2022-2022届高考数学(理)大一轮复习顶层设计配餐作业：45直线、平面平行的判定与性质-Word版含解析.doc

配餐作业(四十五)　
直线、平面平行的判定与性质
(时间：40分钟)
一、选择题
1．已知直线a和平面α，那么a∥α的一个充分条件是(　　)
A．存在一条直线b，a∥b且b⊂α
B．存在一条直线b，a⊥b且b⊥α
C．存在一个平面β，a⊂β且α∥β
D．存在一个平面β，a∥β且α∥β
解析　在A，B，D中，均有可能a⊂α，错误；在C中，两平面平行，则其中一个平面内的任一条直线都平行于另一平面，故C正确。
答案　C
2．已知直线l和平面α，若l∥α，P∈α，则过点P且平行于l的直线(　　)
A．只有一条，不在平面α内
B．只有一条，且在平面α内
C．有无数条，一定在平面α内
D．有无数条，不一定在平面α内
解析　过直线外一点作该直线的平行直线有且只有一条，因为点P在平面α内，所以这条直线也应该在平面α内。故选B。
答案　B
3．(2017·福州模拟)已知直线a，b异面，给出以下命题：
①一定存在平行于a的平面α使b⊥α；
②一定存在平行于a的平面α使b∥α；
③一定存在平行于a的平面α使b⊂α；
④一定存在无数个平行于a的平面α与b交于一定点。
则其中论断正确的是(　　)
A．①④ B．②③
C．①②③ D．②③④
解析　对于①，若存在平面α使得b⊥α，则有b⊥a，而直线a，b未必垂直，因此①不正确；对于②，注意到过直线a，b外一点M分别引直线a，b的平行线a1，b1，显然由直线a1，b1可确定平面α，此时平面α与直线a，b均平行，因此②正确；对于③，注意到过直线b上的一点B作直线a2与直线a平行，显然由直线b与a2可确定平面α，此时平面α与直线a平行，且b⊂α，因此③正确；对于④，在直线b上取一定点N，过点N作直线c与直线a平行，经过直线c的平面(除由直线a与c所确定的平面及直线c与b所确定的平面之外)均与直线a平行，且与直线b相交于一定点N，因此④正确。综上所述，②③④正确。故选D。
答案　D
4．已知m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列命题中正确的是(　　)
A．若m∥α，n∥α，则m∥n
B．若m∥n，n⊂α，则m∥α
C．若m∥α，m∥β，则α∥β
D．若α∥β，α∥γ，则β∥γ

解析　借助正方体模型逐一判断。如图所示，正方体的棱A1B1，B1C1都与底面ABCD平行，但这两条棱相交，故A不正确；在正方体中AB∥A1B1，A1B1⊂平面A1B1BA，而AB在平面A1B1BA内，故B不正确；正方体的棱B1C1既平行于平面ADD1A1，又平行于平面ABCD，但这两个平面相交，故C不正确；由平面与平面平行的传递性可知D正确。
答案　D
5．(2016·海淀模拟)设l，m，n表示不同的直线，α，β，γ表示不同的平面，给出下列四个命题：
①若m∥l，且m⊥α，则l⊥α；
②若m∥l，且m∥α，则l∥α；
③若α∩β＝l，β∩γ＝m，γ∩α＝n，则l∥m∥n；
④若α∩β＝m，β∩γ＝l，γ∩α＝n，且n∥β，则l∥m，
其中正确命题的个数是(　　)
A．1　　　B．2　　　C．3　　　D．4
解析　①正确；②中也可能直线l⊂α，故错误；③中三条直线也可能相交于一点，故错误；④正确，所以正确的命题有2个。故选B。
答案　B
6．(2017·囊阳模拟)如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是BC1，CD1的中点，则下列说法错误的是(　　)

A．MN与CC1垂直 B．MN与AC垂直
C．MN与BD平行 D．MN与A1B1平行
解析　如图所示，连接C1D，BD，则MN∥BD，而C1C⊥BD，故C1C⊥MN，故A、C正确，D错误，又因为AC⊥BD，所以MN⊥AC，B正确。故选D。

