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5.4.3 正切函数的性质与图象
A级：“四基”巩固训练
一、选择题
1．下列关于函数y＝tan的说法正确的是( )
A．在区间上单调递增
B．最小正周期是π
C．图象关于点成中心对称
D．图象关于直线x＝成轴对称
答案 B
解析 对于A，由kπ－＜x＋＜kπ＋，k∈Z.即kπ－＜x＜kπ＋，k∈Z.当k＝0时，函数的单调递增区间为.当k＝1时，函数的单调递增区间为，故A错误；对于B，函数的最小正周期为T＝π，故B正确；对于C，由x＋＝，k∈Z，得x＝－＋，k∈Z，即函数f(x)的对称中心为，k∈Z，故C错误；对于D，正切函数没有对称轴，故D错误．故选B.
2．函数y＝的奇偶性是( )
A．奇函数
B．偶函数
C．既是奇函数，又是偶函数
D．既不是奇函数，也不是偶函数
答案 A
解析 要使f(x)有意义，必须满足
即x≠kπ＋，且x≠(2k＋1)π(k∈Z)，
∴函数f(x)的定义域关于原点对称．
又f(－x)＝＝－＝－f(x)，
∴f(x)＝是奇函数．
3．下列各式中正确的是( )
A．tan>tan
B．tan<tan
C．tan4>tan3
D．tan281°>tan665°
答案 C
解析 对于A，tan<0，tan>0.
对于B，tan＝tan＝－1，
tan＝tan＝－tan<－tan＝－1.
∴tan>tan.
对于C，tan4>0，tan3<0，故tan4>tan3.
对于D，tan281°＝tan101°<tan665°＝tan125°.
4．函数f(x)＝tanωx(ω＞0)的图象的相邻两支截直线y＝所得线段长为，则f的值是( )
A．0 B．1 C．－1 D.
答案 A
解析 由题意，可知T＝，所以ω＝＝4，即f(x)＝tan4x，所以f＝tan＝tanπ＝0，故选A.
5．函数y＝tanx＋sinx－|tanx－sinx|在区间内的图象是( )
答案 D
解析 当＜x＜π时，tanx＜sinx，y＝2tanx＜0，排除A，B.当π＜x＜时，tanx＞sinx，y＝2sinx，排除C.故选D.
二、填空题
6．已知f(x)＝asinx＋btanx＋1满足f＝7，则f＝________.
答案 －5
解析 f＝asin＋btan＋1＝7，
∴asin＋btan＝6.
∴f＝f＝f
＝asin＋btan＋1
＝－asin－btan＋1
＝－＋1＝－5.
7．设点P(x0，y0)是函数y＝tanx与x＋y＝0图象的交点，则(x＋1)(cos2x0＋1)的值是________．
答案 2
解析 ∵点P(x0，y0)是函数y＝tanx与y＝－x(x>0)的图象的一个交点，∴x＝tan2x0.
∴(x＋1)(cos2x0＋1)＝(tan2x0＋1)(cos2x0＋1)＝×2cos2x0＝2.
8．若tan≤1，则x的取值范围是________．
答案 －<x≤＋，k∈Z}
解析 ∵tan≤1，
∴kπ－<2x－≤＋kπ，k∈Z.
∴－<x≤＋，k∈Z}.
三、解答题
9．已知－≤x≤，f(x)＝tan2x＋2tanx＋5，求f(x)的最大值和最小值，并求出相应的x值．
解 ∵f(x)＝tan2x＋2tanx＋5＝(tanx＋1)2＋4，
∵x∈，∴tanx∈[－1,1]．
∴f(x)min＝4，此时tanx＝－1，x＝－.
f(x)max＝8，此时tanx＝1，x＝.
10．已知函数f(x)＝2tan的最小正周期T满足1＜T＜，求正整数k的值，并写出f(x)的奇偶性、单调区间．
解 因为1＜T＜，
所以1＜＜，即＜k＜π.因为k∈N*，
所以k＝3，则f(x)＝2tan，
由3x－≠＋kπ，k∈Z得x≠＋，k∈Z，定义域不关于原点对称，
所以f(x)＝2tan是非奇非偶函数．
由－＋kπ＜3x－＜＋kπ，k∈Z，得
－＋＜x＜＋，k∈Z.
所以f(x)＝2tan的单调增区间为，k∈Z.
B级：“四能”提升训练
1．已知函数f(x)＝x2＋2xtanθ－1，x∈[－1，]，其中θ∈.
(1)当θ＝－时，求函数的最大值和最小值；
(2)若y＝f(x)在区间[－1，]上是单调函数，求θ的取值范围．
解 (1)当θ＝－时，f(x)＝x2－x－1＝2－.
∵x∈[－1，]，∴当x＝时，f(x)取得最小值－，
当x＝－1时，f(x)取得最大值.
(2)f(x)＝(x＋tanθ)2－1－tan2θ是关于x的二次函数，它的图象的对称轴为直线x＝－tanθ.
∵y＝f(x)在区间[－1，]上是单调函数，
∴－tanθ≤－1或－tanθ≥，
即tanθ≥1或tanθ≤－.
又θ∈，
∴θ的取值范围是∪.
2．设函数f(x)＝tan(ωx＋φ)，已知函数y＝f(x)的图象与x轴相邻两个交点的距离为，且图象关于点M对称．
(1)求f(x)的解析式；
(2)求f(x)的单调区间；
(3)求不等式－1≤f(x)≤的解集．
解 (1)由题意，知函数f(x)的最小正周期T＝，
即＝.
因为ω>0，所以ω＝2.从而f(x)＝tan(2x＋φ)．
因为函数y＝f(x)的图象关于点M对称，
所以2×＋φ＝，k∈Z，
即φ＝＋，k∈Z.
因为0<φ<，所以φ＝.
故f(x)＝tan.
(2)令－＋kπ<2x＋<＋kπ，k∈Z，
则－＋kπ<2x<kπ＋，k∈Z，
即－＋＜x＜＋，k∈Z，
所以函数的单调递增区间为，k∈Z，无单调递减区间．
(3)由(1)，知f(x)＝tan.
由－1≤tan≤ ，得
－＋kπ≤2x＋≤＋kπ，k∈Z.
解得－＋≤x≤＋，k∈Z.
所以不等式－1≤f(x)≤的解集为.
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