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配餐作业(五十二) 圆的方程
(时间：40分钟)
一、选择题
1．已知点A(1，－1)，B(－1,1)，则以线段AB为直径的圆的方程是( )
A．x2＋y2＝2 B．x2＋y2＝
C．x2＋y2＝1 D．x2＋y2＝4
解析 AB的中点坐标为(0,0)，
|AB|＝＝2，
∴圆的方程为x2＋y2＝2。故选A。
答案 A
2．圆心在y轴上，半径为1，且过点(1,2)的圆的方程为( )
A．x2＋(y－2)2＝1 B．x2＋(y＋2)2＝1
C．(x－1)2＋(y－3)2＝1 D．x2＋(y－3)2＝1
解析 设圆心坐标为(0，b)，则圆的方程为x2＋(y－b)2＝1。又因为该圆过点(1,2)，所以12＋(2－b)2＝1，解得b＝2，即圆的方程为x2＋(y－2)2＝1。故选A。
答案 A
3．点P(4，－2)与圆x2＋y2＝4上任一点连线的中点的轨迹方程是( )
A．(x－2)2＋(y＋1)2＝1
B．(x－2)2＋(y＋1)2＝4
C．(x＋4)2＋(y－2)2＝4
D．(x＋2)2＋(y－1)2＝1
解析 设M(x0，y0)为圆x2＋y2＝4上任一点，PM中点为Q(x，y)，
则∴
代入圆的方程得(2x－4)2＋(2y＋2)2＝4，
即(x－2)2＋(y＋1)2＝1。故选A。
答案 A
4．若圆C的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x－3y＝0和x轴都相切，则该圆的标准方程是( )
A．(x－2)2＋(y－1)2＝1
B．(x－2)2＋(y＋1)2＝1
C．(x＋2)2＋(y－1)2＝1
D．(x－3)2＋(y－1)2＝1
解析 由于圆心在第一象限且与x轴相切，故设圆心为(a,1)(a>0)，又由圆与直线4x－3y＝0相切可得＝1，解得a＝2，故圆的标准方程为(x－2)2＋(y－1)2＝1。故选A。
答案 A
5．(2017·昆明模拟)方程|x|－1＝所表示的曲线是( )
A．一个圆 B．两个圆
C．半个圆 D．两个半圆
解析 由题意得
即
或
故原方程表示两个半圆。故选D。
答案 D
二、填空题
6．若圆C经过坐标原点和点(4,0)，且与直线y＝1相切，则圆C的方程是________。
解析 如图，设圆心坐标为(2，y0)，半径为r，则
解得y0＝－，r＝，
∴圆C的方程为(x－2)2＋2＝。
答案 (x－2)2＋2＝
7．(2017·聊城模拟)已知x，y满足x2＋y2＝1，则的最小值为________。
解析 表示圆x2＋y2＝1上的点P(x，y)与点Q(1,2)连线的斜率，所以的最小值是直线PQ与圆相切时的斜率。设直线PQ的方程为y－2＝k(x－1)即kx－y＋2－k＝0。由＝1得k＝，结合图形可知，≥，故最小值为。
答案
8．已知两点A(－2,0)，B(0,2)，点C是圆x2＋y2－2x＝0上任意一点，则△ABC面积的最大值为________。
解析 由题知，直线lAB：x－y＋2＝0，圆心(1,0)到lAB的距离d＝＝，∴AB边上的高的最大值为＋1。
∴△ABC面积的最大值为×2×＝3＋。
答案 3＋
9．已知圆C关于y轴对称，经过点(1,0)且被x轴分成两段，弧长比为1∶2，则圆C的方程为________。
解析 由已知圆心在y轴上，且被x轴所分劣弧所对圆心角为，设圆心(0，a)，半径为r，则rsin＝1，
rcos＝|a|，解得r＝，即r2＝，|a|＝，
即a＝±，故圆C的方程为x2＋2＝。
答案 x2＋2＝
三、解答题
10．(2016·南昌二中检测)在平面直角坐标系xOy中，经过函数f(x)＝x2－x－6的图象与两坐标轴交点的圆记为圆C。
(1)求圆C的方程；
(2)求经过圆心C且在坐标轴上截距相等的直线l的方程。
解析 (1)设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，函数f(x)＝x2－x－6的图象与两坐标轴交点为(0，－6)，(－2,0)，(3,0)，由
