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配餐作业(五十五) 椭圆的综合问题
(时间：40分钟)
一、选择题
1．直线y＝kx－k＋1与椭圆＋＝1的位置关系为( )
A．相交 B．相切
C．相离 D．不确定
解析 ∵直线方程可化为y－1＝k(x－1)，
恒过(1,1)定点，而(1,1)在椭圆内部，故选A。
答案 A
2．(2016·安庆六校联考)已知斜率为－的直线l交椭圆C：＋＝1(a>b>0)于A，B两点，若点P(2,1)是AB的中点，则C的离心率等于( )
A. B.
C. D.
解析 kAB＝－，kOP＝，由点差法得kAB·kOP＝－，得×＝－。∴＝，∴e＝＝＝。故选D。
答案 D
3．椭圆＋＝1(a>b>0)的半焦距为c，若直线y＝2x与椭圆的一个交点P的横坐标恰为c，则椭圆的离心率为( )
A. B.
C.－1 D.－1
解析 依题意有P(c,2c)，点P在椭圆上，
所以有＋＝1，整理得b2c2＋4a2c2＝a2b2，
又因为b2＝a2－c2，代入得c4－6a2c2＋a4＝0，
即e4－6e2＋1＝0，解得e2＝3－2(3＋2舍去)，从而e＝－1。故选D。
答案 D
4．已知以F1(－2,0)，F2(2,0)为焦点的椭圆与直线x＋y＋4＝0有且仅有一个交点，则椭圆的长轴长为( )
A．3 B．2
C．2 D．4
解析 设椭圆方程为mx2＋ny2＝1(0<m<n)，
联立方程组：
消去x得：(3m＋n)y2＋8my＋16m－1＝0，
Δ＝192m2－4(16m－1)(3m＋n)＝0，整理得：
3m＋n＝16mn，即＋＝16。
又c＝2，焦点在x轴上，故－＝4，
联立解得：，故长轴长为2。故选C。
答案 C
5．(2016·包头模拟)椭圆＋＝1上有两个动点P，Q，E(3,0)，EP⊥EQ，则·的最小值为( )
A．6 B．3－
C．9 D．12－6
解析 设P点坐标为(m，n)，则＋＝1，所以|PE|＝＝＝，
因为－6≤m≤6，所以|PE|的最小值为，所以·＝·(－)＝2－·＝||2，所以·的最小值为6。故选A。
答案 A
二、填空题
6．已知椭圆＋＝1(a>b>0)的右顶点为A(1,0)，过其焦点且垂直于长轴的弦长为1，则椭圆方程为________________。
解析 ∵椭圆＋＝1的右顶点为A(1,0)，
∴b＝1，焦点坐标为(0，c)，
∵过焦点且垂直于长轴的弦长为1，所以＝1，a＝2，
所以椭圆方程为＋x2＝1。
答案 ＋x2＝1
7．(2017·辽阳模拟)过椭圆＋＝1的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为________。
解析 由题意知椭圆的右焦点F的坐标为(1,0)，则直线AB的方程为y＝2x－2。
联立解得交点A(0，－2)，B，
所以S△OAB＝·|OF|·|yA－yB|＝×1×＝。
答案
8．(2016·重庆模拟)已知直线l过P(2,1)且与椭圆＋＝1交于A，B两点，当P为AB中点时，直线AB的方程为____________________。
解析 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，因为A，B两点在椭圆上，
所以＋＝1①
＋＝1②
①－②得：＋＝0，
又AB的中点为P(2,1)，所以x1＋x2＝4，y1＋y2＝2，
即＋＝0，
所以kAB＝＝－，
故AB的方程为y－1＝－(x－2)，即：8x＋9y－25＝0。
答案 8x＋9y－25＝0
三、解答题
9．(2016·广西质检)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的右焦点为F(1,0)，短轴的一个端点B到点F的距离等于焦距。
(1)求椭圆C的方程；
(2)过点F的直线l与椭圆C交于不同的两点M，N，是否存在直线l，使得△BFM与△BFN的面积比值为2？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由。
解析 (1)由已知得c＝1，a＝2c＝2，b2＝a2－c2＝3，
所以椭圆C的方程为＋＝1。
(2)＝2等价于＝2，
当直线l的斜率不存在时，＝1，不符合题意，舍去；
当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝k(x－1)，
由消去x并整理得(3＋4k2)y2＋6ky－9k2＝0，
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则y1＋y2＝－ ①，
y1y2＝ ②，
由＝2得y1＝－2y2 ③，
由①②③解得k＝±，
因此存在直线l：y＝±(x－1)，使得△BFM与△BFN面积的比值为2。
答案 (1)＋＝1
(2)存在，直线l为y＝±(x－1)
