2022年普通高等学校招生全国统一考试数学文试题(福建卷).docx

2022年普通高等学校招生全国统一考试〔福建卷〕
数学试题〔文史类〕
第I卷〔选择题 共60分〕
一．选择题
1．复数〔为虚数单位〕在复平面内对应的点位于〔 〕
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．设点，那么“且〞是“点在直线上〞的〔 〕
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
3．假设集合，那么的子集个数为〔 〕
A．2 B．3 C．4 D．16
4．双曲线的顶点到其渐近线的距离等于〔 〕
A． B． C．1 D．
5．函数的图象大致是〔 〕
A． B． C． D．
6．假设变量满足约束条件，那么的最大值和最小值分别为〔 〕
A．4和3 B．4和2 C．3和2 D．2和0
7．假设，那么的取值范围是〔 〕
A． B． C． D．
8．阅读如下列图的程序框图，运行相应的程序，如果输入某个正整数后，输出的，那么的值为〔 〕
A．3 B．4 C．5 D．6
9．将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，假设的图象都经过点，那么的值可以是〔 〕
A． B． C． D．
10．在四边形中，，那么该四边形的面积为〔 〕
A． B． C．5 D．10
11．与之间的几组数据如下表：

1
2
3
4
5
6

0
2
1
3
3
4
假设根据上表数据所得线性回归直线方程为．假设某同学根据上表中前两组数据和求得的直线方程为，那么以下结论正确的选项是〔 〕
A． B． C． D．
12．设函数的定义域为，是的极大值点，以下结论一定正确的选项是〔 〕
A． B．是的极小值点
C．是的极小值点 D．是的极小值点
二．填空题
13．函数，那么
14．利用计算机产生之间的均匀随机数，那么事件“〞发生的概率为
15．椭圆的左、右焦点分别为，焦距为．假设直线与
椭圆的一个交点满足，那么该椭圆的离心率等于
16．设是的两个非空子集，如果存在一个从到的函数满足；
〔i〕；〔ii〕对任意，当时，恒有．
那么称这两个集合“保序同构〞．现给出以下3对集合：
①；
②；
③．
其中，“保序同构〞的集合对的序号是〔写出所有“保序同构〞的集合对的序号〕
三．解答题
17．〔本小题总分值12分〕等差数列的公差，前项和为．
〔1〕假设成等比数列，求；
〔2〕假设，求的取值范围．
18．〔本小题总分值12分〕如图，在四棱锥中，，，，，，，．
〔1〕当正视图方向与向量的方向相同时，画出四棱锥的正视图.〔要求标出尺寸，并画出演算过程〕；
〔2〕假设为的中点，求证：；
〔3〕求三棱锥的体积．
19．〔本小题总分值12分〕某工厂有25周岁以上〔含25周岁〕工人300名，25周岁以下工人200名．为研究工人的日平均生产量是否与年龄有关．现采用分层抽样的方法，从中抽取了100名工人，先统计了他们某月的日平均生产件数，然后按工人年龄在“25周岁以上〔含25周岁〕〞和“25周岁以下〞分为两组，在将两组工人的日平均生产件数分成5组：，，，，分别加以统计，得到如下列图的频率分布直方图．
〔1〕从样本中日平均生产件数缺乏60件的工人中随机抽取2人，求至少抽到一名“25周岁以下组〞工人的频率．
〔2〕规定日平均生产件数不少于80件者为“生产能手〞，请你根据条件完成的列联表，并判断是否有
的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有关〞
附表：
20．〔本小题总分值12分〕如图，在抛物线的焦点为，准线与轴的交点为．点在抛物线上，以为圆心为半径作圆，设圆与准线的交于不同的两点．
〔1〕假设点的纵坐标为2，求；
〔2〕假设，求圆的半径．
21〔本小题总分值12分〕如图，在等腰直角三角形中，，，点在线段上．
〔1〕假设，求的长；
〔2〕假设点在线段上，且，问：当取何值时，的面积最小并求出面积的最小
值．
22〔本小题总分值14分〕函数〔，为自然对数的底数〕．
〔1〕假设曲线在点处的切线平行于轴，求的值；
〔2〕求函数的极值；
〔3〕当的值时，假设直线与曲线没有公共点，求的最大值．
参考答案
一、选择题
1．C
2．A
3．C
4．B
5．A
6．B
7．D
8．B
9．B
10．C
11．C
12．D
13．．
14．
15．
16．①②③
17．解：〔1〕因为数列的公差，且成等比数列，
所以，
即，解得或．
〔2〕因为数列的公差，且，
所以；
即，解得
18．解法一：〔Ⅰ〕在梯形中，过点作，垂足为，
由得，四边形为矩形，
在中，由，,依勾股定理得：
，从而
又由平面得，
从而在中，由，,得
正视图如右图所示：
〔Ⅱ〕取中点，连结，
在中，是中点，
∴，，又,
∴，
∴四边形为平行四边形，∴
又平面，平面
∴平面
〔Ⅲ〕
又，，所以
解法二：
〔Ⅰ〕同解法一
〔Ⅱ〕取的中点，连结,
在梯形中，，且
∴四边形为平行四边形
∴，又平面，平面
∴平面，又在中，
平面,平面
∴平面.又,
∴平面平面，又平面
∴平面
〔Ⅲ〕同解法一
19．解：〔Ⅰ〕由得，样本中有周岁以上组工人名，周岁以下组工人名
所以，样本中日平均生产件数缺乏件的工人中，周岁以上组工人有〔人〕，
记为，，；周岁以下组工人有〔人〕，记为，
从中随机抽取名工人，所有可能的结果共有种，他们是：，，，，，，，，，
其中，至少有名“周岁以下组〞工人的可能结果共有种，它们是：，，，，，，.故所求的概率：
〔Ⅱ〕由频率分布直方图可知，在抽取的名工人中，“周岁以上组〞中的生产能手〔人〕，“周岁以下组〞中的生产能手〔人〕，据此可得列联表如下：

