2022年普通高等学校招生全国统一考试数学理试题(广东卷).docx

2022年普通高等学校招生全国统一考试〔广东卷〕
数学〔理科〕逐题详解
参考公式:台体的体积公式,其中分别是台体的上、下底面积,表示台体的高.
一、选择题:本大题共8小题,每题5分,共40分,在每题给出的四个选项中,只有一项为哪一项符合题目要求的.
1．设集合,,那么( )
A .B．C．D．
【解析】D；易得,,所以,应选D．
2．定义域为的四个函数,,,中,奇函数的个数是( )
A .B．C．D．
【解析】C；考查根本初等函数和奇函数的概念,是奇函数的为与,应选C．
3．假设复数满足,那么在复平面内,对应的点的坐标是( )
A .B．C．D．
【解析】C；对应的点的坐标是,应选C．
4．离散型随机变量的分布列为

正视图
俯视图
侧视图
第5题图
那么的数学期望 ( )
A .B．C．D．
【解析】A；,应选A．
5．某四棱台的三视图如下列图,那么该四棱台的体积是 ( )
A .B．
C．D．
【解析】B；由三视图可知,该四棱台的上下底面边长分别为
和的正方形,高为,故,,应选B．
6．设是两条不同的直线,是两个不同的平面,以下命题中正确的选项是( )
A .假设,,,那么B．假设,,,那么
C．假设,,,那么D．假设,,,那么
【解析】D；ABC是典型错误命题,选D．
7．中心在原点的双曲线的右焦点为,离心率等于,在双曲线的方程是 ( )
A .B．C．D．
【解析】B；依题意,,所以,从而,,应选B．
8．设整数,集合.令集合
假设和都在中,那么以下选项正确的选项是( )
A .,B．,
C．,D．,
【解析】B；特殊值法,不妨令,,那么,,应选B．
如果利用直接法:因为，，所以…①，…②，…③三个式子中恰有一个成立；…④，…⑤，…⑥三个式子中恰有一个成立.配对后只有四种情况：第一种：①⑤成立，此时，于是，；第二种：①⑥成立，此时，于是，；第三种：②④成立，此时，于是，；第四种：③④成立，此时，于是，.综合上述四种情况，可得，.
二、填空题：此题共7小题，考生作答6小题，每题5分，共30分
是
否
输入

输出
结束
开始
第11题图

n

(一)必做题(9～13题)
9．不等式的解集为___________．
【解析】；易得不等式的解集为.
10．假设曲线在点处的切线平行于轴,那么______.
【解析】；求导得,依题意,所以.
11．执行如下列图的程序框图,假设输入的值为,那么输出的值为______.
【解析】；第一次循环后:；第二次循环后:；
第三次循环后:；第四次循环后:；故输出.
12. 在等差数列中,,那么_____.
【解析】；依题意,所以.
或:
x
y
4
4
1
O
13. 给定区域:,令点集
是在上取得最大值或最小值的点,那么中的点共确定______
条不同的直线.
【解析】；画出可行域如下列图,其中取得最小值时的整点为,取得最大值时的整点为,,,及共个整点.故可确定条不同的直线.
〔二〕选做题〔14、15题,考生只能从中选做一题,两题全答的,只计前一题的得分〕
14.(坐标系与参数方程选讲选做题)曲线的参数方程为(为参数),在点处的切线为,以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,那么的极坐标方程为_____________.
.
A
E
D
C
B
O
第15题图
【解析】；曲线的普通方程为,其在点处的切线的方程为,对应的极坐标方程为,即.
15. (几何证明选讲选做题)如图,是圆的直径,点在圆上,
延长到使,过作圆的切线交于.假设
,,那么_________.
【解析】；依题意易知,所以,又
,所以,从而.
三、解答题:本大题共6小题,总分值80分,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤.
16．〔本小题总分值12分〕
函数,.
(Ⅰ) 求的值； (Ⅱ) 假设,,求．
【解析】(Ⅰ)；
(Ⅱ)
因为,,所以,
所以,
所以.
17．〔本小题总分值12分〕

