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配餐作业(五十八) 曲线与方程
(时间：40分钟)
一、选择题
1．已知点P是直线2x－y＋3＝0上的一个动点，定点M(－1,2)，Q是线段PM延长线上的一点，且|PM|＝|MQ|，则Q点的轨迹方程是( )
A．2x＋y＋1＝0 B．2x－y－5＝0
C．2x－y－1＝0 D．2x－y＋5＝0
解析 由题意知，M为PQ中点，设Q(x，y)，则P为(－2－x，4－y)，代入2x－y＋3＝0得2x－y＋5＝0。故选D。
答案 D
2．已知两定点A(－2,0)，B(1,0)，如果动点P满足|PA|＝2|PB|，则动点P的轨迹是( )
A．直线 B．圆
C．椭圆 D．双曲线
解析 设P(x，y)，则
＝2，
整理得x2＋y2－4x＝0，
又D2＋E2－4F＝16>0，所以动点P的轨迹是圆。故选B。
答案 B
3．已知点F，直线l：x＝－，点B是l上的动点。若过B作垂直于y轴的直线与线段BF的垂直平分线交于点M，则点M的轨迹是( )
A．双曲线 B．椭圆
C．圆 D．抛物线
解析 由已知得|MF|＝|MB|。由抛物线定义知，点M的轨迹是以F为焦点，l为准线的抛物线。故选D。
答案 D
4．已知A(0,7)，B(0，－7)，C(12,2)，以C为一个焦点作过A，B的椭圆，椭圆的另一个焦点F的轨迹方程是( )
A．y2－＝1(y≤－1) B．y2－＝1
C．y2－＝－1 D．x2－＝1
解析 由题意，得|AC|＝13，|BC|＝15，|AB|＝14，又|AF|＋|AC|＝|BF|＋|BC|，∴|AF|－|BF|＝|BC|－|AC|＝2。故点F的轨迹是以A，B为焦点，实轴长为2的双曲线的下支。∵c＝7，a＝1，∴b2＝48，∴点F的轨迹方程为y2－＝1(y≤－1)。故选A。
答案 A
5．经过抛物线y2＝2px焦点的弦的中点的轨迹是( )
A．抛物线 B．椭圆
C．双曲线 D．直线
解析 设抛物线的焦点为F，坐标为，弦AB中点坐标为(x，y)，且A(x1，y1)，B(x2，y2)，由点差法得kAB＝＝＝kMF＝化简得y2＝p，故轨迹为抛物线。故选A。
答案 A
6．(2017·衡水调研卷)双曲线M：－＝1(a>0，b>0)实轴的两个顶点为A，B，点P为双曲线M上除A，B外的一个动点，若QA⊥PA且QB⊥PB，则动点Q的运动轨迹为( )
A．圆 B．椭圆
C．双曲线 D．抛物线
解析 A(－a,0)，B(a,0)，设Q(x，y)，P(x0，y0)，kAP＝，kBP＝，kAQ＝，kBQ＝，由QA⊥PA且QB⊥PB，得kAPkAQ＝·＝－1，kBPkBQ＝·＝－1。两式相乘即得轨迹为双曲线。故选C。
答案 C
二、填空题
7．长为3的线段AB的端点A，B分别在x，y轴上移动，动点C(x，y)满足＝2，则动点C的轨迹方程为__________________。
解析 设A(a,0)，B(0，b)，则a2＋b2＝9。又C(x，y)，
则由＝2，得(x－a，y)＝2(－x，b－y)。
即即代入a2＋b2＝9，并整理，得x2＋y2＝1。
答案 x2＋y2＝1
8．在平面直角坐标系xOy中，若定点A(1,2)与动点P(x，y)满足向量在向量上的投影为－，则点P的轨迹方程是__________________。
解析 由＝－，知x＋2y＝－5，即x＋2y＋5＝0。
答案 x＋2y＋5＝0
9．设过抛物线y2＝4x的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，且AB的中点为M，则点M的轨迹方程是____________________。
解析 由题意知F(1,0)，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x，y)，则x1＋x2＝2x，y1＋y2＝2y，y＝4x1，y＝4x2，后两式相减并将前两式代入，得(y1－y2)y＝2(x1－x2)。当x1≠x2时，y＝2，又A，B，M，F四点共线，所以＝，代入上式，得y2＝2(x－1)；当x1＝x2时，M(1,0)也满足这个方程，即y2＝2(x－1)是所求的轨迹方程。
答案 y2＝2(x－1)
三、解答题
10．在平面直角坐标系中，已知A1(－，0)，A2(，0)，P(x，y)，M(x,1)，N(x，－2)，若实数λ使得λ2·＝·(O为坐标原点)。
