2022年普通高等学校招生全国统一考试数学文试题(湖北卷).docx

2022年普通高等学校招生全国统一考试〔湖北卷〕
数 学〔文史类〕
一、选择题：本大题共10小题，每题5分，共50分. 在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的.
1．全集，集合，，那么
A．B．C．D．
2．，那么双曲线：与：的
A．实轴长相等 B．虚轴长相等C．离心率相等D．焦距相等
3．在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次．设命题p是“甲降落在指定范围〞，q是“乙降落在指定范围〞，那么命题“至少有一位学员没有降落在指定范围〞可表示为
A．∨B．∨C．∧D．∨
4．四名同学根据各自的样本数据研究变量之间的相关关系，并求得回归直线方程，分
别得到以下四个结论：
①y与x负相关且； ②y与x负相关且；
③y与x正相关且； ④y与x正相关且.
其中一定不正确的结论的序号是
A．①②B．②③C．③④D． ①④
5．小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间，后为了赶时间加快速度行驶. 与以上事件吻合得最好的图象是
距学校的距离
距学校的距离
距学校的距离
A
B
C
D
时间
时间
时间
时间
O
O
O
O
距学校的距离

6．将函数的图象向左平移个单位长度后，所得到的图象关于y轴对称，那么m的最小值是
A．B．C．D．
7．点、、、，那么向量在方向上的投影为
A．B．C．D．
8．x为实数，表示不超过的最大整数，那么函数在上为
A．奇函数 B．偶函数 C．增函数 D． 周期函数
9．某旅行社租用、两种型号的客车安排900名客人旅行，、两种车辆的载客量分别为36人和60人，租金分别为1600元/辆和2400元/辆，旅行社要求租车总数不超过21辆，且型车不多于型车7辆．那么租金最少为
A．31200元 B．36000元C．36800元 D．38400元
10．函数有两个极值点，那么实数的取值范围是
A．B．C．D．
二、填空题：本大题共7小题，每题5分，共35分．请将答案填在答题卡对应题号的位置上. 答错位置，书写不清，模棱两可均不得分.
11．为虚数单位，设复数，在复平面内对应的点关于原点对称，假设，那么.
12．某学员在一次射击测试中射靶10次，命中环数如下：7，8，7，9，5，4，9，10，7，4
那么〔Ⅰ〕平均命中环数为； 〔Ⅱ〕命中环数的标准差为.
13．阅读如下列图的程序框图，运行相应的程序. 假设输入的值为2， 那么输出的结果.
否

输入

开始
结束
是

输出
第13题图

14．圆：，直线：〔〕.设圆上到直线的距离等于1的点的个数为，那么.
15．在区间上随机地取一个数x，假设x满足的概率为，那么.
16．我国古代数学名著 数书九章 中有“天池盆测雨〞题：在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水. 天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸. 假设盆中积水深九寸，那么平地降雨量是寸.
〔注：①平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积；②一尺等于十寸〕
17．在平面直角坐标系中，假设点的坐标，均为整数，那么称点为格点.假设一个多边形的顶点全是格点，那么称该多边形为格点多边形.格点多边形的面积记为，其内部的格点数记为，边界上的格点数记为.例如图中△是格点三角形，对应的，，.
〔Ⅰ〕图中格点四边形DEFG对应的分别是；
〔Ⅱ〕格点多边形的面积可表示为，其中a，b，c为常数. 假设某格点多边形对应的，， 那么〔用数值作答〕.
三、解答题：本大题共5小题，共65分．解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤.
18．〔本小题总分值12分〕
在△中，角，，对应的边分别是，，..
〔Ⅰ〕求角A的大小；〔Ⅱ〕假设△的面积，，求的值.
19．〔本小题总分值13分〕
是等比数列的前项和，，，成等差数列，且.
〔Ⅰ〕求数列的通项公式；
〔Ⅱ〕是否存在正整数，使得假设存在，求出符合条件的所有的集合；假设不存在，说明理由．
20．〔本小题总分值13分〕
如图，某地质队自水平地面A，B，C三处垂直向地下钻探，自A点向下钻到A1处发现矿藏，再继续下钻到A2处后下面已无矿，从而得到在A处正下方的矿层厚度为．同样可得在B，C处正下方的矿层厚度分别为，，且.过，的中点，且与直线平行的平面截多面体所得的截面为该多面体的一个中截面，其面积记为．
〔Ⅰ〕证明：中截面是梯形；
〔Ⅱ〕在△ABC中，记，BC边上的高为，面积为. 在估测三角形区域内正下方的矿藏储量〔即多面体的体积〕时，可用近似公式来估算. ，试判断与V的大小关系，并加以证明.
第20题图

