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图形的性质——四边形1
一．选择题〔共9小题〕
1．在以下所给出的4个图形中，对角线一定互相垂直的是〔 〕
A．长方形 B．平行四边形
C．菱形 D．直角梯形
2．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=6cm，动点P从点A出发，沿AB方向以每秒cm的速度向终点B运动；同时，动点Q从点B出发沿BC方向以每秒1cm的速度向终点C运动，将△PQC沿BC翻折，点P的对应点为点P′．设Q点运动的时间为t秒，假设四边形QP′CP为菱形，那么t的值为〔 〕
A． B．2 C． D．3
3．一个多边形的内角和是外角和的2倍，那么这个多边形是〔 〕
A．四边形 B．五边形 C．六边形 D．八边形
4．五边形的内角和是〔 〕
A．180° B．360° C．540° D．600°
5．将一个n边形变成n+1边形，内角和将〔 〕
A．减少180° B．增加90° C．增加180° D．增加360°
6．六盘水市“琼都大剧院〞即将完工，现需选用同一批地砖进行装修，以下不能镶嵌的地板是〔 〕
A．正五边形地砖 B．正三角形地砖 C．正六边形地砖 D．正四边形地砖
7．平行四边形的对角线一定具有的性质是〔 〕
A．相等 B．互相平分 C．互相垂直 D．互相垂直且相等
8如图，▱ABCD中，BC=BD，∠C=74°，那么∠ADB的度数是〔 〕
A．16° B．22° C．32° D．68°
9．在平行四边形ABCD中，点E在AD上，且AE：ED=3：1，CE的延长线与BA的延长线交于点F，那么S△AFE：S四边形ABCE为〔 〕
A．3：4 B．4：3 C．7：9 D．9：7
二．填空题〔共7小题〕
10．在四边形ABCD中，AB∥CD，请补充一个条件 _________ ，使得四边形ABCD是平行四边形．
11．五边形的内角和为 _________ ．
12．如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠B=45°，AE为BC边上的高，将△ABE沿AE所在直线翻折得△AB1E，那么△AB1E与四边形AECD重叠局部的面积是 _________ ．
13．正多边形的一个外角等于20°，那么这个正多边形的边数是 _________ ．
14．如图，▱ABCD中，AE⊥BD于E，∠EAC=30°，AE=3，那么AC的长等于 _________ ．
15．在▱ABCD中，BC边上的高为4，AB=5，AC=2，那么▱ABCD的周长等于 _________ ．
16．如图，在▱ABCD中，AD=2AB，F是AD的中点，作CE⊥AB，垂足E在线段AB上，连接EF、CF，那么以下结论中一定成立的是 _________ ．〔把所有正确结论的序号都填在横线上〕
①∠DCF=∠BCD；②EF=CF；③S△BEC=2S△CEF；④∠DFE=3∠AEF．
三．解答题〔共8小题〕
17．：如图，在▱ABCD中，O为对角线BD的中点，过点O的直线EF分别交AD，BC于E，F两点，连结BE，DF．
〔1〕求证：△DOE≌△BOF；
〔2〕当∠DOE等于多少度时，四边形BFDE为菱形请说明理由．
18．如图，▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，EF过点O且与AB，CD分别相交于点E、F，求证：△AOE≌△COF．
19． 如图，▱ABCD水平放置在平面直角坐标系xOy中，假设点A，D的坐标分别为〔﹣2，5〕，〔0，1〕，点B〔3，5〕在反比例函数y=〔x＞0〕图象上．
〔1〕求反比例函数y=的解析式；
〔2〕将▱ABCD沿x轴正方向平移10个单位后，能否使点C落在反比例函数y=的图象上并说明理由．
20．如图，在▱ABCD中，E，F分别为BC，AB中点，连接FC，AE，且AE与FC交于点G，AE的延长线与DC的延长线交于点N．
〔1〕求证：△ABE≌△NCE；
〔2〕假设AB=3n，FB=GE，试用含n的式子表示线段AN的长．
21．如图，在平行四边形ABCD中，∠B=∠AFE，EA是∠BEF的角平分线．求证：
〔1〕△ABE≌△AFE；