求P点的轨迹方程，并讨论P点的轨迹类型。
解析 ＝(x,1)，＝(x，－2)，
＝(x＋，y)，＝(x－，y)。
∵λ2·＝·，
∴(x2－2)λ2＝x2－2＋y2，
整理得(1－λ2)x2＋y2＝2(1－λ2)为点P的轨迹方程。
①当λ＝±1时，方程为y＝0，轨迹为一条直线；
②当λ＝0时，方程为x2＋y2＝2，轨迹为圆；
③当λ∈(－1,0)∪(0,1)时，方程为＋＝1，轨迹为中心在原点，焦点在x轴上的椭圆；
④当λ∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)时，方程为－＝1，轨迹为中心在原点，焦点在x轴上的双曲线。
答案 见解析
11．(2016·安徽淮南二模)已知点A(－2,0)，P是⊙O：x2＋y2＝4上任意一点，P在x轴上的射影为Q，＝2，动点G的轨迹为C，直线y＝kx(k≠0)与轨迹C交于E，F两点，直线AE，AF分别与y轴交于点M，N。
(1)求轨迹C的方程；
(2)以MN为直径的圆是否经过定点？若经过，求出定点的坐标；若不经过，请说明理由。
解析 (1)设G(x，y)，∴Q(x,0)，
∵＝2，∴P(x,2y)，
∵P在⊙O：x2＋y2＝4上，∴x2＋4y2＝4。
∴轨迹C的方程为＋y2＝1。
(2)经过定点。
设点E(x0，y0)(不妨设x0>0)，
则点F(－x0，－y0)。
由消去y得x2＝。
所以x0＝，则y0＝。
所以直线AE的方程为y＝(x＋2)
则M。
同理可得点N。
所以|MN|＝＝。
设MN的中点为P，则点P的坐标为。
则以MN为直径的圆的方程为x2＋2＝2，
即x2＋y2＋y＝1。
令y＝0，得x2＝1，即x＝1或x＝－1。
故以MN为直径的圆经过两定点(1,0)，(－1,0)。
答案 (1)＋y2＝1
(2)经过两定点(1,0)，(－1,0)
(时间：20分钟)
1．“点M在曲线y2＝4x上”是“点M的坐标满足方程2＋y＝0”的( )
A．充分非必要条件
B．必要非充分条件
C．充要条件
D．既非充分也非必要条件
解析 点M的坐标满足方程2＋y＝0，则点M在曲线y2＝4x上，是必要条件；但当y>0时，点M在曲线y2＝4x上，点M的坐标不满足方程2＋y＝0，不是充分条件。故选B。
答案 B
2．动圆M经过双曲线x2－＝1的左焦点且与直线x＝2相切，则圆心M的轨迹方程是( )
A．y2＝8x B．y2＝－8x
C．y2＝4x D．y2＝－4x
解析 双曲线x2－＝1的左焦点F(－2,0)，动圆M经过F且与直线x＝2相切，则圆心M到点F的距离和到直线x＝2的距离相等，由抛物线的定义知轨迹是抛物线，其方程为y2＝－8x。故选B。
答案 B
3．(2016·湖南东部六校联考)已知两定点A(0，－2)，B(0,2)，点P在椭圆＋＝1上，且满足||－||＝2，则·为( )
A．－12 B．12
C．－9 D．9
解析 由||－||＝2，可得点P(x，y)的轨迹是以两定点A、B为焦点的双曲线的上支，且2a＝2，c＝2，∴b＝。∴点P的轨迹方程为y2－＝1(y≥1)。
由解得所以·＝(x，y＋2)·(x，y－2)＝x2＋y2－4＝9＋4－4＝9，故选D。
答案 D
4．(2016·全国卷Ⅱ)已知抛物线C：y2＝2x的焦点为F，平行于x轴的两条直线l1，l2分别交C于A，B两点，交C的准线于P，Q两点。
(1)若F在线段AB上，R是PQ的中点，证明AR∥FQ；
(2)若△PQF的面积是△ABF的面积的两倍，求AB中点的轨迹方程。
解析 由题知F。设l1：y＝a，l2：y＝b，则ab≠0，且A，B，P，Q，R。
记过A，B两点的直线为l，则l的方程为2x－(a＋b)y＋ab＝0。
(1)证明：由于F在线段AB上，故1＋ab＝0。
记AR的斜率为k1，FQ的斜率为k2，则
k1＝＝＝＝＝－b＝k2。
所以AR∥FQ。
(2)设l与x轴的交点为D(x1,0)，则S△ABF＝|b－a||FD|＝|b－a|，S△PQF＝。
由题设可得|b－a|＝，所以x1＝0(舍去)或x1＝1。
设满足条件的AB的中点为E(x，y)。
当AB与x轴不垂直时，由kAB＝kDE可得＝(x≠1)。
而＝y，所以y2＝x－1(x≠1)。
当AB与x轴垂直时，E与D重合。
所以，所求轨迹方程为y2＝x－1。
答案 (1)见解析 (2)y2＝x－1
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