，不符合因式分解的定义，故本选项不符合题意；
C、，符合因式分解的定义，故本选项符合题意；
D、，不符合因式分解的定义，故本选项不符合题意；
故选：C．
【点睛】此题考查了因式分解的定义．解题的关键是掌握因式分解的定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解．
6、C
【解析】C
【分析】根据分式的基本性质即可求出答案．
【详解】解：把分式中的x，y都扩大3倍，得
，
故其值不变．
故选：C．
【点睛】本题考查了分式的基本性质，解题的关键是熟练运用分式的运算法则．
7、D
【解析】D
【分析】根据题目给的条件可知道直角边和直角，因为需用“HL”的方法判定≌，故只能添上斜边这一条件，即可解答．
【详解】解：∵，，
∴添加条件，根据“HL”即可判定≌；或添加条件，也可得出，根据“HL”即可判定≌，故D正确．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了利用“HL”判定三角形全等，掌握三角形全等的判定是解题的关键．
8、A
【解析】A
【分析】将x=2回代到方程中即可求出a值．
【详解】将x=2代入方程
得：
解得a=-4
故选：A．
【点睛】本题考查了分式方程的解，通过已知分式方程的解求未知数的知识．解题的关键是将x的值回代到原方程．
9、D
【解析】D
【分析】根据△ABC和△ECD都是等腰直角三角形，可得AC=BC，CE=CD，∠ECD=∠ACB=90°，∠CAB=∠CBA=∠E=∠CDE=45°，则有∠ECA+∠ACD=∠ACD+∠BCD=90°，所以∠ECA=∠BCD，即可用SAS证△ABC≌△ECD，可判定①正确；由全等三角形性质，可得∠BDC=∠E，再由三角形外角性质即可证得∠DAB=∠ACE，可判定②正确；根据三角形三边关系得BC+BD>CD，即可证得AE+AC>CD，可判定③错误；根据∠CBD+∠CDB+∠BCD=180°，即∠CBA+∠ABD+∠CDB+∠BCD=180°，又因为∠CBA=45°，∠CDB=∠E=45°，∠BCD=∠ACE=∠DAB，即可得出∠ABD+∠DAB =90°，从而得出∠ADB=90°，从而有是直角三角形，可判定④正确．
【详解】解：∵△ABC和△ECD都是等腰直角三角形，
∴AC=BC，CE=CD，∠ECD=∠ACB=90°，∠CAB=∠CBA=∠E=∠CDE=45°，
∴∠ECA+∠ACD=∠ACD+∠BCD=90°，
∴∠ECA=∠BCD，
∴△ABC≌△ECD（SAS），
故①正确；
∴∠BDC=∠E，
∵∠DAB+∠CAB=∠DAC=∠E+∠ACE，
∴∠DAB=∠ACE，
故②正确；
∵AC=BC，BC+BD>CD，
∴AC+BD>CD,
∵△ABC≌△ECD，
∴AE=BD，
∴AE+AC>CD，
故③错误；
∵∠CBD+∠CDB+∠BCD=180°，即∠CBA+∠ABD+∠CDB+∠BCD=180°，
∵∠CBA=45°，∠CDB=∠E=45°，∠BCD=∠ACE=∠DAB，
∴45°+∠ABD+45°+∠DAB =180°，
∴∠ABD+∠DAB =90°，
∵∠ABD+∠DAB+∠ADB=180°，
∴∠ADB=90°，
∴是直角三角形，
故④正确，
综上，正确的有①②④，
故选：D．
【点睛】本题考查等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定，三角形外角性质，三角形内角和定理，熟练掌握全等三角形的判定定理和三角形外角性质，利用等角灵活代换是解题的关键．
二、填空题
10、C
【解析】C
【分析】先用两种方法表示阴影部分的面积，再根据面积相等得到代数恒等式．
【详解】解：S阴影＝4×ab＝2ab，还可以表示成：S阴影＝（a+b）2﹣（a2+b2）．
∴（a+b）2﹣（a2+b2）＝2ab．
故选：C．
【点睛】本题考查完全平方公式的几何背景，用两种方法表示同一个图形面积是求解本题的关键．
11、-5
【分析】根据分式为0时分子为0且分母不为0即可求解．
【详解】解：由题意可知：且，
∴，
故答案为：-4、
【点睛】本题考查了分式为0的条件：分子为0且分母不为0．
12、7
【分析】关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；求得a，b的值，再代入求值即可．
【详解】解：∵点与点关于y轴对称，
∴a=-(-3)=3，b=-4，
∴a-b=3-(-4)=7，
故答案为：6、
【点睛】本题主要考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标．解题的关键是掌握关于坐标轴对称点的坐标规律：（1）关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；（2）关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；（3）关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．
13、
【分析】根据分式的加减法可得与的关系，在代入代数式求值即可．
【详解】