21．〔本小题总分值13分〕
设，，函数.
〔Ⅰ〕当时，讨论函数的单调性；
〔Ⅱ〕当时，称为、关于的加权平均数.
〔i〕判断, ,是否成等比数列，并证明；
〔ii〕、的几何平均数记为G. 称为、的调和平均数，记为H. 假设，求的取值范围.
22．〔本小题总分值14分〕
如图，椭圆与的中心在坐标原点，长轴均为且在轴上，短轴长分别
为，，过原点且不与轴重合的直线与，的四个交点按纵坐标从
大到小依次为A，B，C，D．记，△和△的面积分别为和.
〔Ⅰ〕当直线与轴重合时，假设，求的值；
〔Ⅱ〕当变化时，是否存在与坐标轴不重合的直线l，使得并说明理由．

第22题图

2022年普通高等学校招生全国统一考试〔湖北卷〕
数学〔文史类〕试题参考答案
一、选择题：
1．B 2．D3．A4．D 5．C 6．B 7．A 8．D 9．C 10．B
二、填空题：
11．12．〔Ⅰ〕7〔Ⅱ〕2 13．4
14．4 15．3 16．3 17．〔Ⅰ〕3, 1, 6 〔Ⅱ〕79
三、解答题：
18．〔Ⅰ〕由，得,
即，解得 或〔舍去〕.
因为，所以.
〔Ⅱ〕由得. 又，知.
由余弦定理得故.
又由正弦定理得.
19． 〔Ⅰ〕设数列的公比为，那么，. 由题意得
即
解得
故数列的通项公式为.　　
〔Ⅱ〕由〔Ⅰ〕有.
假设存在，使得，那么，即
当为偶数时，， 上式不成立；
当为奇数时，，即，那么.
综上，存在符合条件的正整数，且所有这样的n的集合为.
20． 〔Ⅰ〕依题意平面，平面，平面，
所以A1A2∥B1B2∥C1C2. 又，，，且 .
因此四边形、均是梯形.
由∥平面，平面，且平面平面，
可得AA2∥ME，即A1A2∥DE. 同理可证A1A2∥FG，所以DE∥FG.
又、分别为、的中点，
那么、、、分别为、、、的中点，
即、分别为梯形、的中位线.
因此 ，，
而，故，所以中截面是梯形.
〔Ⅱ〕. 证明如下：
由平面，平面，可得.
而EM∥A1A2，所以，同理可得.
由是△的中位线，可得即为梯形的高，
因此，
即.
又，所以.
于是.
由，得，，故.
21． 〔Ⅰ〕的定义域为，
.
当时，，函数在，上单调递增；
当时，，函数在，上单调递减.
〔Ⅱ〕〔i〕计算得，，.
故, 即
. ①
所以成等比数列.
因，即. 由①得.
〔ii〕由〔i〕知，.故由，得
. ②
当时，.
这时，的取值范围为；
当时，，从而，由在上单调递增与②式，
得，即的取值范围为；
当时，，从而，由在上单调递减与②式，
得，即的取值范围为.
22． 依题意可设椭圆和的方程分别为
：，：. 其中，
〔Ⅰ〕解法1：如图1，假设直线与轴重合，即直线的方程为，那么
，，所以.
在C1和C2的方程中分别令，可得，，，
于是.
假设，那么，化简得. 由，可解得.
故当直线与轴重合时，假设，那么.
解法2：如图1，假设直线与轴重合，那么
，；
，.
所以.
假设，那么，化简得. 由，可解得.
故当直线与轴重合时，假设，那么.

第22题解答图1

第22题解答图2

〔Ⅱ〕解法1：如图2，假设存在与坐标轴不重合的直线l，使得. 根据对称性，
不妨设直线：，
点，到直线的距离分别为，，那么
因为，，所以.
又，，所以，即.
由对称性可知，所以，
，于是
. ①
将的方程分别与C1，C2的方程联立，可求得
，.
根据对称性可知，，于是
. ②
从而由①和②式可得
. ③
令，那么由，可得，于是由③可解得.
因为，所以. 于是③式关于有解，当且仅当，
等价于. 由，可解得，
即，由，解得，所以
当时，不存在与坐标轴不重合的直线l，使得；
当时，存在与坐标轴不重合的直线l使得.
解法2：如图2，假设存在与坐标轴不重合的直线l，使得. 根据对称性，
不妨设直线：，
点，到直线的距离分别为，，那么
因为，，所以.
又，，所以.
因为，所以.
由点，分别在C1，C2上，可得
，，两式相减可得，
依题意，所以. 所以由上式解得.
因为，所以由，可解得.
从而，解得，所以
当时，不存在与坐标轴不重合的直线l，使得；
当时，存在与坐标轴不重合的直线l使得.