〔2〕∠FAD=∠CDE．
22．：如图，▱ABCD中，O是CD的中点，连接AO并延长，交BC的延长线于点E．
〔1〕求证：△AOD≌△EOC；
〔2〕连接AC，DE，当∠B=∠AEB= _________ °时，四边形ACED是正方形请说明理由．
23．如图，在▱ABCD中，E是AD边上的中点，连接BE，并延长BE交CD的延长线于点F．
〔1〕证明：FD=AB；
〔2〕当▱ABCD的面积为8时，求△FED的面积．
24．BD垂直平分AC，∠BCD=∠ADF，AF⊥AC，
〔1〕证明四边形ABDF是平行四边形；
〔2〕假设AF=DF=5，AD=6，求AC的长．
图形的性质——四边形1
参考答案与试题解析
一．选择题〔共9小题〕
1在以下所给出的4个图形中，对角线一定互相垂直的是〔 〕
A． 长方形 B． 平行四边形
B． C． 菱形 D． 直角梯形
考点： 多边形．
分析： 根据菱形的对角线互相垂直即可判断．
解答： 解：菱形的对角线互相垂直，而长方形、平行四边形、直角梯形的对角线不一定互相垂直．
应选：C．
点评： 此题考查了长方形、平行四边形、菱形、直角梯形的性质．常见四边形中，菱形与正方形的对角线互相垂直．
2．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=6cm，动点P从点A出发，沿AB方向以每秒cm的速度向终点B运动；同时，动点Q从点B出发沿BC方向以每秒1cm的速度向终点C运动，将△PQC沿BC翻折，点P的对应点为点P′．设Q点运动的时间为t秒，假设四边形QP′CP为菱形，那么t的值为〔 〕
A． B．2 C． D． 3
考点： 菱形的性质；翻折变换〔折叠问题〕．
专题： 压轴题；动点型．
分析： 首先连接PP′交BC于O，根据菱形的性质可得PP′⊥CQ，可证出PO∥AC，根据平行线分线段成比例可得 =，再表示出AP、AB、CO的长，代入比例式可以算出t的值．
解答： 解：连接PP′交BC于O，
∵假设四边形QPCP′为菱形，
∴PP′⊥QC，
∴∠POQ=90°，
∵∠ACB=90°，
∴PO∥AC，
∴=，
∵设点Q运动的时间为t秒，
∴AP=t，QB=t，
∴QC=6﹣t，
∴CO=3﹣，
∵AC=CB=6，∠ACB=90°，
∴AB=6，
∴=，
解得：t=2，
应选：B．
点评： 此题主要考查了菱形的性质，勾股定理，平行线分线段成比例，关键是熟记平行线分线段成比例定理的推论：平行于三角形一边的直线截其他两边〔或两边的延长线〕，所得的对应线段成比例．推出比例式=，再表示出所需要的线段长代入即可．
3．一个多边形的内角和是外角和的2倍，那么这个多边形是〔 〕
A． 四边形 B．五边形 C．六边形 D． 八边形
考点： 多边形内角与外角．
分析： 此题可以利用多边形的外角和和内角和定理求解．
解答： 解：设所求正n边形边数为n，由题意得
〔n﹣2〕•180°=360°×2
解得n=6．
那么这个多边形是六边形．
应选：C．
点评： 此题考查多边形的内角和与外角和、方程的思想．关键是记住内角和的公式与外角和的特征：任何多边形的外角和都等于360°，多边形的内角和为〔n﹣2〕•180°．
4．五边形的内角和是〔 〕
A． 180° B．360° C．540° D． 600°
考点： 多边形内角与外角．
专题： 常规题型．
分析： 直接利用多边形的内角和公式进行计算即可．
解答： 解：〔5﹣2〕•180°=540°．
应选：C．
点评： 此题主要考查了多边形的内角和定理，是根底题，熟记定理是解题的关键．
5．将一个n边形变成n+1边形，内角和将〔 〕
A． 减少180° B．增加90° C．增加180° D． 增加360°
考点： 多边形内角与外角．
专题： 计算题．
分析： 利用多边形的内角和公式即可求出答案．
解答： 解：n边形的内角和是〔n﹣2〕•180°，
n+1边形的内角和是〔n﹣1〕•180°，
因而〔n+1〕边形的内角和比n边形的内角和大〔n﹣1〕•180°﹣〔n﹣2〕•180=180°．
应选：C．
点评： 此题主要考查了多边形的内角和公式，是需要识记的内容．
6．六盘水市“琼都大剧院〞即将完工，现需选用同一批地砖进行装修，以下不能镶嵌的地板是〔 〕
