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配餐作业(二十八) 平面向量的数量积(时间：40分钟)
一、选择题
1．已知p＝(2，－3)，q＝(x,6)，且p∥q，则|p＋q|的值为( )
A. B.
C．5 D．13
解析 由题意得2×6＋3x＝0⇒x＝－4⇒|p＋q|＝
|(2，－3)＋(－4,6)|＝|(－2,3)|＝。故选B。
答案 B
2．(2016·商丘模拟)在△ABC中，已知||＝4，||＝1，S△ABC＝，则·的值为( )
A．－2 B．2
C．±4 D．±2
解析 S△ABC＝|AB|·|AC|·sin∠BAC＝×4×1×sin∠BAC＝。∴sin∠BAC＝，cos∠BAC＝±，∴·＝||·||·cos∠BAC＝±2。故选D。
答案 D
3．(2017·石家庄模拟)在△ABC中，AB＝4，AC＝3，·＝1，则BC＝( )
A. B.
C．2 D．3
解析 设∠A＝θ，
因为＝－，AB＝4，AC＝3，
所以·＝2－·AB＝9－·＝1。
·＝8，cosθ＝＝＝，
所以BC＝＝3。故选D。
答案 D
4．(2016·昆明质检)设D为△ABC所在平面内一点，||＝2，||＝1，⊥，＝，则·＝( )
A．1 B.
C．－1 D．－
解析 在△ABC中，因为⊥，所以BC＝＝，所以||＝，所以·＝(＋)·＝·＝·＋2＝0＋()2＝，故选B。
答案 B
5．(2016·江西赣南五校二模)△ABC的外接圆的圆心为O，半径为1,2＝＋且||＝||，则向量在方向上的投影为( )
A. B.
C．－ D．－
解析 由2＝＋可知O是BC的中点，即BC为△ABC外接圆的直径，所以||＝||＝||，由题意知||＝||＝1，故△OAB为等边三角形，所以∠ABC＝60°。所以向量在方向上的投影为||cos∠ABC＝1×cos60°＝。故选A。
答案 A
6．(2017·厦门模拟)在△ABC中，∠A＝120°，·＝－1，则||的最小值是( )
A. B．2
C. D．6
解析 由·＝||||cos120°
＝－||||＝－1得||||＝2，
||2＝|－|2＝2＋2－2·＝2＋2＋2≥2||||＋2＝6，
当且仅当||＝||＝时等号成立。
所以||≥，故选C。
答案 C
二、填空题
7．(2016·开封一模)设向量a＝与b＝(－1,2cosθ)垂直，则cos2θ＝________。
解析 依题意，－＋2cos2θ＝0，即2cos2θ＝，
所以cos2θ＝2cos2θ－1＝－。
答案 －
8．已知A，B，C为圆O上的三点，若＝(＋)，则与的夹角为__________。
解析 由＝(＋)，可得O为BC的中点，故BC为圆O的直径，所以与的夹角为90°。
答案 90°
9．已知在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝1，E，F分别是BC，CD的中点，则(＋)·＝________。
解析 如图，将矩形放在直角坐标系中，则A(0,0)，B(2,0)，D(0,1)，E，C(2,1)，F(1,1)，所以＝，＝(1,1)，＝(－2,1)，所以＋＝，所以(＋)·＝·(－2,1)＝－6＋＝－。
答案 －
10．设a，b，c是单位向量，且a·b＝0，则(a＋c)·(b＋c)的最大值为________。
解析 解法一：设向量c与a＋b的夹角为θ，则有|a＋b|＝＝＝，(a＋c)·(b＋c)＝(a＋b)·c＋c2＝1＋cosθ，故最大值是1＋。
解法二：∵a，b是单位向量，且a·b＝0，
故可设a＝(1,0)，b＝(0,1)，
又c是单位向量，故可设c＝(cosθ，sinθ)，θ∈[0,2π)。
∴(a＋c)·(b＋c)
