2022-2022届高考数学(理)大一轮复习顶层设计配餐作业：40直接证明与间接证明-Word版含解析.doc

配餐作业(四十)　直接证明与间接证明
　　　　　　　(时间：40分钟)
一、选择题
1．分析法又称执果索因法，若用分析法证明：“设a>b>c，且a＋b＋c＝0，求证：<a”“索”的“因”应是(　　)
A．a－b>0 B．a－c>0
C．(a－b)(a－c)>0 D．(a－b)(a－c)<0
解析　<a⇔b2－ac<3a2⇔(a＋c)2－ac<3a2⇔a2＋2ac＋c2－ac－3a2<0⇔－2a2＋ac＋c2<0⇔2a2－ac－c2>0⇔(a－c)(2a＋c)>0⇔(a－c)(a－b)>0。故选C。
答案　C
2．若实数a，b满足a＋b<0，则(　　)
A．a，b都小于0
B．a，b都大于0
C．a，b中至少有一个大于0
D．a，b中至少有一个小于0
解析　假设a，b都不小于0，即a≥0，b≥0，则a＋b≥0，这与a＋b<0相矛盾，因此假设错误，即a，b中至少有一个小于0。故选D。
答案　D
3．要使－＜成立，则a，b应满足(　　)
A．ab＜0且a＞b
B．ab＞0且a＞b
C．ab＜0且a＜b
D．ab＞0且a＞b或ab＜0且a＜b
解析　要使－＜成立，
只要(－)3＜()3成立，
即a－b－3＋3＜a－b成立，
只要＜成立，
只要ab2＜a2b成立，
即要ab(b－a)＜0成立，
只要ab＞0且a＞b或ab＜0且a＜b成立。故选D。
答案　D
4．已知函数f(x)满足：f(a＋b)＝f(a)·f(b)，f(1)＝2，则＋＋＋＝(　　)
A．4 B．8
C．12 D．16
解析　根据f(a＋b)＝f(a)·f(b)，
得f(2n)＝f2(n)。又f(1)＝2，则＝2。
由＋＋＋＝＋＋＋＝16。
故选D。
答案　D
5．已知a>0，b>0，如果不等式＋≥恒成立，那么m的最大值等于(　　)
A．10 B．9
C．8 D．7
解析　∵a>0，b>0，∴2a＋b>0。
∴不等式可化为m≤(2a＋b)＝5＋2。
∵5＋2≥5＋4＝9，即其最小值为9，
∴m≤9，即m的最大值等于9。故选B。
答案　B
二、填空题
6．设a＝＋2，b＝2＋，则a，b的大小关系为__________。
解析　a＝＋2，b＝2＋两式的两边分别平方，可得a2＝11＋4，b2＝11＋4，显然，＜。
∴a＜b。
答案　a＜b
7．用反证法证明命题“若实数a，b，c，d满足a＋b＝c＋d＝1，ac＋bd＞1，则a，b，c，d中至少有一个是非负数”时，第一步要假设结论的否定成立，那么结论的否定是__________。
解析　“至少有一个”的否定是“一个也没有”，故结论的否定是“a，b，c，d中没有一个是非负数，即a，b，c，d全是负数”。
答案　a，b，c，d全是负数
8．设a，b是两个实数，给出下列条件：
①a＋b>1；②a＋b＝2；③a＋b>2；④a2＋b2>2；
⑤ab>1。
其中能推出：“a，b中至少有一个大于1”的条件是__________。(填序号)
解析　若a＝，b＝，则a＋b>1，
但a<1，b<1，故①推不出；
若a＝b＝1，则a＋b＝2，故②推不出；
若a＝－2，b＝－3，则a2＋b2>2，故④推不出；
若a＝－2，b＝－3，则ab>1，故⑤推不出；
对于③，即a＋b>2，则a，b中至少有一个大于1，
反证法：假设a≤1且b≤1，
则a＋b≤2与a＋b＞2矛盾，
因此假设不成立，故a，b中至少有一个大于1。
答案　③
三、解答题
9．(2017·福州模拟)在数列{an}中，已知a1＝，＝，bn＋2＝3logan(n∈N*)。
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)求证：数列{bn}是等差数列。
解析　(1)因为＝，所以数列{an}是首项为，公比为的等比数列，
所以an＝n(n∈N*)。
(2)证明：因为bn＝3logan－2，
所以bn＝3logn－2＝3n－2。
∴bn－bn－1＝3，
所以数列{bn} 是首项b1＝1，公差d＝3的等差数列。
答案　(1)an＝n(n∈N*)　(2)见解析
10．设数列{an}是公比为q的等比数列，Sn是它的前n项和。
(1)求证：数列{Sn}不是等比数列；
(2)数列{Sn}是等差数列吗？为什么？
解析　(1)证明：假设数列{Sn}是等比数列，则S＝S1S3，
即a(1＋q)2＝a1·a1·(1＋q＋q2)，
因为a1≠0，所以(1＋q)2＝1＋q＋q2，即q＝0，这与公比q≠0矛盾，
所以数列{Sn}不是等比数列。
(2)当q＝1时，Sn＝na1，故{Sn}是等差数列；
当q≠1时，{Sn}不是等差数列，否则2S2＝S1＋S3，
即2a1(1＋q)＝a1＋a1(1＋q＋q2)，得q＝0，这与公比q≠0矛盾。
综上，当q＝1时，数列{Sn}是等差数列；当q≠1时，{Sn}不是等差数列。
答案　见解析
(时间：20分钟)
(2016·浙江高考)设函数f(x)＝x3＋，x∈[0,1]。证明：
(1)f(x)≥1－x＋x2；
(2)<f(x)≤。
证明　(1)因为1－x＋x2－x3＝＝，
由于x∈[0,1]，有≤，即1－x＋x2－x3≤，所以f(x)≥1－x＋x2。
(2)由0≤x≤1得x3≤x，故
f(x)＝x3＋≤x＋＝x＋－＋＝＋≤，
所以f(x)≤。
由(1)得f(x)≥1－x＋x2＝2＋≥，
又因为f＝>，所以f(x)>。
综上，<f(x)≤。