A． 正五边形地砖 B．正三角形地砖 C．正六边形地砖 D． 正四边形地砖
考点： 平面镶嵌〔密铺〕．
分析： 几何图形镶嵌成平面的关键是：围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好组成一个周角．360°为正多边形一个内角的整数倍才能单独镶嵌．
解答： 解：A、正五边形每个内角是180°﹣360°÷5=108°，不是360°的约数，不能镶嵌平面，符合题意；
B、正三角形的一个内角度数为180﹣360÷3=60°，是360°的约数，能镶嵌平面，不符合题意；
C、正六边形的一个内角度数为180﹣360÷6=120°，是360°的约数，能镶嵌平面，不符合题意；
D、正四边形的一个内角度数为180﹣360÷4=90°，是360°的约数，能镶嵌平面，不符合题意．
应选：A．
点评： 此题考查了平面密铺的知识，注意掌握只用一种正多边形镶嵌，只有正三角形，正四边形，正六边形三种正多边形能镶嵌成一个平面图案．
7．平行四边形的对角线一定具有的性质是〔 〕
A． 相等 B．互相平分 C互相垂直 D． 互相垂直且相等
考点： 平行四边形的性质．
分析： 根据平行四边形的对角线互相平分可得答案．
解答： 解：平行四边形的对角线互相平分，
应选：B．
点评： 此题主要考查了平行四边形的性质，关键是掌握平行四边形的性质：
①边：平行四边形的对边相等．
②角：平行四边形的对角相等．
③对角线：平行四边形的对角线互相平分．
8．如图，▱ABCD中，BC=BD，∠C=74°，那么∠ADB的度数是〔 〕
A． 16° B．22° C．32° D． 68°
考点： 平行四边形的性质；等腰三角形的性质．
分析： 根据平行四边形的性质可知：AD∥BC，所以∠C+∠ADC=180°，再由BC=BD可得∠C=∠BDC，进而可求出∠ADB的度数．
解答： 解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠C+∠ADC=180°，
∵∠C=74°，
∴∠ADC=106°，
∵BC=BD，
∴∠C=∠BDC=74°，
∴∠ADB=106°﹣74°=32°，
应选：C．
点评： 此题考查了平行四边形的性质：对边平行以及等腰三角形的性质，属于根底性题目，比较简单．
9．在平行四边形ABCD中，点E在AD上，且AE：ED=3：1，CE的延长线与BA的延长线交于点F，那么S△AFE：S四边形ABCE为〔 〕
A． 3：4 B．4：3 C．7：9 D． 9：7
考点： 平行四边形的性质；相似三角形的判定与性质．
专题： 几何图形问题．
分析： 利用平行四边形的性质得出△FAE∽△FBC，进而利用相似三角形的性质得出=，进而得出答案．
解答： 解：∵在平行四边形ABCD中，
∴AE∥BC，AD=BC，
∴△FAE∽△FBC，
∵AE：ED=3：1，
∴=，
∴=，
∴S△AFE：S四边形ABCE=9：7．
应选：D．
点评： 此题主要考查了平行四边形的性质和相似三角形的判定与性质，得出=是解题关键．
二．填空题〔共7小题〕
10．在四边形ABCD中，AB∥CD，请补充一个条件 AB=CD或AD∥BC ，使得四边形ABCD是平行四边形．
考点： 平行四边形的判定．
专题： 开放型．
分析： 根据平行四边形的判定定理：两组对边分别平行的四边形是平行四边形； 两组对边分别相等的四边形是平行四边形；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；对角线互相平分的四边形是平行四边形；两组对角分别相等的四边形是平行四边形．即可选出答案．〔答案不唯一〕
解答： 解：可补充的条件是AB=CD或AD∥BC，
理由是：∵在四边形ABCD中，AB∥CD，
∴根据平行四边形的判定定理：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，
可补充一个条件AB=CD．
∵AB∥CD，AD∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形〔有两组对边分别平行线=的四边形是平行四边形，
即可补充一个条件是AD∥BC，
故答案为：AB=CD或AD∥BC．