答案　D
二、填空题
7．在四面体A－BCD中，M，N分别是△ACD，△BCD的重心，则四面体的四个面中与MN平行的是________。
解析　如图，取CD的中点E，连接AE，BE，则M∈AE，N∈BE。

则EM∶MA＝1∶2，
EN∶BN＝1∶2，
所以MN∥AB。
所以MN∥平面ABD，
MN∥平面ABC。
答案　平面ABD与平面ABC
8．(2016·全国卷Ⅱ)α，β是两个平面，m，n是两条直线，有下列四个命题：
①如果m⊥n，m⊥α，n∥β，那么α⊥β；
②如果m⊥α，n∥α，那么m⊥n；
③如果α∥β，m⊂α，那么m∥β；
④如果m∥n，α∥β，那么m与α所成的角和n与β所成的角相等。
其中正确的命题有________。(填写所有正确命题的编号)。
解析　对于命题①，可运用长方体举反例证明其错误：
如图，不妨设AA′为直线m，CD为直线n，ABCD所在的平面为α，ABC′D′所在的平面为β，显然这些直线和平面满足题目条件，但α⊥β不成立。

命题②正确，证明如下：设过直线n的某平面与平面α相交于直线l，则l∥n，由m⊥α知m⊥l，从而m⊥n，结论正确。
由平面与平面平行的定义及线面平行的定义知命题③正确。
由平行的传递性及线面角的定义知命题④正确。
答案　②③④
9.如图，在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1(底面是正方形的直四棱柱叫正四棱柱)中，E，F，G，H分别是棱CC1，C1D1，D1D，CD的中点，N是BC的中点，动点M在四边形EFGH上及其内部运动，则M满足条件________时，有MN∥平面B1BDD1。

解析　因为HN∥BD，HF∥DD1，所以平面NHF∥平面B1BDD1，故线段FH上任意点M与N相连，都有MN∥平面B1BDD1。(答案不唯一)
答案　M∈线段FH
三、解答题
10.如图，ABCD与ADEF均为平行四边形，M，N，G分别是AB，AD，EF的中点。

(1)求证：BE∥平面DMF；
(2)求证：平面BDE∥平面MNG。
证明　(1)连接AE，则AE必过DF与GN的交点O，
连接MO，则MO为△ABE的中位线，所以BE∥MO，

又BE⊄平面DMF，MO⊂平面DMF，
所以BE∥平面DMF。
(2)因为N，G分别为平行四边形ADEF的边AD，EF的中点，所以DE∥GN，
又DE⊄平面MNG，GN⊂平面MNG，
所以DE∥平面MNG。
又M为AB的中点，
所以MN为△ABD的中位线，所以BD∥MN，
又MN⊂平面MNG，BD⊄平面MNG，
所以BD∥平面MNG，
又DE，BD⊂平面BDE，DE∩BD＝D，
所以平面BDE∥平面MNG。
11．(2016·石家庄模拟)
如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，∠ABC＝∠ACD＝90°，∠BAC＝∠CAD＝60°，E为PD的中点，F在AD上，且∠FCD＝30°。

