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配餐作业(三十三) 等比数列
(时间：40分钟)
一、选择题
1．已知等比数列{an}中，a2＋a3＝1，a4＋a5＝2，则a6＋a7等于( )
A．2 B．2
C．4 D．4
解析 因为a2＋a3，a4＋a5，a6＋a7成等比数列，a2＋a3＝1，a4＋a5＝2，所以(a4＋a5)2＝(a2＋a3)(a6＋a7)，解得a6＋a7＝4。故选C。
答案 C
2．(2017·山西四校联考)等比数列{an}满足an>0，n∈N*，且a3·a2n－3＝22n(n≥2)，则当n≥1时，log2a1＋log2a2＋……＋log2a2n－1等于( )
A．n(2n－1) B．(n＋1)2
C．n2 D．(n－1)2
解析 由等比数列的性质，
得a3·a2n－3＝a＝22n，从而得an＝2n。
解法一：log2a1＋log2a2＋…＋log2a2n－1＝
log2[(a1a2n－1)·(a2a2n－2)·…·(an－1an＋1)an]＝log2[(22n)n－1·2n]＝log22n(2n－1)＝n(2n－1)。
解法二：取n＝1，log2a1＝log22＝1，而(1＋1)2＝4，(1－1)2＝0，排除B，D；取n＝2，log2a1＋log2a2＋log2a3＝log22＋log24＋log28＝6，而22＝4，排除C，故选A。
答案 A
3．若正项数列{an}满足lgan＋1＝1＋lgan，且a2 001＋a2 002＋…＋a2 010＝2 016，则a2 011＋a2 012＋…＋a2 020的值为( )
A．2 015×1010 B．2 015×1011
C．2 016×1010 D．2 016×1011
解析 ∵lgan＋1＝1＋lgan，∴lg＝1，
∴＝10，∴数列{an}是等比数列，
∵a2 001＋a2 002＋…＋a2 010＝2 016，
∴a2 011＋a2 012＋…＋a2 020＝1010(a2 001＋a2 002＋…＋a2 010)＝2 016×1010。故选C。
答案 C
4．(2016·河北三市联考)古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问日织几何？”意思是：“一女子善于织布，每天织的布都是前一天的2倍，已知她5天共织布5尺，问这女子每天分别织布多少？”根据上题的已知条件，若要使织布的总尺数不少于30，该女子所需的天数至少为( )
A．7 B．8
C．9 D．10
解析 设该女子第一天织布x尺，则＝5，解得x＝，所以前n天所织布的尺数为(2n－1)。由(2n－1)≥30，得2n≥187，得n的最小值为8，故选B。
答案 B
5．(2016·广西适应性测试)设等比数列{an}的前n项和为Sn，若a2＝3，且a2 015＋a2 016＝0，则S101等于( )
A．3 B．303
C．－3 D．－303
解析 ∵a2 015＋a2 015q＝0，∴q＝－1，
∴an＋an＋1＝0，
∴S101＝a1＝－3。故选C。
答案 C
6．已知Sn是等比数列{an}的前n项和，若存在m∈N*，满足＝9，＝，则数列{an}的公比为( )
A．－2 B．2
C．－3 D．3
解析 设公比为q，若q＝1，则＝2，与题中条件矛盾，故q≠1。
∵＝＝qm＋1＝9，∴qm＝8。
∴＝＝qm＝8＝，
∴m＝3，∴q3＝8，∴q＝2。故选B。
答案 B
二、填空题
7．等比数列{an}中，Sn表示前n项和，a3＝2S2＋1，a4＝2S3＋1，则公比q为________。
解析 由a3＝2S2＋1，a4＝2S3＋1得
a4－a3＝2(S3－S2)＝2a3，
∴a4＝3a3，∴q＝＝3。
答案 3
8．等比数列{an}的前n项和为Sn，公比不为1。若a1＝1，则对任意的n∈N*，都有an＋2＋an＋1－2an＝0，则S5＝________。
解析 由题意知a3＋a2－2a1＝0，设公比为q，
则a1(q2＋q－2)＝0。
由q2＋q－2＝0解得q＝－2或q＝1(舍去)，
则S5＝＝＝11。
答案 11
9．在等比数列{an}中，公比q＝2，前99项的和S99＝30，则a3＋a6＋a9＋…＋a99＝________。
解析 ∵S99＝30，即a1(299－1)＝30。
又∵数列a3，a6，a9，…，a99也成等比数列且公比为8，
∴a3＋a6＋a9＋…＋a99＝＝＝×30＝。
答案
三、解答题
10．(2016·东北三省四市二模)已知数列{an}满足a1＝511，a6＝－，且数列{an}的每一项加上1后成为等比数列。