点评： 此题主要考查学生对平行四边形的判定这一知识点的理解和掌握，此题答案不唯一，可根据条件，选一个最简单的填入即可．
11．五边形的内角和为 540° ．
考点： 多边形内角与外角．
专题： 常规题型．
分析： 根据多边形的内角和公式〔n﹣2〕•180°计算即可．
解答： 解：〔5﹣2〕•180°=540°．
故答案为：540°．
点评： 此题主要考查了多边形的内角和公式，熟记公式是解题的关键，是根底题．
12．如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠B=45°，AE为BC边上的高，将△ABE沿AE所在直线翻折得△AB1E，那么△AB1E与四边形AECD重叠局部的面积是 2﹣2 ．
考点： 菱形的性质；翻折变换〔折叠问题〕．
分析： 首先设CD与AB1交于点O，由在边长为2的菱形ABCD中，∠B=45°，AE为BC边上的高，可求得AE的长，继而求得△ABB1、△AEB1、△COB1的面积．那么可求得答案．
解答： 解：如图，设CD与AB1交于点O，
∵在边长为2的菱形ABCD中，∠B=45°，AE为BC边上的高，
∴AE=，
由折叠易得△ABB1为等腰直角三角形，
∴S△ABB1=BA•AB1=2，S△ABE=1，
∴CB1=2BE﹣BC=2﹣2，
∵AB∥CD，
∴∠OCB1=∠B=45°，
又由折叠的性质知，∠B1=∠B=45°，
∴CO=OB1=2﹣．
∴S△COB1=OC•OB1=3﹣2，
∴重叠局部的面积为：2﹣1﹣〔3﹣2〕=2﹣2．
点评： 此题考查了菱形的性质以及等腰直角三角形的性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．
13．正多边形的一个外角等于20°，那么这个正多边形的边数是 18 ．
考点： 多边形内角与外角．
分析： 根据任何多边形的外角和都是360度，利用360除以外角的度数就可以求出外角和中外角的个数，即多边形的边数．
解答： 解：因为外角是20度，360÷20=18，那么这个多边形是18边形．
故答案为：18
点评： 根据外角和的大小与多边形的边数无关，由外角和求正多边形的边数，是常见的题目，需要熟练掌握．
14．如图，▱ABCD中，AE⊥BD于E，∠EAC=30°，AE=3，那么AC的长等于 4．
考点： 平行四边形的性质；解直角三角形．
专题： 几何图形问题．
分析： 设对角线AC和BD相交于点O，在直角△AOE中，利用三角函数求得OA的长，然后根据平行四边形的对角线互相平分即可求得．
解答： 解：∵在直角△AOE中，cos∠EAC=，
∴OA===2，
又∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AC=2OA=4．
故答案是：4．
点评： 此题考查了三角函数的应用，以及平行四边形的性质：平行四边形的对角线互相平分，正确求得OA的长是关键．
15．在▱ABCD中，BC边上的高为4，AB=5，AC=2，那么▱ABCD的周长等于 12或20 ．
考点： 平行四边形的性质．
专题： 分类讨论．
分析： 根据题意分别画出图形，BC边上的高在平行四边形的内部和外部，进而利用勾股定理求出即可．
解答： 解：如图1所示：
∵在▱ABCD中，BC边上的高为4，AB=5，AC=2，
∴EC==2，AB=CD=5，
BE==3，
∴AD=BC=5，
∴▱ABCD的周长等于：20，
如图2所示：
∵在▱ABCD中，BC边上的高为4，AB=5，AC=2，
∴EC==2，AB=CD=5，
BE==3，
∴BC=3﹣2=1，
∴▱ABCD的周长等于：1+1+5+5=12，
那么▱ABCD的周长等于12或20．
故答案为：12或20．
点评： 此题主要考查了平行四边形的性质以及勾股定理等知识，利用分类讨论得出是解题关键．
16．如图，在▱ABCD中，AD=2AB，F是AD的中点，作CE⊥AB，垂足E在线段AB上，连接EF、CF，那么以下结论中一定成立的是 ①②④ ．〔把所有正确结论的序号都填在横线上〕
①∠DCF=∠BCD；②EF=CF；③S△BEC=2S△CEF；④∠DFE=3∠AEF．
考点： 平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线．