(1)求证：CE∥平面PAB；
(2)若PA＝2AB＝2，求四面体P－ACE的体积。
解析　(1)证明：∵∠ACD＝90°，∠CAD＝60°，
∴∠FDC＝30°。
又∠FCD＝30°，∴∠ACF＝60°，
∴AF＝CF＝DF，即F为AD的中点。
又E为PD的中点，∴EF∥PA。
∵AP⊂平面PAB，EF⊄平面PAB，
∴EF∥平面PAB。
又∠BAC＝∠ACF＝60°，
∴CF∥AB，可得CF∥平面PAB。
又EF∩CF＝F，
∴平面CEF∥平面PAB，而CE⊂平面CEF，
∴CE∥平面PAB。
(2)∵EF∥AP，AP⊂平面APC，EF⊄平面PAC，
∴EF∥平面APC。
又∠ABC＝∠ACD＝90°，∠BAC＝60°，PA＝2AB＝2，
∴AC＝2AB＝2，CD＝＝2。
∴VP－ACE＝VE－PAC＝VF－PAC＝VP－ACF＝××S△ACD·PA＝×××2×2×2＝。
答案　(1)见解析　(2)
(时间：20分钟)
1．(2016·全国卷Ⅰ)平面α过正方体ABCD－A1B1C1D1的顶点A，α∥平面CB1D1，α∩平面ABCD＝m，α∩平面ABB1A1＝n，则m，n所成角的正弦值为(　　)
A. B.
C. D.
解析　因为过点A的平面α与平面CB1D1平行，平面ABCD∥平面A1B1C1D1，所以m∥B1D1∥BD，又A1B∥平面CB1D1，所以n∥A1B，则BD与A1B所成的角为所求角，所以m，n所成角的正弦值为，故选A。
答案　A
2．(2016·河南三市联考)如图所示，侧棱与底面垂直，且底面为正方形的四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝2，AB＝1，M，N分别在AD1，BC上移动，始终保持MN∥平面DCC1D1，设BN＝x，MN＝y，则函数y＝f(x)的图象大致是(　　)

解析　过M作MQ∥DD1，交AD于Q，连QN。
∵MN∥平面DCC1D1，MQ∥平面DCC1D1，
MN∩MQ＝M，∴平面MNQ∥平面DCC1D1，
又QN⊂平面MNQ，∴NQ∥平面DCC1D1，
∴NQ∥DC。∵AQ＝BN＝x，DD1＝AA1＝2，AD＝AB＝1，∴MQ＝2x。在Rt△MQN中 ，MN2＝MQ2＋QN2，即y2＝4x2＋1，∴y2－4x2＝1(x≥0，y≥1)，∴函数y＝f(x)的图象为焦点在y轴上的双曲线上支的一部分。故选C。
答案　C
3．(2017·大连模拟)
如图，四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是边长为3的菱形，∠ABC＝60°。PA⊥面ABCD，且PA＝3。F在棱PA上，且AF＝1，E在棱PD上。

(1)若CE∥面BDF，求PE∶ED的值；
(2)求二面角B－DF－A的大小。
解析　(1)解法一：过E作EG∥FD交AP于G，连接CG，连接AC交BD于点O，连接FO。
∵EG∥FD，EG⊄面BDF，FD⊂面BDF，
∴EG∥面BDF，
又EG∩CE＝E，CE∥面BDF，EG，CE⊂面CGE，
∴面CGE∥面BDF，
又CG⊂面CGE，∴CG∥面BDF，

又面BDF∩面PAC＝FO，CG⊂面PAC，∴FO∥CG。
又O为AC的中点，
∴F为AG中点，∴FG＝GP＝1，
∴E为PD的中点，PE∶ED＝1∶1。
解法二：取BC中点G，连接AG，
∵四边形ABCD是∠ABC＝60°的菱形，∴AG⊥AD，
又PA⊥面ABCD，∴分别以，，为x轴、y轴、z轴正方向建立空间直角坐标系A－xyz如图所示。

则D(0,3,0)，B，C，F(0,0,1)，P(0,0,3)，
∴＝(0，－3,1)，＝，设面BDF的一个法向量n＝(x，y，z)，则由可得
不妨令z＝3，解得x＝，y＝1，
∴n＝(，1,3)。
设＝λ＝(0,3λ，－3λ)，则＝＋＝，
∵CE∥面BDF，∴n·＝0，
即－－＋3λ＋9－9λ＝0，解得λ＝。
∴PE∶ED＝1∶1。
(2)由(1)解法二，显然面PAD的一个法向量m＝(1,0,0)，∴cos〈m，n〉＝＝，
∴二面角B－DF－A的大小为arccos。
答案　(1)1　(2)arccos