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课时素养评价 三十
指数函数的图象和性质的应用
(25分钟·50分)
一、选择题(每小题4分,共16分,多项选择题全选对的得4分,选对但不全的得2分,有选错的得0分)
1.(多选题)关于函数f(x)=的说法中,正确的是 ( )
A.偶函数
B.奇函数
C.在(0,+∞)上单调递增
D.在(0,+∞)上单调递减
【解析】选B、C.f(-x)==-=-f(x),所以函数f(x)为奇函数;当x增大时,3x,-3-x=-均增大,
故f(x)增大,故函数f(x)为增函数.
2.已知函数f(x)=ax在(0,2)内的值域是(a2,1),则函数y=f(x)的图象是( )
【解析】选A.因为f(x)=ax在(0,2)内的值域是(a2,1),
所以f(x)在(0,2)内单调递减,所以0<a<1.
3.函数y=的单调递增区间是 ( )
A.(-∞,2] B.[2,+∞)
C.[1,2] D.[1,3]
【解析】选A.令u=-3+4x-x2,因为y=3u为增函数,所以y=的增区间就是u=-3+4x-x2的增区间(-∞,2].
4.若函数f(x)=a|x+1|(a>0,a≠1)的值域为[1,+∞),则f(-4)与f(1)的大小关系是
( )
A.f(-4)>f(1) B.f(-4)=f(1)
C.f(-4)<f(1) D.不能确定
【解析】选A.因为|x+1|≥0,函数f(x)=a|x+1|(a>0,a≠1)的值域为[1,+∞),所以a>1.
由函数f(x)=a|x+1|在(-1,+∞)上单调递增,且它的图象关于直线x=-1对称,
可得函数f(x)在(-∞,-1)上单调递减.
再由f(1)=f(-3),可得f(-4)>f(1).
二、填空题(每小题4分,共8分)
5.函数f(x)=(a>0且a≠1)是R上的减函数,则a的取值范围是________.
【解析】因为函数f(x)=是R上的减函数,所以求得0<a≤.
答案:(0,]
6.函数y=在区间(-∞,3)上单调递增,则实数a的取值范围是______.若在区间[-1,1]上具有严格的单调性,则实数a的取值范围是________.
【解析】y=在(-∞,3)上递增,即二次函数y=-x2+ax-1在(-∞,3)上递增,因此需要对称轴x=≥3,解得a≥6.
若函数在[-1,1]上具有严格的单调性,则≤-1或≥1,解得a≤-2或a≥2.
答案:a≥6 a≤-2或a≥2
三、解答题(共26分)
7.(12分)已知函数f(x)=ax-1(x≥0),其中a>0且a≠1.
(1)若f(x)的图象经过点,求a的值.
(2)求函数y=f(x)(x≥0)的值域.
【解析】(1)函数图象过点,所以,a2-1=,则a=.
(2)f(x)=ax-1(x≥0),由x≥0得x-1≥-1,当0<a<1时,ax-1≤a-1,所以f(x)的值域为(0,a-1];当a>1时,ax-1≥a-1,所以f(x)的值域为[a-1,+∞).
【加练·固】函数f(x)=.
(1)求f(x)的单调增区间.
(2)x∈[-1,2]时,求f(x)的值域.
【解析】(1)令t=x2-2x,则f(x)=h(t)=,因为h(t)=是减函数,
t=x2-2x在(-∞,1]上单调递减,在[1,+∞)上单调递增,
所以f(x)的单调递增区间为(-∞,1].
(2)由t=x2-2x,则f(x)=h(t)=,
因为-1≤x≤2,所以t∈[-1,3],
所以f(x)∈[,3].
8.(14分)设函数f(x)=,a是不为零的常数.
(1)若f(3)=,求使f(x)≥4的x值的取值范围.
(2)当x∈[-1,2]时,f(x)的最大值是16,求a的值.
【解析】(1)f(3)=,即=,
所以10-3a=1,解得a=3.
由f(x)=≥4=,
即10-3x≤-2,解得x≥4.
(2)当a>0时,函数f(x)=在x∈[-1,2]时单调递增,
则x=2时,函数取最大值=16,
即10-2a=-4,解得a=7,
当a<0时,函数f(x)=在x∈[-1,2]时单调递减,
则x=-1时,函数取最大值=16,
即10+a=-4,解得a=-14,
综上可得:a=7或a=-14.
(15分钟·30分)
1.(4分)若a=π-2,b=aa,c=,则a,b,c的大小关系为 ( )
A.c>b>a B.b>c>a
C.b>a>c D.a>b>c
【解析】选B.由题意得,0<a<1,故0<aa<1,a-1<0,
所以==aa-1>1,故b>a,
===aa-b>1,故b>c,
==>1,故c>a,
综上知,b>c>a.
