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课时跟踪检测（二十二） 指数函数的图象和性质
A级——学考水平达标练
1．下列判断正确的是( )
A．2.52.5＞2.53 B．0.82＜0.83
C．4＜π D．0.90.3＞0.90.5
解析：选D ∵y＝0.9x是减函数，且0.5＞0.3，
∴0.90.3＞0.90.5.
2．函数y＝的值域是( )
A．[0，＋∞) B．[0,4]
C．[0,4) D．(0,4)
解析：选C 要使函数有意义，须满足16－4x≥0.又因为4x＞0，所以0≤16－4x＜16，即函数y＝的值域为[0,4)．
3．若函数f(x)＝的定义域是[1，＋∞)，则a的取值范围是( )
A．[0,1)∪(1，＋∞) B．(1，＋∞)
C．(0,1) D．(2，＋∞)
解析：选B ∵ax－a≥0，∴ax≥a，∴当a＞1时，x≥1.故函数定义域为[1，＋∞)时，
a＞1.
4．已知函数f(x)＝(x－a)(x－b)(其中a>b)的图象如图所示，则函数g(x)＝ax＋b的图象是( )
解析：选A 由函数f(x)＝(x－a)(x－b)(其中a>b)的图象可知0<a<1，b<－1，所以函数g(x)＝ax＋b是减函数，排除选项C、D；又因为函数图象过点(0,1＋b)(1＋b<0)，故选A.
5．若函数y＝ax＋m－1(a＞0)的图象经过第一、第三和第四象限，则( )
A．a＞1 B．a＞1，且m＜0
C．0＜a＜1，且m＞0 D．0＜a＜1
解析：选B y＝ax(a＞0)的图象在第一、二象限内，欲使y＝ax＋m－1的图象经过第一、三、四象限，必须将y＝ax向下移动．当0＜a＜1时，图象向下移动，只能经过第一、二、四象限或第二、三、四象限，故只有当a＞1时，图象向下移动才可能经过第一、三、四象限．当a＞1时，图象向下移动不超过一个单位时，图象经过第一、二、三象限，向下移动一个单位时，图象恰好经过原点和第一、三象限，欲使图象经过第一、三、四象限，则必须向下平移超过一个单位，故m－1＜－1，所以m＜0，故选B.
6．函数y＝的值域是________．
解析：设t＝－x2＋2x＝－(x2－2x)＝－(x－1)2＋1≤1，∴t≤1.
∵t≥1＝，
∴函数值域为.
答案：
7．若－1＜x＜0，a＝2－x，b＝2x，c＝0.2x，则a，b，c的大小关系是________．
解析：因为－1＜x＜0，所以由指数函数的图象和性质可得：2x＜1,2－x＞1,0.2x＞1，又因为0.5x＜0.2x，所以b＜a＜c.
答案：b＜a＜c
8．已知实数a，b满足等式a＝b，给出下列五个关系式：①0<b<a；②a＜b＜0；③0＜a＜b；④b＜a＜0；⑤a＝b.其中，不可能成立的有________个．
解析：作y＝x与y＝x的图象．当a＝b＝0时，a＝b＝1；当a<b<0时，可以使a＝b；当a>b>0时，也可以使a＝b.故①②⑤都可能成立，不可能成立的关系式是③④.
答案：2
9．若函数f(x)＝ax－1(a＞0，且a≠1)的定义域和值域都是[0,2]，求实数a的值．
解：当0＜a＜1时，函数f(x)＝ax－1(a＞0，且a≠1)为减函数，所以无解．当a＞1时，函数f(x)＝ax－1(a＞0，且a≠1)为增函数，所以解得a＝.
综上，a的值为.
10．画出函数y＝|x－1|的图象，并根据图象写出函数的单调区间及值域．
解：原函数变形为y＝
显然函数y＝|x|是偶函数，先画出y＝x(x≥0)的图象，再作出其关于y轴对称的图象，即得y＝|x|的图象，
再向右平移1个单位得到y＝|x－1|的图象，如图所示．
由图象可知，函数y＝|x－1|在(－∞，1)上是增函数，在(1，＋∞)上是减函数，其值域是(0,1]．
B级——高考水平高分练
1．函数f(x)＝的图象大致为( )
解析：选B f(x)＝＝由指数函数的图象知B正确．
2．若函数y＝2－|x|－m的图象与x轴有交点，则( )
A．－1≤m＜0 B．0≤m≤1
C．0＜m≤1 D．m≥0
解析：选C 易知y＝2－|x|－m＝|x|－m.若函数y＝2－|x|－m的图象与x轴有交点，则方程|x|－m＝0有解，即m＝|x|有解．∵0＜|x|≤1，∴0＜m≤1.
3．(1)求函数y＝的定义域与值域；
(2)求函数y＝x－1－4·x＋2，x∈[0,2]的最大值和最小值及相应的x的值．
解：(1)由x－2≥0，得x≥2，所以定义域为{x|x≥2}．
当x≥2时，≥0，
又因为0＜＜1，
所以y＝的值域为{y|0＜y≤1}．
(2)∵y＝x－1－4·x＋2，
∴y＝4·x－4·x＋2.
令m＝x，则x＝m2.
由0≤x≤2，知≤m≤1.
∴f(m)＝4m2－4m＋2＝42＋1.
∴当m＝，即当x＝1时，f(m)有最小值1；
当m＝1，即x＝0时，f(m)有最大值2.
故函数的最大值是2，此时x＝0，函数的最小值为1，此时x＝1.
4．已知函数f(x)＝ax＋b(a＞0，且a≠1)．
(1)若f(x)的图象如图①所示，求a，b的值；
(2)若f(x)的图象如图②所示，求a，b的取值范围；
(3)在(1)中，若|f(x)|＝m有且仅有一个实数根，求m的取值范围．
解：(1)f(x)的图象过点(2,0)，(0，－2)，
所以
又因为a＞0，且a≠1，所以a＝，b＝－3.
(2)f(x)单调递减，所以0＜a＜1，又f(0)＜0.
即a0＋b＜0，所以b＜－1.
故a的取值范围为(0,1)，b的取值范围为(－∞，－1)．
(3)画出|f(x)|＝|()x－3|的图象如图所示，要使|f(x)|＝m有且仅有一个实数根，则m＝0或m≥3.故m的取值范围为[3，＋∞)∪{0}．
5．已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f(x)＝2－x.
(1)求函数f(x)在R上的解析式，并作出f(x)的大致图象；
(2)根据图象写出函数f(x)的单调区间和值域．
解：(1)当x＜0时，－x＞0，
所以f(－x)＝2x.
因为f(x)是偶函数，
所以f(x)＝f(－x)＝2x，
所以f(x)＝
作出函数大致图象如图所示．
(2)由图象得：函数f(x)的单调递增区间是(－∞，0]，单调递减区间是[0，＋∞)．值域是(0,1]．
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