10．(2016·昆明两区七校调研)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左，右顶点分别为A，B，其离心率e＝，点M为椭圆上的一个动点，△MAB面积的最大值是2。
(1)求椭圆的方程；
(2)若过椭圆C右顶点B的直线l与椭圆的另一个交点为D，线段BD的垂直平分线与y轴交于点P，当·＝0时，求点P的坐标。
解析 (1)由题意可知e＝＝，×2ab＝2，
a2＝b2＋c2，
解得a＝2，b＝，
所以椭圆方程是＋＝1。
(2)由(1)知B(2,0)，设直线BD的方程为y＝k(x－2)，D(x1，y1)，把y＝k(x－2)代入椭圆方程＋＝1，整理得(3＋4k2)x2－16k2x＋16k2－12＝0，
所以2＋x1＝⇒x1＝，
则D，
所以BD中点的坐标为，
则直线BD的垂直平分线方程为y－＝
－，得P。
又·＝0，即·＝0，
化简得＝0⇒64k4＋28k2－36＝0，
解得k＝±。
故P或P。
答案 (1)＋＝1
(2)P或P
11．(2017·襄阳模拟)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，且过定点M。
(1)求椭圆C的方程；
(2)已知直线l：y＝kx－(k∈R)与椭圆C交于A，B两点，试问在y轴上是否存在定点P，使得以弦AB为直径的圆恒过P点？若存在，求出P点的坐标和△PAB的面积的最大值；若不存在，说明理由。
解析 (1)由已知可得⇒
∴椭圆C的方程为＋＝1。
(2)由
得9(2k2＋4)x2－12kx－43＝0。①
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1，x2是方程①的两根，
∴x1＋x2＝，x1x2＝－，
设P(0，p)，则＝(x1，y1－p)，＝(x2，y2－p)，
·＝x1x2＋y1y2－p(y1＋y2)＋p2＝x1x2＋－pk(x1＋x2)＋＋p2＝。
假设在y轴上存在定点P，使得以弦AB为直径的圆恒过P点，则⊥，即·＝0。
即(18p2－45)k2＋36p2＋24p－39＝0对任意k∈R恒成立，∴此方程组无解，
∴不存在定点满足条件。
答案 (1)＋＝1
(2)不存在，理由见解析
(时间：20分钟)
1．(2016·四川高考)已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的三个顶点，直线l：y＝－x＋3与椭圆E有且只有一个公共点T。
(1)求椭圆E的方程及点T的坐标；
(2)设O是坐标原点，直线l′平行于OT，与椭圆E交于不同的两点A，B，且与直线l交于点P。证明：存在常数λ，使得|PT|2＝λ|PA|·|PB|，并求λ的值。
解析 (1)由已知，a＝b，则椭圆E的方程为＋＝1。
由方程组得3x2－12x＋(18－2b2)＝0。①
方程①的判别式为Δ＝24(b2－3)，由Δ＝0，得b2＝3，
此时方程①的解为x＝2，
所以椭圆E的方程为＋＝1。
点T的坐标为(2,1)。
(2)由已知可设直线l′的方程为y＝x＋m(m≠0)，
由方程组可得
所以P点的坐标为，|PT|2＝m2。
设点A，B的坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)。
由方程组可得3x2＋4mx＋(4m2－12)＝0。②
方程②的判别式为Δ＝16(9－2m2)，
由Δ>0，解得－<m<。
由②得x1＋x2＝－，x1x2＝。
所以|PA|＝
＝|2－－x1|，
同理|PB|＝|2－－x2|。
所以|PA|·|PB|＝
＝
＝
＝m2。
故存在常数λ＝，使得|PT|2＝λ|PA|·|PB|。
答案 (1)＋＝1，T(2,1)
(2)证明见解析，λ＝
2．(2016·天津高考)设椭圆＋＝1(a>)的右焦点为F，右顶点为A。已知＋＝，其中O为原点，e为椭圆的离心率。
(1)求椭圆的方程；
(2)设过点A的直线l与椭圆交于点B(B不在x轴上)，垂直于l的直线与l交于点M，与y轴交于点H。若BF⊥HF，且∠MOA≤∠MAO，求直线l的斜率的取值范围。
解析 (1)设F(c,0)，由＋＝，即＋＝，可得a2－c2＝3c2，
又a2－c2＝b2＝3，所以c2＝1，因此a2＝4。
所以，椭圆的方程为＋＝1。
(2)设直线l的斜率为k(k≠0)，则直线l的方程为
y＝k(x－2)。设B(xB，yB)，
由方程组消去y，整理得(4k2＋3)x2－16k2x＋16k2－12＝0。
解得x＝2，或x＝，
由题意得xB＝，从而yB＝。
由(1)知，F(1,0)，设H(0，yH)，有＝(－1，yH)，＝。由BF⊥HF，得·＝0，所以＋＝0，解得yH＝。因此直线MH的方程为y＝－x＋。
设M(xM，yM)，由方程组，消去y，解得xM＝。
在△MAO中，∠MOA≤∠MAO⇔|MA|≤|MO|，即(xM－2)2＋y≤x＋y，化简得xM≥1，即≥1，解得k≤－或k≥。
所以，直线l的斜率的取值范围为∪。
答案 (1)＋＝1
(2)∪
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