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配餐作业(五十六) 双曲线
(时间：40分钟)
一、选择题
1．已知双曲线C的渐近线方程为y＝±2x，且经过点(2,2)，则C的方程为( )
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1 D.－＝1
解析 由题意，设双曲线C的方程为－x2＝λ(λ≠0)，因为双曲线C过点(2,2)，则－22＝λ，解得λ＝－3，所以双曲线C的方程为－x2＝－3，即－＝1。故选A。
答案 A
2．(2016·全国卷Ⅰ)已知方程－＝1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n的取值范围是( )
A．(－1,3) B．(－1，)
C．(0,3) D．(0，)
解析 由题意得(m2＋n)(3m2－n)>0，解得－m2<n<3m2，又由该双曲线两焦点间的距离为4，得m2＋n＋3m2－n＝4，即m2＝1，所以－1<n<3。故选A。
答案 A
3．若双曲线x2＋＝1的一条渐近线的倾斜角α∈，则m的取值范围是( )
A．(－3,0) B．(－，0)
C．(0,3) D.
解析 由题意可知m<0，双曲线的标准方程为x2－＝1，经过第一、三象限的渐近线方程为y＝x，因为其倾斜角α∈，所以＝tanα∈(0，)，故m∈(－3,0)。故选A。
答案 A
4．(2017·长春模拟)已知F1，F2是双曲线－＝1(a>0，b>0)的两个焦点，以F1F2为直径的圆与双曲线的一个交点是P，且△F1PF2的三条边长成等差数列，则此双曲线的离心率是( )
A. B.
C．2 D．5
解析 不妨设点P位于第一象限，F1为左焦点，|PF2|＝m－d，|PF1|＝m，|F1F2|＝m＋d，其中m>d>0，则有(m－d)2＋m2＝(m＋d)2，解得m＝4d，故双曲线的离心率e＝＝5。故选D。
答案 D
5．(2016·石家庄二模)已知直线l与双曲线C：x2－y2＝2的两条渐近线分别交于A，B两点，若AB的中点在该双曲线上，O为坐标原点，则△AOB的面积为( )
A. B．1
C．2 D．4
解析 由题意得，双曲线的两条渐近线方程为y＝±x，设A(x1，x1)，B(x2，－x2)，则OA⊥OB，AB的中点为，又因为AB的中点在双曲线上，所以2－2＝2，化简得x1x2＝2，所以S△AOB＝|OA|·|OB|＝|x1|·|x2|＝|x1x2|＝2，故选C。
答案 C
6．(2016·茂名二模)已知双曲线：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，焦距为2c，直线y＝(x＋c)与双曲线的一个交点M满足∠MF1F2＝2∠MF2F1，则双曲线的离心率为( )
A. B.
C．2 D.＋1
解析 ∵直线y＝(x＋c)过左焦点F1，且其倾斜角为60°，∴∠MF1F2＝60°，∠MF2F1＝30°。
∴∠F1MF2＝90°，即F1M⊥F2M。
∴|MF1|＝|F1F2|＝c，|MF2|＝|F1F2|·sin60°＝c，由双曲线的定义有：|MF2|－|MF1|＝c－c＝2a，
∴离心率e＝＝＝＋1，故选D。
答案 D
二、填空题
7．若双曲线－＝1的离心率为，则m＝________。
解析 由a2＝16，b2＝m，得c2＝16＋m，所以e＝＝，即m＝1。
答案 1
8．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的两个焦点分别为F1，F2，以线段F1F2为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点是(4,3)。则此双曲线的方程为________。
解析 由题意，c＝＝5，
∴a2＋b2＝c2＝25。①
又双曲线的渐近线为y＝±x，∴＝。②
则由①②解得a＝3，b＝4，
∴双曲线方程为－＝1。
答案 －＝1
9．(2016·浙江高考)设双曲线x2－＝1的左、右焦点分别为F1，F2。若点P在双曲线上，且△F1PF2为锐角三角形，则|PF1|＋|PF2|的取值范围是________。
解析 由题意不妨设点P在双曲线的右支上，现考虑两种极限情况：当PF2⊥x轴时，|PF1|＋|PF2|有最大值8；当∠P为直角时，|PF1|＋|PF2|有最小值2。因为△F1PF2为锐角三角形，所以|PF1|＋|PF2|的取值范围为(2，8)。
答案 (2，8)
10．(2016·山东高考)已知双曲线E：－＝1(a>0，b>0)。若矩形ABCD的四个顶点在E上，AB，CD的中点为E的两个焦点，且2|AB|＝3|BC|，则E的离心率是________。
解析 如图，由题意不妨设|AB|＝3，则|BC|＝2，设AB，CD的中点分别为M，N，则在Rt△BMN中，|MN|＝2c＝2，故|BN|＝＝ ＝。由双曲线的定义可得2a＝|BN|－|BM|＝－＝1，而2c＝|MN|＝2，所以双曲线的离心率e＝＝2。
答案 2
三、解答题
