1、直线与圆锥曲线的位置关系课时作业1直线l过点(，0)且与双曲线x2y22仅有一个公共点，这样的直线有()A1条B2条C3条D4条答案C解析该点为双曲线的顶点，与双曲线相切的直线有一条，与渐近线平行的直线有两条，共3条2F1，F2是双曲线y21的左、右焦点，P，Q为右支上的两点，直线PQ过F2且倾斜角为，那么|PF1|QF1|PQ|的值为()A8B2C4D随的大小而变化答案C解析由双曲线定义，知|PF1|QF1|PQ|PF1|QF1|(|PF2|QF2|)(|PF1|PF2|)(|QF1|QF2|)4a4.3(2022辽宁师大附中期中)过点M(2,0)的直线m与椭圆y21交于P1，P2两点，线段
2、P1P2的中点为P，设直线m的斜率为k1(k10)，直线OP的斜率为k2，那么k1k2的值为()A2B2CD答案D解析设P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，P(x，y)，那么两式相减，得(y1y2)(y1y2)0，即2y(y1y2)0.k1，又k2.k1k2.4等轴双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，C与抛物线y216x的准线交于A，B两点，|AB|4，那么C的实轴长为()AB2C4D8答案C解析抛物线y216x的准线方程是x4，所以点A(4,2)在等轴双曲线C：x2y2a2(a0)上，将点A的坐标代入得a2，所以C的实轴长为4.5假设直线xym0与双曲线x21交于不同的两点A，B，且线段
3、AB的中点在圆x2y25上，那么m的值为()AB2C1D答案C解析设A，B两点的坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，线段AB的中点为M(x0，y0)由得x22mxm220(0)，x0m，y0x0m2m，点M(x0，y0)在圆x2y25上，m2(2m)25，m1.6直线ykx1与双曲线x21交于A，B两点，且|AB|8，那么实数k的值为()AB或CD答案B解析由直线与双曲线交于A，B两点，得k2.将ykx1代入x21，得(4k2)x22kx50，那么4k24(4k2)50，k20，b0)的左、右焦点分别为F1，F2，点E(0，t)(0t0)与双曲线1(a0，b0)的一条渐近线交于点M(
4、1，m)，点M到抛物线焦点的距离为3，那么双曲线的离心率等于()A3B4CD2答案A解析点M到抛物线焦点的距离为13p4，抛物线方程为y28x，m28.双曲线的渐近线方程为yx，两边平方得y22x2，把M(1，m)代入上式得82，双曲线的离心率e3.9(2022郑州测试)抛物线x28y与双曲线x21(a0)的一个交点为M，F为抛物线的焦点，假设|MF|5，那么该双曲线的渐近线方程为()A5x3y0B3x5y0C4x5y0D5x4y0答案B解析设点M(x0，y0)，那么有|MF|y025，y03，x24，由点M(x0，y0)在双曲线x21上，得x1，241，a2，那么双曲线x21的渐近线方程为3
5、x5y0，选B10(2022江西六校联考)过双曲线x21(b0)的左顶点A作斜率为1的直线l，假设l与双曲线的两条渐近线分别交于B，C，且2，那么该双曲线的离心率为()ABCD答案C解析由题意可知，左顶点A(1,0)又直线l的斜率为1，所以直线l的方程为yx1，假设直线l与双曲线的渐近线有交点，那么b1.又双曲线的两条渐近线的方程分别为ybx，ybx，所以可得xB，xC.由2，可得2(xBxA)xCxB，故2，解得b2，故e.11(2022福建龙岩摸底)椭圆：1(0bb0)的两个焦点，P为椭圆C上的一点，且.假设PF1F2的面积为9，那么b_.答案3解析由题意，知|PF1|PF2|2a，|PF
6、1|2|PF2|2|F1F2|24c2，(|PF1|PF2|)22|PF1|PF2|4c2，2|PF1|PF2|4a24c24b2，|PF1|PF2|2b2，SPF1F2|PF1|PF2|2b2b29，b3.14(2022大同质检)抛物线y216x的准线过双曲线C：1(a0，b0)的一个焦点，且双曲线的一条渐近线方程为yx，那么该双曲线的标准方程是_答案1解析抛物线y216x的准线x4过双曲线C：1(a0，b0)的一个焦点，c4.由双曲线的一条渐近线方程为yx，可得ba，又c4，a2，b2，所求双曲线的标准方程为1.15(2022天津高考)设抛物线y24x的焦点为F，准线为l.点C在l上，以C
