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配餐作业(二十四) 正弦定理和余弦定理(时间：40分钟)
一、选择题
1．在△ABC中，已知a，b，c分别为∠A，∠B，∠C所对的边，且a＝4，b＝4，∠A＝30°，则∠B等于( )
A．30° B．30°或150°
C．60° D．60°或120°
解析 sinB＝＝＝，
又因为b>a，所以∠B有二解，所以∠B＝60°或120°。故选D。
答案 D
2．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若c＝1，B＝45°，cosA＝，则b＝( )
A. B.
C. D.
解析 因为cosA＝，所以sinA＝＝＝，所以sinC＝sin[180°－(A＋B)]＝sin(A＋B)＝sinAcosB＋cosAsinB＝cos45°＋sin45°＝。由正弦定理＝，得b＝×sin45°＝。故选C。
答案 C
3．钝角三角形ABC的面积是，AB＝1，BC＝，则AC＝( )
A．5 B.
C．2 D．1
解析 由题意可得AB·BC·sinB＝，又AB＝1，BC＝，所以sinB＝，所以B＝45°或B＝135°。当B＝45°时，由余弦定理可得AC＝＝1，此时AC＝AB＝1，BC＝，易得A＝90°，与“钝角三角形”条件矛盾，舍去。所以B＝135°。由余弦定理可得AC＝＝。故选B。
答案 B
4．(2017·渭南模拟)在△ABC中，若a2－b2＝bc且＝2，则A＝( )
A. B.
C. D.
解析 因为＝2，故＝2，即c＝2b，cosA＝＝＝＝，所以A＝。故选A。
答案 A
5．(2016·内蒙古名校联考)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若b＝2ccosA，c＝2bcosA，则△ABC的形状为( )
A．直角三角形 B．锐角三角形
C．等边三角形 D．等腰直角三角形
解析 依题意得b＝2·2bcosA·cosA，
所以cosA＝，所以b＝c，
又因为a2＝b2＋c2－2bccosA＝2b2－2b2×＝b2，
所以a＝b＝c，
所以△ABC为等边三角形。故选C。
答案 C
6．(2016·石家庄二中模拟)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且b2＋a2＋ab－c2＝0，则的值为( )
A. B.
C．－ D．－
解析 由b2＋a2＋ab－c2＝0得b2＋a2－c2＝－ab，则cosC＝＝－，所以C＝120°，则A＋B＝60°，所以B＝60°－A，所以由正弦定理得＝＝＝＝，故选B。
答案 B
二、填空题
7．(2015·广东高考)设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c。若a＝，sinB＝，C＝，则b＝________。
解析 在△ABC中，∵sinB＝，0<B<π，
∴B＝或B＝。
又∵B＋C<π，C＝，∴B＝，
∴A＝π－－＝。
∵＝，∴b＝＝1。
答案 1
8．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c。若c＝4，sinC＝2sinA，sinB＝，则S△ABC＝________。
解析 ∵sinC＝2sinA，由正弦定理可得c＝2a，
∵c＝4，∴a＝2，
∴S△ABC＝acsinB＝×2×4×＝。
答案
9．(2017·昆明模拟)在△ABC中，B＝120°，AB＝，A的角平分线AD＝，则AC＝________。
解析 如图，在△ABD中，由正弦定理，得sin∠ADB＝＝＝。由题意知0°<∠ADB<60°，所以∠ADB＝45°，则∠BAD＝180°－∠B－∠ADB＝15°，所以∠BAC＝2∠BAD＝30°，所以∠C＝180°－∠BAC－∠B＝30°，所以BC＝AB＝，于是由余弦定理，得AC＝＝＝。
答案
三、解答题
10．(2016·天津高考)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c。已知asin2B＝bsinA。
(1)求B；
(2)若cosA＝，求sinC的值。