故答案为：．
【点睛】本题考查了分式的加减法，掌握分式的加减是解题的关键．
14、
【分析】对所求的式子进行变形后，逆用积的乘方的法则运算即可．
【详解】解：
＝
＝
＝
＝
＝
故答案为：．
【点睛】此题主要考查积的乘方，解题的关键是熟记积的乘方法则并逆用法则．
15、30°或60°
【分析】根据三角形内角和定理可得∠BAC的度数，△ADE是等腰三角形，分情况讨论：①AD＝AE时，②EA＝ED时，③DA＝DE时，分别求解即可．
【详解】解：∵AB＝AC，∠ABC＝
【解析】30°或60°
【分析】根据三角形内角和定理可得∠BAC的度数，△ADE是等腰三角形，分情况讨论：①AD＝AE时，②EA＝ED时，③DA＝DE时，分别求解即可．
【详解】解：∵AB＝AC，∠ABC＝40°，
∴∠ACB＝∠ABC＝40°，
∴∠BAC＝100°，
∵∠ADE＝40°，
△ADE是等腰三角形，分情况讨论：
①AD＝AE时，∠AED＝∠ADE＝40°，
∴∠DAE＝100°，
此时D点与B点重合，不符合题意；
②EA＝ED时，∠EAD＝∠ADE＝40°，
∴∠BAD＝100°﹣40°＝60°；
③DA＝DE时，∠DAE＝∠DEA＝70°，
∴∠BAD＝100°﹣70°＝30°，
综上，∠BAD的度数为60°或30°，
故答案为：60°或30°．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键，注意分情况讨论．
16、20
【分析】由PM⊥OA于点M，PN⊥OB于点N得∠PMO=∠PNO=90°，已知∠MPN=140°，根据四边形的内角和等于360°可以求出∠AOB的度数，因为PM=PN，OP为Rt△PMO和Rt
【解析】20
【分析】由PM⊥OA于点M，PN⊥OB于点N得∠PMO=∠PNO=90°，已知∠MPN=140°，根据四边形的内角和等于360°可以求出∠AOB的度数，因为PM=PN，OP为Rt△PMO和Rt△PNO的公共边，由“HL”可以证明Rt△PMO≌Rt△PNO，则∠POM=∠PON，所以∠AOC= ∠AOB，即可求出∠AOC的度数．
【详解】解：如图，∵PM⊥OA于点M，PN⊥OB于点N，
∴∠PMO=∠PNO=90°，
在Rt△PMO和Rt△PNO中，
，
∴Rt△PMO≌Rt△PNO（HL），
∴∠POM=∠PON，
∵∠MPN=140°，
∴∠AOB=360°-90°-90°-140°=40°，
∴∠AOC=∠AOB=×40°=20°，
故答案为：19、
【点睛】此题重点考查全等三角形的判定与性质、多边形的内角和、角平分线的定义等知识，证明三角形全等是解题的关键．
17、－1
【分析】根据代入计算，继而求得结果．
【详解】解：∵，，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了完全平方公式，理解是解题关键．
【解析】－1
【分析】根据代入计算，继而求得结果．
【详解】解：∵，，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了完全平方公式，理解是解题关键．
18、1或7##7或1
【分析】分两种情况进行讨论，根据题意得出BP=2t=2或AP=16-2t=2即可求得结果．
【详解】解：当点P在BC上时，
∵AB＝CD，
∴当△ABP≌△DCE，得到BP=CE，
【解析】1或7##7或1
【分析】分两种情况进行讨论，根据题意得出BP=2t=2或AP=16-2t=2即可求得结果．
【详解】解：当点P在BC上时，
∵AB＝CD，
∴当△ABP≌△DCE，得到BP=CE，
由题意得：BP＝2t＝2，
∴t＝1，
当P在AD上时，
∵AB＝CD，
∴当△BAP≌△DCE，得到AP=CE，
由题意得：AP＝6+6-4﹣2t＝2，
解得t＝6、
∴当t的值为1或7秒时．△ABP和△DCE全等．
故答案为：1或6、
【点睛】本题考查了全等三角形的判定，解题的关键在于能够利用分类讨论的思想进行求解．
三、解答题
19、(1)
(2)
【分析】（1）根据完全平方公式因式分解即可求解；
（2）根据平方差公式与提公因式法因式分解即可求解．
(1)