(1)求an；
(2)令bn＝|log2(an＋1)|，求数列{bn}的前n项和Tn。
解析 (1)由题意知数列{an＋1}是等比数列，
设公比为q，则a1＋1＝512，a6＋1＝＝512×q5，
解得q＝，
则数列{an＋1}是以512为首项，为公比的等比数列，
所以an＋1＝211－2n，an＝211－2n－1。
(2)bn＝|11－2n|，当n≤5时，Tn＝10n－n2，
当n≥6时，Tn＝n2－10n＋50，
所以Tn＝
答案 (1)an＝211－2n－1
(2)Tn＝
11．已知数列{an}和{bn}满足a1＝λ，an＋1＝an＋n－4，bn＝(－1)n(an－3n＋21)，其中λ为实数，n为正整数。
(1)证明：对任意实数λ， 数列{an}不是等比数列；
(2)证明：当λ≠－18时，数列{bn}是等比数列。
证明 (1)假设存在一个实数λ，使{an}是等比数列，
则有a＝a1a3，即2＝λ
⇔λ2－4λ＋9＝λ2－4λ⇔9＝0，矛盾。
所以{an}不是等比数列。
(2)bn＋1＝(－1)n＋1[an＋1－3(n＋1)＋21]
＝(－1)n＋1
＝－(－1)n·(an－3n＋21)＝－bn。
又λ≠－18，所以b1＝－(λ＋18)≠0。
由上式知bn≠0，所以＝－(n∈N*)。
故当λ≠－18时，数列{bn}是以－(λ＋18)为首项，－为公比的等比数列。
(时间：20分钟)
1．设{an}是各项为正数的无穷数列，Ai是边长为ai，ai＋1的矩形的面积(i＝1,2，…)，则{An}为等比数列的充要条件是( )
A．{an}是等比数列
B．a1，a3，…，a2n－1，…或a2，a4，…，a2n，…是等比数列
C．a1，a3，…，a2n－1，…和a2，a4，…，a2n，…均是等比数列
D．a1，a3，…，a2n－1，…和a2，a4，…，a2n，…均是等比数列，且公比相同
解析 ∵Ai＝aiai＋1，若{An}为等比数列，则＝＝为常数，即＝，＝，…。
∴a1，a3，a5，…，a2n－1，…和a2，a4，…，a2n，…成等比数列，且公比相等。反之，若奇数项和偶数项分别成等比数列，且公比相等，设为q，则＝＝q，从而{An}为等比数列。故选D。
答案 D
2．(2016·安庆二模)数列{an}满足an＋1＝λan－1(n∈N*，λ∈R，且λ≠0)，若数列{an－1}是等比数列，则λ的值等于( )
A．1 B．－1
C. D．2
解析 由an＋1＝λan－1，得an＋1－1＝λan－2＝λ，因为数列{an－1}是等比数列，所以＝1，即λ＝2。故选D。
答案 D
3．(2017·衡水模拟)已知Sn和Tn分别为数列{an}与数列{bn}的前n项和，且a1＝e4，Sn＝eSn＋1－e5，an＝ebn(n∈N*)，则当Tn取得最大值时，n的值为( )
A．4 B．5
C．4或5 D．5或6
解析 由Sn＝eSn＋1－e5，得Sn－1＝eSn－e5(n≥2)，两式相减，得an＝ean＋1，由a1＝e4，Sn＝eSn＋1－e5，得a2＝e3，所以{an}是首项为e4，公比为的等比数列，所以an＝e5－n。因为an＝ebn，所以bn＝lne5－n＝5－n，则由即解得4≤n≤5，所以当n＝4或n＝5时，Tn取得最大值。故选C。
答案 C
4．(2016·四川高考)已知数列{an}的首项为1，Sn为数列{an}的前n项和，Sn＋1＝qSn＋1，其中q>0，n∈N*。
(1)若2a2，a3，a2＋2成等差数列，求数列{an}的通项公式；
(2)设双曲线x2－＝1的离心率为en，且e2＝，证明：e1＋e2＋…＋en>。
解析 (1)由已知，Sn＋1＝qSn＋1，Sn＋2＝qSn＋1＋1，两式相减得到an＋2＝qan＋1，n≥1。
又由S2＝qS1＋1得到a2＝qa1，
故an＋1＝qan对所有n≥1都成立。
所以，数列{an}是首项为1，公比为q的等比数列。
从而an＝qn－1。
由2a2，a3，a2＋2成等差数列，可得
2a3＝3a2＋2，得2q2＝3q＋2，则(2q＋1)(q－2)＝0，
由已知，q>0，故q＝2。
所以an＝2n－1(n∈N*)。
(2)证明：由(1)可知，an＝qn－1。
所以双曲线x2－＝1的离心率en＝＝。
由e2＝＝得q＝。
因为1＋q2(k－1)>q2(k－1)，所以>qk－1(k∈N*)。
于是e1＋e2＋…＋en>1＋q＋…＋qn－1＝，
故e1＋e2＋…＋en>。
答案 (1)an＝2n－1(n∈N*) (2)见解析
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