生产能手
非生产能手
合计
周岁以上组

周岁以下组

合计

所以得：
因为，所以没有的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有关〞
20．解：〔Ⅰ〕抛物线的准线的方程为，
由点的纵坐标为，得点的坐标为
所以点到准线的距离，又．
所以.
〔Ⅱ〕设，那么圆的方程为，
即.
由，得
设，，那么：
由，得
所以，解得，此时
所以圆心的坐标为或
从而，，即圆的半径为
21．解：〔Ⅰ〕在中，，，，
由余弦定理得，，
得，
解得或．
〔Ⅱ〕设，，
在中，由正弦定理，得，
所以，
同理
故
因为，，所以当时，的最大值为，此时的面积取到最小值．即2时，的面积的最小值为．
22．解：〔Ⅰ〕由，得．
又曲线在点处的切线平行于轴，
得，即，解得．
〔Ⅱ〕，
①当时，，为上的增函数，所以函数无极值．
②当时，令，得，．
，；，．
所以在上单调递减，在上单调递增，
故在处取得极小值，且极小值为，无极大值．
综上，当时，函数无极小值；
当，在处取得极小值，无极大值．
〔Ⅲ〕当时，
令，
那么直线：与曲线没有公共点，
等价于方程在上没有实数解．
假设，此时，，
又函数的图象连续不断，由零点存在定理，可知在上至少有一解，与“方程在上没有实数解〞矛盾，故．
又时，，知方程在上没有实数解．
所以的最大值为．
解法二：
〔Ⅰ〕〔Ⅱ〕同解法一．
〔Ⅲ〕当时，．
直线：与曲线没有公共点，
等价于关于的方程在上没有实数解，即关于的方程：
〔*〕
在上没有实数解．
①当时，方程〔*〕可化为，在上没有实数解．
②当时，方程〔*〕化为．
令，那么有．
令，得，
当变化时，的变化情况如下表：

当时，，同时当趋于时，趋于，
从而的取值范围为．
所以当时，方程〔*〕无实数解，
解得的取值范围是．
综上，得的最大值为．