第17题图
某车间共有名工人,随机抽取名,他们某日加工零件个数的茎叶图如下列图,其中茎为十位数,叶为个位数.
(Ⅰ) 根据茎叶图计算样本均值；
(Ⅱ) 日加工零件个数大于样本均值的工人为优秀工人.
根据茎叶图推断该车间名工人中有几名优秀工人；
(Ⅲ) 从该车间名工人中,任取人,求恰有名优秀
工人的概率.
【解析】(Ⅰ) 样本均值为；
(Ⅱ) 由(Ⅰ)知样本中优秀工人占的比例为,故推断该车间名工人中有名优秀工人.
(Ⅲ) 设事件:从该车间名工人中,任取人,恰有名优秀工人,那么.
18．〔本小题总分值14分〕
如图1,在等腰直角三角形中,,,分别是上的点,,
.
C
O
B
D
E
A
C
D
O
B
E

图1
图2
为的中点.将沿折起,得到如图2所示的四棱锥,其中.
C
D
O
B
E

H
(Ⅰ) 证明:平面；
(Ⅱ) 求二面角的平面角的余弦值.
【解析】(Ⅰ) 在图1中,易得
连结,在中,由余弦定理可得
由翻折不变性可知,
所以,所以,
理可证, 又,所以平面.
(Ⅱ) 传统法:过作交的延长线于,连结,
因为平面,所以,
所以为二面角的平面角.
结合图1可知,为中点,故,从而
C
D
O
x
E

向量法图
y
z
B

所以,所以二面角的平面角的余弦值为.
向量法:以点为原点,建立空间直角坐标系如下列图,
那么,,
所以,
设为平面的法向量,那么
,即,解得,令,得
由(Ⅰ) 知,为平面的一个法向量,
所以,即二面角的平面角的余弦值为.
19．〔本小题总分值14分〕
设数列的前项和为.,,.
(Ⅰ) 求的值；
(Ⅱ) 求数列的通项公式；
(Ⅲ) 证明:对一切正整数,有.
【解析】(Ⅰ) 依题意,,又,所以；
(Ⅱ) 当时,,
两式相减得
整理得,即,又
故数列是首项为,公差为的等差数列,
所以,所以.
(Ⅲ) 当时,；当时,；
当时,,此时
综上,对一切正整数,有.
20．〔本小题总分值14分〕
抛物线的顶点为原点,其焦点到直线:的距离为.设为直线上的点,过点作抛物线的两条切线,其中为切点.
(Ⅰ) 求抛物线的方程；
(Ⅱ) 当点为直线上的定点时,求直线的方程；
(Ⅲ) 当点在直线上移动时,求的最小值.
【解析】(Ⅰ) 依题意,设抛物线的方程为,由结合,
解得.
所以抛物线的方程为.
(Ⅱ) 抛物线的方程为,即,求导得
设,(其中),那么切线的斜率分别为,,
所以切线的方程为,即,即
同理可得切线的方程为
因为切线均过点,所以,
所以为方程的两组解.
所以直线的方程为.
(Ⅲ) 由抛物线定义可知,,
所以
联立方程,消去整理得
由一元二次方程根与系数的关系可得,
所以
又点在直线上,所以,
所以
所以当时, 取得最小值,且最小值为.
21．〔本小题总分值14分〕
设函数(其中).
(Ⅰ) 当时,求函数的单调区间；
(Ⅱ) 当时,求函数在上的最大值.
【解析】(Ⅰ) 当时,
,
令,得,
当变化时,的变化如下表:

极大值

极小值

右表可知,函数的递减区间为,递增区间为,.
(Ⅱ),
令,得,,
令,那么,所以在上递增,
所以,从而,所以
所以当时,；当时,；
所以
令,那么,
令,那么
所以在上递减,而
所以存在使得,且当时,,
当时,,
所以在上单调递增,在上单调递减.
因为,,
所以在上恒成立,当且仅当时取得“〞.
综上,函数在上的最大值.