专题： 几何图形问题；压轴题．
分析： 分别利用平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质得出△AEF≌△DMF〔ASA〕，得出对应线段之间关系进而得出答案．
解答： 解：①∵F是AD的中点，
∴AF=FD，
∵在▱ABCD中，AD=2AB，
∴AF=FD=CD，
∴∠DFC=∠DCF，
∵AD∥BC，
∴∠DFC=∠FCB，
∴∠DCF=∠BCF，
∴∠DCF=∠BCD，故此选项正确；
延长EF，交CD延长线于M，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠A=∠MDF，
∵F为AD中点，
∴AF=FD，
在△AEF和△DFM中，
，
∴△AEF≌△DMF〔ASA〕，
∴FE=MF，∠AEF=∠M，
∵CE⊥AB，
∴∠AEC=90°，
∴∠AEC=∠ECD=90°，
∵FM=EF，
∴FC=FM，故②正确；
③∵EF=FM，
∴S△EFC=S△CFM，
∵MC＞BE，
∴S△BEC＜2S△EFC
故S△BEC=2S△CEF错误；
④设∠FEC=x，那么∠FCE=x，
∴∠DCF=∠DFC=90°﹣x，
∴∠EFC=180°﹣2x，
∴∠EFD=90°﹣x+180°﹣2x=270°﹣3x，
∵∠AEF=90°﹣x，
∴∠DFE=3∠AEF，故此选项正确．
故答案为：①②④．
点评： 此题主要考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质等知识，得出△AEF≌△DME是解题关键．
三．解答题〔共8小题〕
17．：如图，在▱ABCD中，O为对角线BD的中点，过点O的直线EF分别交AD，BC于E，F两点，连结BE，DF．
〔1〕求证：△DOE≌△BOF；
〔2〕当∠DOE等于多少度时，四边形BFDE为菱形请说明理由．
考点： 平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质；菱形的判定．
专题： 几何综合题．
分析： 〔1〕利用平行四边形的性质以及全等三角形的判定方法得出△DOE≌△BOF〔ASA〕；
〔2〕首先利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得出四边形EBFD是平行四边形，进而利用垂直平分线的性质得出BE=ED，即可得出答案．
解答： 〔1〕证明：∵在▱ABCD中，O为对角线BD的中点，
∴BO=DO，∠EDB=∠FBO，
在△EOD和△FOB中
，
∴△DOE≌△BOF〔ASA〕；
〔2〕解：当∠DOE=90°时，四边形BFDE为菱形，
理由：∵△DOE≌△BOF，
∴OE=OF，
又∵OB=OD
∴四边形EBFD是平行四边形，
∵∠EOD=90°，
∴EF⊥BD，
∴四边形BFDE为菱形．
点评： 此题主要考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质和菱形的判定等知识，得出BE=DE是解题关键．
18．如图，▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，EF过点O且与AB，CD分别相交于点E、F，求证：△AOE≌△COF．
考点： 平行四边形的性质；全等三角形的判定．
专题： 证明题．
分析： 根据平行四边形的性质得出OA=OC，AB∥CD，推出∠EAO=∠FCO，证出△AOE≌△COF即可．
解答： 证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，AB∥CD，
∴∠EAO=∠FCO，
在△AOE和△COF中，
，
∴△AOE≌△COF〔ASA〕．
点评： 此题考查了平行四边形的性质，平行线的性质，全等三角形的判定的应用，关键是根据平行四边形的性质得出AO=CO．
19． 如图，▱ABCD水平放置在平面直角坐标系xOy中，假设点A，D的坐标分别为〔﹣2，5〕，〔0，1〕，点B〔3，5〕在反比例函数y=〔x＞0〕图象上．
〔1〕求反比例函数y=的解析式；
〔2〕将▱ABCD沿x轴正方向平移10个单位后，能否使点C落在反比例函数y=的图象上并说明理由．