=     
=
(2)
=
=
=
【点睛】本题考查了因式分
【解析】(1)
(2)
【分析】（1）根据完全平方公式因式分解即可求解；
（2）根据平方差公式与提公因式法因式分解即可求解．
(1)

=     
=
(2)

=
=
=
【点睛】本题考查了因式分解，掌握因式分解的方法是解题的关键．
20、(1)
(2)分式方程无解
【解析】(1)
解：方程两边都乘以2x-1得，2-5=2x-1，
解得x=-1，
经检验：x=-1是原方程的解；
(2)
方程两边都乘以（x+2）（x-2）得，x（x+2
【解析】(1)
(2)分式方程无解
【解析】(1)
解：方程两边都乘以2x-1得，2-5=2x-1，
解得x=-1，
经检验：x=-1是原方程的解；
(2)
方程两边都乘以（x+2）（x-2）得，x（x+2）-（x-2）（x+2）=8，
解得x=2，
经检验：x=2不是原方程的解，原方程无解．
【点睛】本题考查解分式方程，基本步骤是一化二解三检验．
21、见解析
【分析】由题意可得∠B=∠C=90°，BF=CE，由“AAS”可证△ABF≌△DCE，可得AF=DE．
【详解】证明：∵AB⊥CB，DC⊥CB，
∴∠B=∠C=90°，
∵BE=CF，
∴B
【解析】见解析
【分析】由题意可得∠B=∠C=90°，BF=CE，由“AAS”可证△ABF≌△DCE，可得AF=DE．
【详解】证明：∵AB⊥CB，DC⊥CB，
∴∠B=∠C=90°，
∵BE=CF，
∴BF=CE，且∠A=∠D，∠B=∠C=90°，
∴△ABF≌△DCE（AAS），
∴AF=DE，
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练运用全等三角形的判定是本题的关键．
22、（1）；（2），理由见解析；（3），理由见解析
【分析】（1）根据四边形内角和等于360°列式计算即可得解；
（2）如图1，延长DE交BF于G，易证∠ADC=∠CBM，可得∠CDE=∠EBF，即可得
【解析】（1）；（2），理由见解析；（3），理由见解析
【分析】（1）根据四边形内角和等于360°列式计算即可得解；
（2）如图1，延长DE交BF于G，易证∠ADC=∠CBM，可得∠CDE=∠EBF，即可得∠EGB=∠C=90゜，则可证得DE⊥BF；
（3）如图2，连接BD，易证∠NDC+∠MBC=180゜，则可得∠EDC+∠CBF=90゜，继而可证得∠EDC+∠CDB+∠CBD+∠FBC=180゜，则可得DE∥BF．
【详解】（1）∵∠A=∠C=90°，
∴∠ABC+∠ADC=360°－90°×2=180°；
（2）DE⊥BF，理由如下：
如图：延长DE交BF于点G

∵∠A+∠ABC+∠C+∠ADC=360°，∠A=∠C=90°
∴∠ABC+∠ADC=180°
∵∠ABC+∠MBC=180°
∴∠ADC=∠MBC
∵DE、BF分别平分∠ADC、∠MBC
∴∠EDC=∠ADC，∠EBG= ∠MBC
∴∠EDC=∠EBG
∵∠EDC+∠DEC+∠C=180°，∠EBG+∠BEG+∠EGB=180°，∠DEC=∠BEG
∴∠EGB=∠C=90°
∴DE⊥BF
（3）DE∥BF，理由如下：
如图：连接BD

