2022年普通高等学校招生全国统一考试数学文试题(陕西卷).docx

2022年普通高等学校招生全国统一考试
文科数学
本卷须知:
1. 本试卷分为两局部, 第一局部为选择题，第二局部为非选择题.。
2. 考生领到试卷后，须按规定在试卷上填写姓名、准考证号，并在答题卡上填涂对应的试卷类型信息.。
3. 所有解答必须填写在答题卡上指定区域内。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一局部(共50分)
1. 第一局部(共50分)
一、选择题：在每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求〔本大题共10小题，每题5分，共50分〕
1. 设全集为R, 函数的定义域为M, 那么为
(A) (－∞,1) (B) (1, + ∞) (C) (D)
【答案】B
【解析】,所以选B
2. 向量 , 假设a//b, 那么实数m等于
(A) (B)
(C) 或 (D) 0
2. 【答案】C
【解析】,所以选C
3. 设a, b, c均为不等于1的正实数, 那么以下等式中恒成立的是
(A) (B)
(C) (D)
3. 【答案】B
【解析】a, b,c≠1. 考察对数2个公式:
对选项A: ,显然与第二个公式不符，所以为假。
对选项B: ,显然与第二个公式一致，所以为真。
对选项C:,显然与第一个公式不符，所以为假。
对选项D: ,同样与第一个公式不符，所以为假。
所以选B
输入x
If x≤50 Then
y = 0.5 * x
Else
y = 25 + 0.6*(x-50)
End If
输出y
4. 根据以下算法语句, 当输入x为60时, 输出y的值为
(A) 25
(B) 30
(C) 31
(D) 61
4. 【答案】C
【解析】,所以选C
5. 对一批产品的长度(单位: mm)进行抽样检测, 以下列图喂检测结果的频率分布直方图. 根据标准, 产品长度在区间[20,25)上的为一等品, 在区间[15,20)和区间[25,30)上的为二等品, 在区间[10,15)和[30,35)上的为三等品. 用频率估计概率, 现从该批产品中随机抽取一件, 那么其为二等品的概率为
(A) 0.09 (B) 0.20 (C) 0.25 (D) 0.45
5. 【答案】D
【解析】组距为5，二等品的概率为。所以，从该批产品中随机抽取1件，那么其是二等品的概率为0.45. 所以选D
6. 设z是复数, 那么以下命题中的假命题是
(A) 假设, 那么z是实数 (B) 假设, 那么z是虚数
(C) 假设z是虚数, 那么 (D) 假设z是纯虚数, 那么
6.【答案】C
【解析】。经观察，C和D选项可能是互相排斥的，应重点注意。
对选项A:,所以为真。
对选项B:,所以为真.
对选项C:,所以为假
对选项D:,所以为真.
所以选C
7. 假设点(x,y)位于曲线y = |x|与y = 2所围成的封闭区域, 那么2x－y的最小值为
(A) －6 (B) －2 (C) 0 (D) 2
7.【答案】A
【解析】的图像围成一个三角形区域，3个顶点的坐标分别是(0,0),(-2,2),(2,2). 且当取点(-2,2)时，2x– y = - 6取最小值。所以选A
8. 点M(a,b)在圆外, 那么直线ax + by = 1与圆O的位置关系是
(A) 相切 (B) 相交 (C) 相离 (D) 不确定
8. 【答案】B
【解析】点M(a, b)在圆
=圆的半径，故直线与圆相交。
所以选B.
9. 设△ABC的内角A, B, C所对的边分别为a, b, c, 假设, 那么△ABC的形状为
(A) 直角三角形 (B) 锐角三角形 (C) 钝角三角形 (D) 不确定
9.【答案】A
【解析】因为，所以
又。联立两式得。
所以。选A
10. 设[x]表示不大于x的最大整数, 那么对任意实数x, y, 有
(A) [－x] = －[x] (B) [x + ] = [x]
(C) [2x] = 2[x] (D)
10.【答案】D
【解析】代值法。
对A, 设x = - 1.8, 那么[-x] = 1, -[x] = 2, 所以A选项为假。
对B, 设x = 1.8, 那么[x+] = 2, [x] = 1, 所以B选项为假。
对C, 设x = - 1.4, [2x] = [-2.8] = - 3, 2[x] = - 4, 所以C选项为假。
故D选项为真。所以选D
二、填空题：把答案填写在答题卡相应题号后的横线上〔本大题共5小题，每题5分，共25分〕
11. 双曲线的离心率为.
11. 【答案】
【解析】
12. 某几何体的三视图如下列图, 那么其外表积为.
12. 【答案】
【解析】 综合三视图可知，立体图是一个半径r=1的半个球体。其外表积 =
13. 观察以下等式:
…
照此规律, 第n个等式可为.
13. 【答案】
【解析】考察规律的观察、概况能力，注意项数，开始值和结束值。
第n个等式可为:
14. 在如下列图的锐角三角形空地中, 欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影局部), 那么其边长x为(m).
14. 【答案】20
【解析】 利用均值不等式解决应用问题。设矩形高为y, 由三角形相似得:
.
15. (考生请注意:请在以下三题中任选一题作答, 如果多做, 那么按所做的第一题计分)
A. (不等式选做题) 设a, b∈R, |a－b|>2, 那么关于实数x的不等式的解集是.
B. (几何证明选做题) 如图, AB与CD相交于点E, 过E作BC的平行线与AD的延长线相交于点P. , PD = 2DA = 2, 那么PE = .
C. (坐标系与参数方程选做题) 圆锥曲线 (t为参数)的焦点坐标是 .
15. A 【答案】R
【解析】 考察绝对值不等式的根本知识。函数的值域为：
.
所以，不等式的解集为R。
B 【答案】
【解析】
C 【答案】 (1, 0)
【解析】
三、解答题: 解容许写出文字说明、证明过程及演算步骤〔本大题共6小题，共75分〕
16. (本小题总分值12分)
向量, 设函数.
(Ⅰ)求f (x)的最小正周期.
(Ⅱ) 求f (x) 在上的最大值和最小值.
16. 【答案】(Ⅰ). (Ⅱ).
【解析】(Ⅰ)
=。
最小正周期。
所以最小正周期为。
(Ⅱ).
.
所以，f (x) 在上的最大值和最小值分别为.
17. (本小题总分值12分)
设Sn表示数列的前n项和.
(Ⅰ) 假设为等差数列, 推导Sn的计算公式;
(Ⅱ) 假设, 且对所有正整数n, 有.判断是否为等比数列.
17. 【答案】(Ⅰ);
(Ⅱ)是首项,公比的等比数列。
【解析】(Ⅰ) 设公差为d,那么
.
(Ⅱ)。
.
所以,是首项,公比的等比数列。
18. (本小题总分值12分)
如图, 四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面ABCD是正方形, O为底面中心, A1O⊥平面ABCD, .
(Ⅰ)证明: A1BD//平面CD1B1;
(Ⅱ) 求三棱柱ABD－A1B1D1的体积.
18. 【答案】 (Ⅰ) ,见下.
(Ⅱ)1
【解析】 (Ⅰ) 设.
.
.(证毕)
(Ⅱ).
在正方形AB CD中,AO = 1 .
.
所以，.
19. (本小题总分值12分)
有7位歌手(1至7号)参加一场歌唱比赛, 由500名群众评委现场投票决定歌手名次, 根据年龄将群众评委分为5组, 各组的人数如下:
组别
A
B
C
D
E
人数
50
100
150
150
50
(Ⅰ)为了调查评委对7位歌手的支持状况, 现用分层抽样方法从各组中抽取假设干评委, 其中从B组中抽取了6人. 请将其余各组抽取的人数填入下表.
组别
A
B
C
D
E
人数
50
100
150
150
50
抽取人数