＝(1＋cosθ，sinθ)·(cosθ，1＋sinθ)
＝(1＋cosθ)cosθ＋sinθ(1＋sinθ)
＝cosθ＋cos2θ＋sinθ＋sin2θ
＝1＋cosθ＋sinθ
＝1＋sin。
∴(a＋c)·(b＋c)的最大值为1＋。
答案 1＋
三、解答题
11．已知|a|＝4，|b|＝8，a与b的夹角是120°。
(1)计算：①|a＋b|，②|4a－2b|；
(2)当k为何值时，(a＋2b)⊥(ka－b)。
解析 由已知得，a·b＝4×8×＝－16。
(1)①∵|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2＝16＋2×(－16)＋64＝48，∴|a＋b|＝4。
②∵|4a－2b|2＝16a2－16a·b＋4b2＝16×16－16×(－16)＋4×64＝768，
∴|4a－2b|＝16。
(2)∵(a＋2b)⊥(ka－b)，
∴(a＋2b)·(ka－b)＝0，
∴ka2＋(2k－1)a·b－2b2＝0，
即16k－16(2k－1)－2×64＝0，∴k＝－7。
即k＝－7时，a＋2b与ka－b垂直。
答案 (1)①4 ②16 (2)－7
12.如图，O是△ABC内一点，∠AOB＝150°，∠AOC＝120°，向量，，的模分别为2，，4。
(1)求|＋＋|；
(2)若＝m＋n，求实数m，n的值。
解析 (1)由已知条件易知·＝||·||·cos∠AOB＝－3，·＝||·||·cos∠AOC＝－4，·＝0，∴|＋＋|2＝2＋2＋2＋2(·＋·＋·)＝9，
∴|＋＋|＝3。
(2)由＝m＋n可得，·＝m2＋n·，且·＝m·＋n2，
∴∴m＝n＝－4。
答案 (1)3 (2)m＝n＝－4
(时间：20分钟)
1．(2016·山东三校联考)如图，菱形ABCD的边长为2，∠BAD＝60°，M为DC的中点，若N为菱形内任意一点(含边界)，则·的最大值为( )
A．3 B．2
C．6 D．9
解析 由平面向量的数量积的几何意义知，
·等于的模与在方向上的投影之积，所以(·)max＝·＝·(＋)＝2＋2＋·＝9。故选D。
答案 D
2．(2016·山东高考)已知非零向量m，n满足4|m|＝3|n|，cos〈m，n〉＝。若n⊥(tm＋n)，则实数t的值为( )
A．4 B．－4
C. D．－
解析 由n⊥(tm＋n)可得n·(tm＋n)＝0，即tm·n＋n2＝0，所以t＝－＝－＝－＝－3×＝－3×＝－4。故选B。
答案 B
3．(2016·福州质检)已知在△ABC中，AB＝4，AC＝6，BC＝，其外接圆的圆心为O，则·＝______。
解析 如图，取BC的中点M，连OM，AM，
则＝＋，
∴·＝(＋)·。
∵O为△ABC的外心，∴OM⊥BC，即·＝0，
∴·＝·＝(＋)·(－)＝(2－2)＝(62－42)＝×20＝10。
答案 10
4．(2017·临沂模拟)已知向量m＝(sinα－2，－cosα)，n＝(－sinα，cosα)，其中α∈R。
(1)若m⊥n，求角α；
(2)若|m－n|＝，求cos2α的值。
解析 (1)向量m＝(sinα－2，－cosα)，n＝(－sinα，cosα)，
若m⊥n，则m·n＝0，
即为－sinα(sinα－2)－cos2α＝0，
即sinα＝，可得α＝2kπ＋或2kπ＋，k∈Z。
(2)若|m－n|＝，即有(m－n)2＝2，
即(2sinα－2)2＋(2cosα)2＝2，
即为4sin2α＋4－8sinα＋4cos2α＝2，
即有8－8sinα＝2，可得sinα＝，
即有cos2α＝1－2sin2α＝1－2×＝－。
答案 (1)α＝2kπ＋或2kπ＋，k∈Z
(2)－
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