解得所以圆的方程为x2＋y2－x＋5y－6＝0。
(2)由(1)知圆心坐标为，若直线经过原点，则直线l的方程为5x＋y＝0；若直线不过原点，设直线l的方程为x＋y＝a，则a＝－＝－2，即直线l的方程为x＋y＋2＝0。综上可得，直线l的方程为5x＋y＝0或x＋y＋2＝0。
答案 (1)x2＋y2－x＋5y－6＝0 (2)5x＋y＝0或x＋y＋2＝0
11．在平面直角坐标系xOy中，已知圆P在x轴上截得线段长为2，在y轴上截得线段长为2。
(1)求圆心P的轨迹方程；
(2)若P点到直线y＝x的距离为，求圆P的方程。
解析 (1) 设P(x，y)，圆P的半径为r。
则y2＋2＝r2，x2＋3＝r2。
∴y2＋2＝x2＋3，即y2－x2＝1。
∴P点的轨迹方程为y2－x2＝1。
(2)设P的坐标为(x0，y0)，
则＝，即|x0－y0|＝1。
∴y0－x0＝±1，即y0＝x0±1。
①当y0＝x0＋1时，由y－x＝1得(x0＋1)2－x＝1。
∴∴r2＝3。
∴圆P的方程为x2＋(y－1)2＝3。
②当y0＝x0－1时，由y－x＝1得(x0－1)2－x＝1。
∴∴r2＝3。
∴圆P的方程为x2＋(y＋1)2＝3。
综上所述，圆P的方程为x2＋(y±1)2＝3。
答案 (1)y2－x2＝1 (2)x2＋(y±1)2＝3
(时间：20分钟)
1．(2016·福建师大附中联考)已知圆O的半径为1，PA，PB为该圆的两条切线，A，B为切点，那么·的最小值为( )
A．－4＋ B．－3＋
C．－4＋2 D．－3＋2
解析 设|PO|＝t，向量与的夹角为θ，则||＝||＝，sin＝，cosθ＝1－2sin2＝1－，∴·＝||||cosθ＝(t2－1)(t>1)，∴·＝t2＋－3(t>1)，利用基本不等式可得·的最小值为2－3。故选D。
答案 D
2．已知圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝1和两点A(－m,0)，B(m,0)(m>0)。若圆C上存在点P，使得∠APB＝90°，则m的最大值为( )
A．7 B．6
C．5 D．4
解析 根据题意，画出示意图，如图所示，则圆心C的坐标为(3,4)，半径r＝1，且|AB|＝2m，因为∠APB＝90°，连接OP，易知|OP|＝|AB|＝m。要求m的最大值，即求圆C上的点P到原点O的最大距离。因为|OC|＝＝5，所以|OP|max＝|OC|＋r＝6，即m的最大值为6。故选B。
答案 B
3．设P为直线3x＋4y＋3＝0上的动点，过点P作圆C：x2＋y2－2x－2y＋1＝0的两条切线，切点分别为A，B，则四边形PACB的面积的最小值为________。
解析 依题意，圆C：(x－1)2＋(y－1)2＝1的圆心是点C(1,1)，半径是1，
易知|PC|的最小值等于圆心C(1,1)到直线3x＋4y＋3＝0的距离，即＝2，
而四边形PACB的面积等于
2S△PAC＝2×
＝|PA|·|AC|＝|PA|＝，
因此四边形PACB的面积的最小值是＝。
答案
4．(2016·中原名校联考)已知圆C的方程为x2＋(y－4)2＝1，直线l的方程为2x－y＝0，点P在直线l上，过点P作圆C的切线PA，PB，切点为A，B。
(1)若∠APB＝60°，求点P的坐标；
(2)求证：经过A，P，C(其中点C为圆C的圆心)三点的圆必经过定点，并求出所有定点的坐标。
解析 (1)由条件可得圆C的圆心坐标为(0,4)，|PC|＝2，设P(a,2a)，则＝2，解得a＝2或a＝，所以点P的坐标为(2,4)或。
(2)设P(a,2a)，过点A，P，C的圆即是以PC为直径的圆，其方程为x(x－a)＋(y－4)(y－2a)＝0，整理得x2＋y2－ax－4y－2ay＋8a＝0，即(x2＋y2－4y)－a(x＋2y－8)＝0。
由得或
∴该圆必经过定点(0,4)和。
答案 (1)P(2,4)或P
(2)必经过定点(0,4)和，证明见解析
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