6

(Ⅱ) 在(Ⅰ)中, 假设A, B两组被抽到的评委中各有2人支持1号歌手, 现从这两组被抽到的评委中分别任选1人, 求这2人都支持1号歌手的概率.
19. 【答案】 (Ⅰ).
组别
A
B
C
D
E
人数
50
100
150
150
50
抽取人数
3
6
9
9
3
(Ⅱ)
【解析】 (Ⅰ) 按相同的比例从不同的组中抽取人数。
从B组100人中抽取6人，即从50人中抽取3人，从100人中抽取6人，从100人中抽取9人。
(Ⅱ)A组抽取的3人中有2人支持1号歌手，那么从3人中任选1人，支持支持1号歌手的概率为·
B组抽取的6人中有2人支持1号歌手，那么从6人中任选1人，支持支持1号歌手的概率为·
现从抽样评委A组3人,B组6人中各自任选一人，那么这2人都支持1号歌手的概率.
所以，从A,B两组抽样评委中，各自任选一人，那么这2人都支持1号歌手的概率为.
20. (本小题总分值13分)
动点M(x,y)到直线l:x = 4的距离是它到点N(1,0)的距离的2倍.
(Ⅰ) 求动点M的轨迹C的方程;
(Ⅱ) 过点P(0,3)的直线m与轨迹C交于A, B两点. 假设A是PB的中点, 求直线m的斜率.
20. 【答案】 (Ⅰ). . (Ⅱ)
【解析】 (Ⅰ) 点M(x,y)到直线x=4的距离,是到点N(1,0)的距离的2倍，那么
.
所以，动点M的轨迹为 椭圆，方程为
(Ⅱ) P(0, 3), 设
椭圆经检验直线m不经过这2点，即直线m斜率k存在。.联立椭圆和直线方程，整理得：
所以，直线m的斜率
21. (本小题总分值14分)
函数.
(Ⅰ)求f(x)的反函数的图象上图象上点(1,0)处的切线方程;
(Ⅱ) 证明: 曲线y = f (x) 与曲线有唯一公共点.
(Ⅲ) 设a<b, 比较与的大小, 并说明理由.
21.【答案】(Ⅰ)y = x+ 1.
当m 时,有0个公共点；当m= ,有1个公共点；当m 有2个公共点；
(Ⅲ) >
(Ⅱ)【解析】(Ⅰ) f (x)的反函数,那么y=g(x)过点〔1,0〕的切线斜率k=.
.过点〔1,0〕的切线方程为：y = x+ 1
(Ⅱ) 证明曲线y=f(x)与曲线有唯一公共点，过程如下。
因此，
所以，曲线y=f(x)与曲线只有唯一公共点(0,1).(证毕〕
(Ⅲ) 设
令。
，且
。
所以