考点： 平行四边形的性质；反比例函数图象上点的坐标特征；待定系数法求反比例函数解析式；坐标与图形变化-平移．
专题： 数形结合．
分析： 〔1〕利用待定系数法把B〔3，5〕代入反比例函数解析式可得k的值，进而得到函数解析式；
〔2〕根据A、D、B三点坐标可得AB=5，AB∥x轴，根据平行四边形的性质可得AB∥CD∥x轴，再由C点坐标可得▱ABCD沿x轴正方向平移10个单位后C点坐标为〔15，1〕，根据反比例函数图象上点的坐标特点可得点C落在反比例函数y=的图象上．
解答： 解：〔1〕∵点B〔3，5〕在反比例函数y=〔x＞0〕图象上，
∴k=15，
∴反比例函数的解析式为y=；
〔2〕平移后的点C能落在y=的图象上；
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB=CD，
∵点A，D的坐标分别为〔﹣2，5〕，〔0，1〕，点B〔3，5〕，
∴AB=5，AB∥x轴，
∴DC∥x轴，
∴点C的坐标为〔5，1〕，
∴▱ABCD沿x轴正方向平移10个单位后C点坐标为〔15，1〕，
∴平移后的点C能落在y=的图象上．
点评： 此题主要考查了平行四边形的性质，以及待定系数法求反比例函数和反比例函数图象上点的坐标特点，根据题意得到AB=5，AB∥x轴是解决问题的关键．
20．如图，在▱ABCD中，E，F分别为BC，AB中点，连接FC，AE，且AE与FC交于点G，AE的延长线与DC的延长线交于点N．
〔1〕求证：△ABE≌△NCE；
〔2〕假设AB=3n，FB=GE，试用含n的式子表示线段AN的长．
考点： 平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质；相似三角形的判定与性质．
专题： 几何综合题．
分析： 〔1〕根据平行四边形的性质可得AB∥CN，由此可知∠B=∠ECN，再根据全等三角形的判定方法ASA即可证明△ABE≌△NCE；
〔2〕因为AB∥CN，所以△AFG∽△CNG，利用相似三角形的性质和条件即可得到含n的式子表示线段AN的长．
解答： 〔1〕证明：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CN，
∴∠B=∠ECN，
∵E是BC中点，
∴BE=CE，
在△ABE和△NCE中，
，
∴△ABE≌△NCE〔ASA〕．
〔2〕∵AB∥CN，
∴△AFG∽△CNG，
∴AF：CN=AG：GN，
∵AB=CN，
∴AF：AB=AG：GN，
∵AB=3n，F为AB中点
∴FB=GE，
∴GE=n，
∴=，解得AE=3n，
∴AG=2n，GE=n，EN=3n，
∴AN=AG+GE+EN=2n+n+3n=6n．
点评： 此题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定和性质以及相似三角形的平和性质，题目的综合性较强，难度中等．
21．如图，在平行四边形ABCD中，∠B=∠AFE，EA是∠BEF的角平分线．求证：
〔1〕△ABE≌△AFE；
〔2〕∠FAD=∠CDE．
考点： 平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质．
专题： 证明题．
分析： 〔1〕根据角平分线的性质可得∠1=∠2，再加上条件∠B=∠AFE，公共边AE，可利用AAS证明△ABE≌△AFE；
〔2〕首先证明AF=CD，再证明∠B=∠AFE，∠AFD=∠C可证明△AFD≌△DCE进而得到∠FAD=∠CDE．
解答： 证明：〔1〕∵EA是∠BEF的角平分线，
∴∠1=∠2，
在△ABE和△AFE中，
，
∴△ABE≌△AFE〔AAS〕；
〔2〕∵△ABE≌△AFE，
∴AB=AF，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AD∥CB，AB∥CD，
∴AF=CD，∠ADF=∠DEC，∠B+∠C=180°，
∵∠B=∠AFE，∠AFE+∠AFD=180°，
∴∠AFD=∠C，
在△AFD和△DCE中，
，
∴△AFD≌△DCE〔AAS〕，
∴∠FAD=∠CDE．
点评： 此题主要考查了平行四边形的性质，以及全等三角形的判定与性质，关键是正确证明△AFD≌△DCE．
