2019_2020学年新教材高中数学第4章指数对数函数与幂函数4.2.2对数运算法则课时5换底公式练习含解析新人教B版必修第二册.doc

课时5　换底公式

知识点 换底公式及应用
1．若2.5x＝1000,0.25y＝1000，则－等于(　　)
A. B．3
C．－ D．－3
答案　A
解析　由2.5x＝1000,0.25y＝1000得
x＝log2.51000＝，y＝log0.251000＝，
∴－＝－＝.
2．若log34·log48·log8m＝log416，则m＝________.
答案　9
解析　由换底公式，得××＝＝log416＝2，∴lg m＝2lg 3＝lg 9，∴m＝9.

(2)已知lg 2＝a，lg 3＝b，那么log512＝________.
答案　(1)4　(2)
解析　
(2)log512＝＝＝.
4．计算：(log43＋log83)(log32＋log92)．
解　原式＝＝·＝＋＋＋＝.
5．已知x，y，z为正数，3x＝4y＝6z,2x＝py.
(1)求p；
(2)求证：－＝.
解　(1)设3x＝4y＝6z＝k(显然k>0，且k≠1)，
则x＝log3k，y＝log4k，z＝log6k，
由2x＝py，得2log3k＝plog4k＝p·，
∵log3k≠0，∴p＝2log34.
(2)证明：－＝－＝logk6－logk3＝logk2＝logk4＝，
∴－＝.
6．计算：(1)log89×log2732；
(2)log927；
(3)log2×log3×log5.
解　(1)log89×log2732＝×
＝×＝×＝.
(2)log927＝＝＝＝.
(3)log2×log3×log5
＝log25－3×log32－5×log53－1
＝－3log25×(－5log32)×(－log53)
＝－15×××＝－15.
易错点 换底公式的应用
7.设a，b，c均为不等于1的正实数，则下列等式中恒成立的是(　　)
A．logab·logbc＝logca
B．logab·logca＝logcb
C．loga(bc)＝logab·logac
D．loga(b＋c)＝logab＋logac
易错分析　由于对换底公式掌握不清而致错．
答案　B
正解　对于A，logab·logbc＝logab·＝logac，C，D中公式运用错误，loga(bc)＝logab＋logac.

一、选择题
1．(log29)·(log34)＝(　　)
A. B. C．2 D．4
答案　D
解析　(log29)·(log34)＝×＝×＝4.
2．已知ln 5＝a，ln 3＝b，那么log1527用含a，b的代数式表示为(　　)
A. B. C. D.
答案　B
解析　因为log1527＝＝＝，故选B.
3．若log5·log36·log6x＝2，则x等于(　　)
A．9 B. C．25 D.
答案　D
解析　由换底公式，得原式＝··＝2，lg x＝－2lg 5，x＝5－2＝.

答案　C
解析　

5．设log83＝p，log35＝q，则lg 5等于(　　)
A．p2＋q2 B.(3p＋2q)
C. D．pq
答案　C
解析　∵log83＝＝＝p，
∴lg 3＝3plg 2.
∵log35＝＝q，
∴lg 5＝qlg 3＝3pqlg 2＝3pq(1－lg 5)，
∴lg 5＝，故选C.
二、填空题
6．若logab·log3a＝4，则b的值为________．
答案　81
解析　logab·log3a＝4，即log3a·＝4，即log3b＝4，
∴34＝b，∴b＝81.
7．方程log3(x－1)＝log9(x＋5)的解是________．
答案　4
解析　由换底公式，得log9(x＋5)＝log3(x＋5)．
∴原方程可化为2log3(x－1)＝log3(x＋5)，
即log3(x－1)2＝log3(x＋5)，
∴(x－1)2＝x＋5.
∴x2－3x－4＝0，解得x＝4或x＝－1.
又∵∴x>1，故x＝4.
8．设f(n)＝logn＋1(n＋2)(n∈N*)，现把满足乘积f(1)·f(2)…f(n)为整数的n叫做“贺数”，则在区间(1,2018)内所有“贺数”的个数是________．
答案　9
解析　f(n)＝logn＋1(n＋2)＝，
∴f(1)f(2)…f(n)＝··…·＝＝log2(n＋2)．
∵n∈(1,2018)，∴n＋2∈(3,2020)，
∵210＝1024,211＝2048，
∴在(3,2020)内含有22,23，…，210共9个2的幂，故在区间(1,2018)内所有“贺数”的个数为9.
三、解答题
9．若2a＝3,3b＝5，试用a与b表示log4572.
解　∵2a＝3,3b＝5，∴log23＝a，log35＝b，
∴log25＝log23·log35＝ab，
∴log4572＝＝＝＝.
10．设0<a<1，x，y满足logax＋3logxa－logxy＝3，若当y＝时，logay取得最小值，求a的值．
解　由已知条件，得logax＋3logxa－logxy＝logax＋－＝3，
所以logay＝(logax)2－3logax＋3
＝2＋.
当logax＝时，logay有最小值.
此时y＝，所以有loga＝，

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