∵DE、BF分别平分∠NDC、∠MBC
∴∠EDC= ∠NDC，∠FBC=∠MBC
∵∠ADC+∠NDC=180°，∠ADC=∠MBC
∴∠MBC+∠NDC=180°
∴∠EDC+∠FBC=90°
∵∠C=90°
∴∠CDB+∠CBD=90°
∴∠EDC+∠CDB+∠FBC+∠CBD=180°，即∠EDB+∠FBD=180°
∴DE∥BF．
【点睛】本题考查了三角形内角和定理，平行线的性质以及三角形外角的性质，掌握辅助线的作法是解题的关键．
23、(1)每个足球的售价为50元，每个篮球的售价为70元；
(2)学校最少购入100个足球．
【分析】（1）设每个足球的售价为x元，则每个篮球的售价为（x＋20）元．由题意：花费7000元购买篮球的数量
【解析】(1)每个足球的售价为50元，每个篮球的售价为70元；
(2)学校最少购入100个足球．
【分析】（1）设每个足球的售价为x元，则每个篮球的售价为（x＋20）元．由题意：花费7000元购买篮球的数量是花费2500元购买足球数量的2倍．列出分式方程，解方程即可；
（2）设购入m个足球，则购入（200−m）个篮球．由题意：购买篮球和足球的总费用不超过12000元，列出一元一次不等式，解不等式即可．
（1）
解：设每个足球的售价为x元，则每个篮球的售价为（x＋20）元，
由题意得：，
解得：x＝50，
经检验，x＝50是所列方程的解且符合题意，
∴x＋20＝70，
答：每个足球的售价为50元，每个篮球的售价为70元；
（2）
设购入m个足球，则购入（200−m）个篮球，
由题意得：50m＋70（200−m）≤12000，
解得：m≥100，
答：学校最少购入100个足球．
【点睛】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
24、(1)110；990；
(2)见解析
(3)561和583
【分析】（1）按照题意写出最小的“欢喜数”与最大的“欢喜数”；
（2）可设“欢喜数”为，则有100a+10b+b-a=99a+11b=11
【解析】(1)110；990；
(2)见解析
(3)561和583
【分析】（1）按照题意写出最小的“欢喜数”与最大的“欢喜数”；
（2）可设“欢喜数”为，则有100a+10b+b-a=99a+11b=11(9a+b)，再通过计算即可；
（2）“欢喜数 ” 十位数字比个位数字大5， 且m为奇数，可得a=5，求出符合条件的奇数．
(1)
由题意可得：最小的“欢喜数”是110，最大的“欢喜数”是990；
故答案为：110；990；
(2)
由题意，可设“欢喜数”为，则有：
100a+10b+b-a=99a+11b=11(9a+b)
∵a，b是整数，∴9a+b是整数
∴任意“欢喜数 ”一定能被11整除
(3)
“欢喜数 ” 十位数字比个位数字大5， 且m为奇数
即a=5
∴符合条件的奇数为561和583
【点睛】此题考查了利用整式乘法解决数字新定义问题的能力，关键是能结合题意利用整式乘法进行计算求解．
25、（1）C；（2）见解析；（3）或或
【分析】（1）作垂足为，证明，求出CM和OM的长，即可得到点C坐标；
（2）延长相交于点，先证明，得BD=CF，再证明，得CE=EF，即可证明结论；
（3）分情况
【解析】（1）C；（2）见解析；（3）或或
【分析】（1）作垂足为，证明，求出CM和OM的长，即可得到点C坐标；
（2）延长相交于点，先证明，得BD=CF，再证明，得CE=EF，即可证明结论；
（3）分情况讨论，画出对应的等腰直角三角形的图象，做辅助线构造全等三角形，求出点P坐标．
【详解】解：如图中，作垂足为，

，
，，

在和中，
，

点坐标；
如图，延长相交于点，

，

在和中，
，
，
，
在和中，
，
，

；
（3）①如图，，，过点P作轴于点D，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，
∴；

②如图，，，过点P作轴于点D，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，
∴；

③如图，，，过点P作轴于点E，过点A作于点D，
∵，，
∴，
在和中，
，
∴，
设，，
∵，，
∴，解得，
∴，，
∴；

综上：点P的坐标是或或．
【点睛】本题考查坐标和几何综合题，解题的关键是掌握作辅助线构造全等三角形的方法，利用全等三角形的性质求解点坐标，掌握数形结合的思想．