2022年普通高等学校招生全国统一考试数学理试题(湖北卷).docx

2022年湖北省理科数学高考试题WORD解析版
一、选择题
1、在复平面内，复数〔为虚数单位〕的共轭复数对应的点位于〔 〕
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
【解析与答案】，。
应选D
【相关知识点】复数的运算
2、全集为，集合，，那么〔 〕
A. B.
C. D.
【解析与答案】，，。
应选C
【相关知识点】不等式的求解，集合的运算
3、在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次，设命题是“甲降落在指定范围〞，是“乙降落在指定范围〞，那么命题“至少有一位学员没有降落在指定范围〞可表示为〔 〕
A. B. C. D.
【解析与答案】“至少有一位学员没有降落在指定范围〞
即：“甲或乙没有降落在指定范围内〞。
应选A。
【相关知识点】命题及逻辑连接词
4、将函数的图像向左平移个长度单位后，所得到的图像关于轴对称，那么的最小值是〔 〕
A. B. C. D.
【解析与答案】的图像向左平移个长度单位后变成，所以的最小值是。应选B。
【相关知识点】三角函数图象及其变换
5、，那么双曲线与的〔 〕
A.实轴长相等 B.虚轴长相等 C.焦距相等 D. 离心率相等
【解析与答案】双曲线的离心率是，双曲线的离心率是，应选D
【相关知识点】双曲线的离心率，三角恒等变形
6、点、、、，那么向量在方向上的投影为〔 〕
A. B. C. D.
【解析与答案】，，，应选A。
【相关知识点】向量的坐标运算，向量的投影
7、一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度〔的单位：，的单位：〕行驶至停止。在此期间汽车继续行驶的距离〔单位;〕是〔 〕
A. B. C. D.
【解析与答案】令 ，那么。汽车刹车的距离是，应选C。
【相关知识点】定积分在实际问题中的应用
8、一个几何体的三视图如下列图，该几何体从上到下由四个简单几何体组成，其体积分别记为，，，，上面两个简单几何体均为旋转体，下面两个简单几何体均为多面体，那么有〔 〕
A. B.
C. D.
【解析与答案】C 由柱体和台体的体积公式可知选C
【相关知识点】三视图，简单几何体体积
9、如图，将一个各面都涂了油漆的正方体，切割成125个同样大小的小正方体。经过搅拌后，从中随机取出一个小正方体，记它的涂油漆面数为，那么的均值为
A. B. C. D.
第9题图
【解析与答案】三面涂有油漆的有8块，两面涂有油漆的有36块，一面涂有油漆的有54块，没有涂有油漆的有27块，所以。应选B。
【相关知识点】古典概型，数学期望
10、为常数，函数有两个极值点，那么〔 〕
A. B.
C. D.
【解析与答案】令得，。
又，。，
应选D。
【相关知识点】函数导数与极值，函数的性质
二、填空题
〔一〕必考题
11、从某小区抽取100户居民进行月用电量调查，发现其用电量都在50到350度之间，频率分布直方图所示。
〔I〕直方图中的值为；
〔II〕在这些用户中，用电量落在区间内的户数为
。
第11题图
【解析与答案】，
【相关知识点】频率分布直方图
12、阅读如下列图的程序框图，运行相应的程序，输出的结果。
否

开始
是
结束
是奇数

是
否
输出

【解析与答案】5 程序框图运行过程如表所示：
i
1
2
3
4
5
a
10
5
16
8
4
【相关知识点】程序框图
13、设，且满足：，，那么。
【解析与答案】由柯西不等式知，结合条件得，从而解得，。
【相关知识点】柯西不等式及其等号成立的条件〕
14、古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数。如三角形数1,3,6,10，…，第个三角形数为。记第个边形数为，以以下出了局部边形数中第个数的表达式：
三角形数
正方形数
五边形数
六边形数
……
可以推测的表达式，由此计算。
【解析与答案】观察和前面的系数，可知一个成递增的等差数列另一个成递减的等差数列，故，
【相关知识点】归纳推理，等差数列
〔二〕选考题