解析 (1)在△ABC中，由＝，可得asinB＝bsinA，又由asin2B＝bsinA，
得2asinBcosB＝bsinA＝asinB，
所以cosB＝，得B＝。
(2)由cosA＝，可得sinA＝，则
sinC＝sin[π－(A＋B)]＝sin(A＋B)＝
sin＝sinA＋cosA＝。
答案 (1) (2)
11．(2017·太原模拟)已知a，b，c分别是△ABC的内角A，B，C所对的边，且c＝2，C＝。
(1)若△ABC的面积等于，求a，b；
(2)若sinC＋sin(B－A)＝2sin2A，求A的值。
解 (1)∵c＝2，C＝，
∴由余弦定理得4＝a2＋b2－2abcos＝a2＋b2－ab。
∵△ABC的面积等于，
∴absinC＝，∴ab＝4，
联立解得a＝2，b＝2。
(2)∵sinC＋sin(B－A)＝2sin2A，
∴sin(B＋A)＋sin(B－A)＝4sinAcosA，
∴sinBcosA＝2sinAcosA，
①当cosA＝0时，A＝；
②当cosA≠0时，sinB＝2sinA，由正弦定理得b＝2a，联立解得a＝，b＝，
∴b2＝a2＋c2。∵C＝，∴A＝。
综上所述，A＝或A＝。
(时间：20分钟)
1．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bsinA－acosB＝0，且b2＝ac，则的值为( )
A. B.
C．2 D．4
解析 △ABC中，由bsinA－acosB＝0，
利用正弦定理得sinBsinA－sinAcosB＝0，
所以tanB＝，故∠B＝。
由余弦定理得b2＝a2＋c2－2ac·cosB＝a2＋c2－ac，
即b2＝(a＋c)2－3ac，
又b2＝ac，所以4b2＝(a＋c)2，求得＝2。故选C。
答案 C
2．(2016·昆明检测)在△ABC中，内角A，B，C所对的边的长分别是x＋1，x，x－1，且A＝2C，则△ABC的周长为________。
解析 由正弦定理得＝，又A＝2C，
∴＝，
∴cosC＝①
又cosC＝②
∴由①②得x＝5，∴△ABC的三边分别是6,5,4，
∴△ABC的周长为15。
答案 15
3．(2016·浙江高考)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c。已知b＋c＝2acosB。
(1)证明：A＝2B；
(2)若△ABC的面积S＝，求角A的大小。
解析 (1)证明：由正弦定理得
sinB＋sinC＝2sinAcosB，
故2sinAcosB＝sinB＋sin(A＋B)＝sinB＋sinAcosB＋cosAsinB，于是sinB＝sin(A－B)。
又A，B∈(0，π)，故0<A－B<π，所以，
B＝π－(A－B)或B＝A－B，
因此A＝π(舍去)或A＝2B，
所以A＝2B。
(2)由S＝得absinC＝，故有
sinBsinC＝sin2B＝sinBcosB，
因为sinB≠0，所以sinC＝cosB。
又B，C∈(0，π)，所以C＝±B。
当B＋C＝时，A＝；
当C－B＝时，A＝。
综上，A＝或A＝。
答案 (1)见解析 (2)A＝或A＝
4．(2016·四川高考)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且＋＝。
(1)证明：sinAsinB＝sinC；
(2)若b2＋c2－a2＝bc，求tanB。
解析 (1)证明：根据正弦定理，可设＝＝＝k(k>0)。
则a＝ksinA，b＝ksinB，c＝ksinC。
代入＋＝中，有＋＝，变形可得sinAsinB＝sinAcosB＋cosAsinB＝sin(A＋B)。
在△ABC中，由A＋B＋C＝π，有sin(A＋B)＝sin(π－C)＝sinC，
所以sinAsinB＝sinC。
(2)由已知，b2＋c2－a2＝bc，根据余弦定理，有
cosA＝＝。
所以sinA＝＝。
由(1)，sinAsinB＝sinAcosB＋cosAsinB，
所以sinB＝cosB＋sinB，
故tanB＝＝4。
答案 (1)见解析 (2)4
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