2.(4分)已知函数f(x)=若f(a-1)≥f(-a),则实数a的取值范围是 ( )
A.(-∞,] B.[,+∞)
C.[0,] D.[,1]
【解析】选A.当x≤0时,f(x)=3-x单调递减,且f(x)≥1,当x>0时,f(x)=-x2-2x+1的对称轴为x=-1,
抛物线开口向下,
此时f(x)在(0,+∞)上单调递减且f(x)<1,
综上f(x)是减函数,
若f(a-1)≥f(-a),则a-1≤-a,即a≤,
则实数a的取值范围是(-∞,].
3.(4分)若函数f(x)=ax-1(a>1)在区间[2,3]上的最大值比最小值大,则a=________.
【解析】因为函数f(x)=ax-1(a>1)在区间[2,3]上单调递增,
所以f(x)max=f(3)=a2,f(x)min=f(2)=a,
由题意可得a2-a=,解得a=(a>1).
答案:
4.(4分)若函数f(x)=ax(a>0,a≠1)在[-1,2]上的最大值为4,最小值为m,且函数g(x)=(1-4m)x2在[0,+∞)上单调递增,则a=________.
【解析】当a>1时,有a2=4,a-1=m,
所以a=2,m=.
此时g(x)=-x2在[0,+∞)上单调递减,不合题意.
当0<a<1时,有a-1=4,a2=m,
所以a=,m=.检验知符合题意.
答案:
5.(14分)已知函数f(x)=b·ax(a,b为常数且a>0,a≠1)的图象经过点A(1,8), B(3,32).
(1)试求a,b的值.
(2)若不等式+-m≥0在x∈(-∞,1]时恒成立,求实数m的取值范围.
【解析】(1)因为函数f(x)=b·ax的图象经过点A(1,8),B(3,32),
所以解得
(2)设g(x)=+=+,
y=g(x)在R上是减函数,
所以当x≤1时,g(x)min=g(1)=.
若不等式+-m≥0在x∈(-∞,1]时恒成立,即m≤.
1.若2x-5-x≤2-y-5y,则有 ( )
A.x+y≥0 B.x+y≤0
C.x-y≤0 D.x-y≥0
【解析】选B.构造函数f(x)=2x-5-x,易得函数f(x)单调递增,由2x-5-x≤2-y-5y,
可得f(x)≤f(-y),所以x≤-y⇒x+y≤0.
2.定义在D上的函数f(x),如果满足:对任意x∈D,存在常数M>0,都有|f(x)|≤M成立,则称f(x)是D上的有界函数,其中M称为函数f(x)的上界.已知函数f(x)=1+a·+.
(1)当a=1时,求函数f(x)在(-∞,0)上的值域,并判断函数f(x)在(-∞,0)上是否为有界函数,请说明理由.
(2)若函数f(x)在[0,+∞)上是以3为上界的有界函数,求实数a的取值范围.
【解析】(1)当a=1时,f(x)=1++.
令t=,由x<0可得t>1,
f(x)=h(t)=t2+t+1=+,
因为h(t)在(1,+∞)上单调递增,
故f(x)>h(1)=3,
故不存在常数M>0,使|f(x)|≤M成立,
故函数f(x)在(-∞,0)上不是有界函数.
(2)若函数f(x)在[0,+∞)上是以3为上界的有界函数,则当x≥0时,|f(x)|≤3恒成立.
故有-3≤f(x)≤3,
即-4-≤a·≤2-,
所以-4·2x-≤a≤2·2x-.
求得-4·2x-的最大值为-4-1=-5,
2·2x-的最小值为2-1=1,
故有-5≤a≤1,即a的取值范围为[-5,1].
【加练·固】
已知函数y=ax(a>0且a≠1)在[1,2]上的最大值与最小值之和为20,记f(x)= .
(1)求a的值.
(2)证明f(x)+f(1-x)=1.
(3)求f+f+f+…+f的值.
【解析】(1)函数y=ax(a>0且a≠1)在[1,2]上的最大值与最小值之和为20,
而函数y=ax(a>0且a≠1)在[1,2]上单调递增或单调递减.
所以a+a2=20,得a=4或a=-5(舍去),所以a=4.
(2)因为f(x)=,
所以f(x)+f(1-x)=+
=+=+=+=1.
(3)由(2)知,f+f=1,
+f=1,
…f+f=1,
所以f++f+…+f=++…
+=1+1+1+…+1=1 005.
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