第15题图

15、如图，圆上一点在直线上的射影为，点在半径上的射影为。假设，那么的值为。
【解析与答案】由射影定理知
【相关知识点】射影定理，圆幂定理
16、在直角坐标系中，椭圆的参数方程为。在极坐标系〔与直角坐标系取相同的长度单位，且以原点为极点，以轴正半轴为极轴〕中，直线与圆的极坐标方程分别为与。假设直线经过椭圆的焦点，且与圆相切，那么椭圆的离心率为。
【解析与答案】直线的方程是，作出图形借助直线的斜率可得，所以，
【相关知识点】极坐标与直角坐标的转化，椭圆的几何性质，直线与圆
三、解答题
17、在中，角，，对应的边分别是，，。。
〔I〕求角的大小；
〔II〕假设的面积，，求的值。
【解析与答案】〔I〕由条件得：
，解得，角
〔II〕，由余弦定理得：，
【相关知识点】二倍角公式，解三角函数方程，三角形面积，正余弦定理
18、等比数列满足：，。
〔I〕求数列的通项公式；
〔II〕是否存在正整数，使得假设存在，求的最小值；假设不存在，说明理由。
【解析与答案】〔I〕由条件得：，又，，
所以数列的通项或
〔II〕假设，，不存在这样的正整数；
假设，，不存在这样的正整数。
【相关知识点】等比数列性质及其求和
19、如图，是圆的直径，点是圆上异于的点，直线平面，，分别是，的中点。
〔I〕记平面与平面的交线为，试判断直线与平面的位置关系，并加以证明；
〔II〕设〔I〕中的直线与圆的另一个交点为，且点满足。记直线与平面所成的角为，异面直线与所成的角为，二面角的大小为，求证：。
第19题图

【解析与答案】〔I〕，，
又
〔II〕连接DF，用几何方法很快就可以得到求证。〔这一题用几何方法较快，向量的方法很麻烦，特别是用向量不能方便的表示角的正弦。个人认为此题与新课程中对立体几何的处理方向有很大的偏差。〕
【相关知识点】
20、假设每天从甲地去乙地的旅客人数是服从正态分布的随机变量。记一天中从甲地去乙地的旅客人数不超过900的概率为。
〔I〕求的值；〔参考数据：假设，有，，。〕
〔II〕某客运公司用、两种型号的车辆承担甲、乙两地间的长途客运业务，每车每天往返一次，、两种车辆的载客量分别为36人和60人，从甲地去乙地的运营本钱分别为1600元/辆和2400元/辆。公司拟组建一个不超过21辆车的客运车队，并要求型车不多于型车7辆。假设每天要以不小于的概率运完从甲地去乙地的旅客，且使公司从甲地去乙地的运营本钱最小，那么应配备型车、型车各多少辆
【解析与答案】〔I〕
〔II〕设配备型车辆，型车辆，运营本钱为元，由条件得
，而
作出可行域，得到最优解。
所以配备型车5辆，型车12辆可使运营本钱最小。
【相关知识点】正态分布，线性规划
21、如图，椭圆与的中心在坐标原点，长轴均为且在轴上，短轴长分别为，，过原点且不与轴重合的直线与，的四个交点按纵坐标从大到小依次为，，，。记，和的面积分别为和。
〔I〕当直线与轴重合时，假设，求的值；
〔II〕当变化时，是否存在与坐标轴不重合的直线，使得并说明理由。

第21题图

【解析与答案】〔I〕，
解得：〔舍去小于1的根〕
〔II〕设椭圆，，直线：
同理可得，
又和的的高相等
如果存在非零实数使得，那么有，
即：，解得
当时，，存在这样的直线；当时，，不存在这样的直线。
【相关知识点】直线与椭圆相交的问题〔计算异常复杂〕
22、设是正整数，为正有理数。
〔I〕求函数的最小值；
〔II〕证明：；
〔III〕设，记为不小于的最小整数，例如，，。令，求的值。
〔参考数据：，，，〕
证明：〔I〕
在上单减，在上单增。
〔II〕由〔I〕知：当时，〔就是伯努利不等式了〕
所证不等式即为：
假设，那么
…………①
，
，故①式成立。
假设，显然成立。
…………②
，
，故②式成立。
综上可得原不等式成立。
〔III〕由〔II〕可知：当时，