11．已知双曲线的中心在原点，焦点F1，F2在坐标轴上，离心率为，且过点(4，－)。
(1)求双曲线方程；
(2)若点M(3，m)在双曲线上，求证：点M在以F1F2为直径的圆上；
(3)在(2)的条件下求△F1MF2的面积。
解析 (1)∵离心率e＝，
∴双曲线为等轴双曲线，
可设其方程为x2－y2＝λ(λ≠0)，
则由点(4，－)在双曲线上，
可得λ＝42－(－)2＝6，
∴双曲线的方程为x2－y2＝6。
(2)证明：∵点M(3，m)在双曲线上，
∴32－m2＝6，∴m2＝3，
又双曲线x2－y2＝6的焦点为F1(－2，0)，
F2(2，0)，
∴·＝(－2－3，－m)·(2－3，－m)＝(－3)2－(2)2＋m2＝9－12＋3＝0，
∴MF1⊥MF2，
∴点M在以F1F2为直径的圆上。
(3)S△F1MF2＝×4×|m|＝6。
答案 (1)x2－y2＝6 (2)见解析 (3)6
12．已知离心率为的椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，双曲线以椭圆的长轴为实轴，短轴为虚轴，且焦距为2。
(1)求椭圆及双曲线的方程；
(2)设椭圆的左、右顶点分别为A、B；在第二象限内取双曲线上一点P，连接BP交椭圆于点M，连接PA并延长交椭圆于点N，若＝，求四边形ANBM的面积。
解析 (1)设椭圆方程为＋＝1(a>b>0)，
则根据题意知双曲线的方程为－＝1，
且满足
解方程组得
∴椭圆的方程为＋＝1，
双曲线的方程为－＝1。
(2)由(1)得A(－5,0)，B(5,0)，|AB|＝10，
设M(x0，y0)，则由＝得M为BP的中点，
所以P点坐标为(2x0－5,2y0)。
将M、P坐标分别代入椭圆和双曲线方程，
得
消去y0，得2x－5x0－25＝0。
解得x0＝－或x0＝5(舍去)。∴y0＝。
由此可得M，∴P(－10,3)。
当P为(－10,3)时，
直线PA的方程是y＝(x＋5)，
即y＝－(x＋5)，代入＋＝1，
得2x2＋15x＋25＝0。∴x＝－或－5(舍去)，
∴xN＝－，xN＝xM，MN⊥x轴。
∴S四边形ANBM＝2S△AMB＝2××10×＝15。
答案 (1)椭圆方程为＋＝1，双曲线方程为－＝1 (2)15
(时间：20分钟)
1．如图，双曲线的中心在坐标原点O，A、C分别是双曲线虚轴的上、下顶点，B是双曲线的左顶点，F为双曲线的左焦点，直线AB与FC相交于点D。若双曲线的离心率为2，则∠BDF的余弦值是( )
A. B.
C. D.
解析 设双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)，由e＝＝2知，c＝2a，又c2＝a2＋b2，故b＝a，所以A(0，a)、C(0，－a)、B(－a,0)、F(－2a,0)，则＝(a，a)，＝(－2a，a)，结合题中的图可知，cos∠BDF＝cos〈，〉＝＝＝。故选C。
答案 C
2．已知中心在坐标原点的椭圆与双曲线有公共焦点，且左、右焦点分别为F1、F2，这两条曲线在第一象限的交点为P，△PF1F2是以PF1为底边的等腰三角形。若|PF1|＝10，椭圆与双曲线的离心率分别为e1、e2，则e1·e2的取值范围是( )
A．(0，＋∞) B.
C. D.
解析 设椭圆与双曲线的半焦距为c，|PF1|＝r1，|PF2|＝r2，由题意知r1＝10，r2＝2c，且r1>r2，∴2c<10，即c<5，由三角形的两边之和大于第三边可知，2r2>r1，即2c＋2c>10，即c>，于是<c<5，∴1<<4，∵e1＝＝，e2＝＝，
∴e1·e2＝＝>。故e1·e2的取值范围是。故选B。
答案 B
3．(2016·漳州八校联考)已知椭圆C1：＋＝1(a1>b1>0)与双曲线C2：－＝1(a2>0，b2>0)有相同的焦点F1，F2，点P是两曲线的一个公共点，e1，e2又分别是两曲线的离心率，若PF1⊥PF2，则4e＋e的最小值为( )
A. B．4
C. D．9
解析 由题意设焦距为2c，令P在双曲线的右支上，由双曲线的定义知|PF1|－|PF2|＝2a2，①
由椭圆定义知|PF1|＋|PF2|＝2a1，②
又∵PF1⊥PF2，∴|PF1|2＋|PF2|2＝4c2，③
①2＋②2，得|PF1|2＋|PF2|2＝2a＋2a，④
将④代入③，得a＋a＝2c2，
∴4e＋e＝＋＝＋＝＋＋≥＋2＝，当且仅当＝，即a＝2a时，取等号。故选C。
答案 C
4．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1、F2，点P在双曲线的右支上，且|PF1|＝4|PF2|，则此双曲线的离心率e的最大值为________。
解析 由定义，知|PF1|－|PF2|＝2a。
又|PF1|＝4|PF2|，∴|PF1|＝a，|PF2|＝a。
在△PF1F2中，由余弦定理，
得cos∠F1PF2＝＝－e2。
要求e的最大值，即求cos∠F1PF2的最小值，
∴当cos∠F1PF2＝－1时，得e＝，
即e的最大值为。
答案
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