22．：如图，▱ABCD中，O是CD的中点，连接AO并延长，交BC的延长线于点E．
〔1〕求证：△AOD≌△EOC；
〔2〕连接AC，DE，当∠B=∠AEB= 45 °时，四边形ACED是正方形请说明理由．
考点： 平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质；正方形的判定．
专题： 几何综合题．
分析： 〔1〕根据平行线的性质可得∠D=∠OCE，∠DAO=∠E，再根据中点定义可得DO=CO，然后可利用AAS证明△AOD≌△EOC；
〔2〕当∠B=∠AEB=45°时，四边形ACED是正方形，首先证明四边形ACED是平行四边形，再证对角线互相垂直且相等可得四边形ACED是正方形．
解答： 证明：〔1〕∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC．
∴∠D=∠OCE，∠DAO=∠E．
∵O是CD的中点，
∴OC=OD，
在△ADO和△ECO中，
，
∴△AOD≌△EOC〔AAS〕；
〔2〕当∠B=∠AEB=45°时，四边形ACED是正方形．
∵△AOD≌△EOC，
∴OA=OE．
又∵OC=OD，
∴四边形ACED是平行四边形．
∵∠B=∠AEB=45°，
∴AB=AE，∠BAE=90°．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB=CD．
∴∠COE=∠BAE=90°．
∴▱ACED是菱形．
∵AB=AE，AB=CD，
∴AE=CD．
∴菱形ACED是正方形．
故答案为：45．
点评： 此题主要考查了全等三角形的判定与性质，以及正方形的判定，关键是掌握对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形．
23．如图，在▱ABCD中，E是AD边上的中点，连接BE，并延长BE交CD的延长线于点F．
〔1〕证明：FD=AB；
〔2〕当▱ABCD的面积为8时，求△FED的面积．
考点： 平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质．
分析： 〔1〕利用得出△ABE≌△DFE〔AAS〕，进而求出即可；
〔2〕首先得出△FED∽△FBC，进而得出=，进而求出即可．
解答： 〔1〕证明：∵在平行四边形ABCD中，E是AD边上的中点，
∴AE=ED，∠ABE=∠F，
在△ABE和△DFE中
，
∴△ABE≌△DFE〔AAS〕，
∴FD=AB；
〔2〕解：∵DE∥BC，
∴△FED∽△FBC，
∵△ABE≌△DFE，
∴BE=EF，S△FBC=S▱ABCD，
∴=，
∴=，
∴=，
∴△FED的面积为：2．
点评： 此题主要考查了全等三角形的判定与性质以及平行四边形的性质以及相似三角形的判定与性质等知识，得出S△FBC=S平行四边形ABCD是解题关键．
24．BD垂直平分AC，∠BCD=∠ADF，AF⊥AC，
〔1〕证明四边形ABDF是平行四边形；
〔2〕假设AF=DF=5，AD=6，求AC的长．
考点： 平行四边形的判定；线段垂直平分线的性质；勾股定理．
分析： 〔1〕先证得△ADB≌△CDB求得∠BCD=∠BAD，从而得到∠ADF=∠BAD，所以AB∥FD，因为BD⊥AC，AF⊥AC，所以AF∥BD，即可证得．
〔2〕先证得平行四边形是菱形，然后根据勾股定理即可求得．
解答： 〔1〕证明：∵BD垂直平分AC，
∴AB=BC，AD=DC，
在△ADB与△CDB中，
，
∴△ADB≌△CDB〔SSS〕
∴∠BCD=∠BAD，
∵∠BCD=∠ADF，
∴∠BAD=∠ADF，
∴AB∥FD，
∵BD⊥AC，AF⊥AC，
∴AF∥BD，
∴四边形ABDF是平行四边形，
〔2〕解：∵四边形ABDF是平行四边形，AF=DF=5，
∴▱ABDF是菱形，
∴AB=BD=5，
∵AD=6，
设BE=x，那么DE=5﹣x，
∴AB2﹣BE2=AD2﹣DE2，
即52﹣x2=62﹣〔5﹣x〕2
解得：x=，
∴=，
∴AC=2AE=．
点评： 此题考查了平行四边形的判定，菱形的判定和性质以及勾股定理的应用．
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