7、为圆心的圆与y轴的正半轴相切于点A假设FAC120，那么圆的方程为_答案(x1)2(y)21解析由y24x可得点F的坐标为(1,0)，准线l的方程为x1.由圆心C在l上，且圆C与y轴正半轴相切(如图)，可得点C的横坐标为1，圆的半径为1，CAO90.又因为FAC120，所以OAF30，所以|OA|，所以点C的纵坐标为.所以圆的方程为(x1)2(y)21.16(2022北京高考)椭圆M：1(ab0)，双曲线N：1.假设双曲线N的两条渐近线与椭圆M的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，那么椭圆M的离心率为_；双曲线N的离心率为_答案12解析由正六边形的性质得椭圆上一点到两焦点距离之和
8、为cc，再根据椭圆定义得cc2a，所以椭圆M的离心率为1.双曲线N的渐近线方程为yx，由题意得双曲线N的一条渐近线的倾斜角为.tan23，e24，e2.17(2022湖北荆州月考)抛物线y22px(p0)的焦点为F，M为抛物线上一点，O为坐标原点OMF的外接圆N与抛物线的准线相切，外接圆N的周长为9.(1)求抛物线的方程；(2)不与y轴垂直的动直线l与抛物线有且只有一个公共点，且分别交抛物线的准线和直线x3于A，B两点，试求的值解(1)OMF的外接圆N的圆心N必在线段OF的中垂线上且外接圆N与准线相切，外接圆N的周长为9，外接圆的半径为p，即p6，抛物线的方程为y212x.(2)解法一：由题知
9、直线l的斜率存在且不为0，可设l：ykxb.由消去x得ky212y12b0.直线l与抛物线只有一个公共点，k0，(12)24k12b0，即kb3，直线l：ykxb与准线x3交于点A，A(3，3kb)，即A，同理B，1.解法二：由题知直线l不与坐标轴垂直，可设l：xmyn(m0)，由消去x得y212my12n0.直线l与抛物线只有一个公共点，(12m)24(12n)0，即n3m2，直线l：xmyn与准线x3交于点A，A，即A，同理B，1.解法三：设切点为P(12t2,12t)(t0)，那么l：12ty12，令x3得y，即A，令x3得y，即B，1.18(2022江苏高考)如图，在平面直角坐标系xO
10、y中，椭圆C：1(ab0)的焦点为F1(1,0)，F2(1,0)过F2作x轴的垂线l，在x轴的上方，l与圆F2：(x1)2y24a2交于点A，与椭圆C交于点D连接AF1并延长交圆F2于点B，连接BF2交椭圆C于点E，连接DF1.DF1.(1)求椭圆C的标准方程；(2)求点E的坐标解(1)设椭圆C的焦距为2c.因为F1(1,0)，F2(1,0)，所以F1F22，c1.又因为DF1，AF2x轴，所以DF2 .因此2aDF1DF24，从而a2.由b2a2c2，得b23.因此椭圆C的标准方程为1.(2)解法一：由(1)知，椭圆C：1，a2.因为AF2x轴，所以点A的横坐标为1.将x1代入圆F2的方程(
11、x1)2y216，解得y4.因为点A在x轴上方，所以A(1,4)又F1(1,0)，所以直线AF1：y2x2.由得5x26x110，解得x1或x.将x代入y2x2，解得y.因此B.又F2(1,0)，所以直线BF2：y(x1)由得7x26x130，解得x1或x.又因为E是线段BF2与椭圆的交点，所以x1.将x1代入y(x1)，得y.因此E.解法二：由(1)知，椭圆C：1.如图，连接EF1.因为BF22a，EF1EF22a，所以EF1EB，从而BF1EB因为F2AF2B，所以AB所以ABF1E，从而EF1F2A因为AF2x轴，所以EF1x轴因为F1(1,0)，由得y.又因为E是线段BF2与椭圆的交点
12、，所以y.因此E.19(2022长沙统一模拟)椭圆C：1(ab0)的离心率为，左、右焦点分别为F1，F2，A为椭圆C上一点，AF1与y轴相交于点B，|AB|F2B|，|OB|(O为坐标原点)(1)求椭圆C的方程；(2)设椭圆C的左、右顶点分别为A1，A2，过A1，A2分别作x轴的垂线l1，l2，椭圆C的一条切线l：ykxm(k0)分别与l1，l2交于点M，N，求证：MF1NMF2N.解(1)如图，连接AF2，由题意，得|AB|F2B|F1B|，所以BO为F1AF2的中位线，又BOF1F2，所以AF2F1F2，且|AF2|2|BO|，又e，a2b2c2，所以a29，b28，故所求椭圆C的方程为1
13、.(2)证明：由(1)可得，F1(1,0)，F2(1,0)，l1的方程为x3，l2的方程为x3.由得由得所以M(3，3km)，N(3,3km)，所以(2，3km)，(4,3km)，所以8m29k2.联立得(9k28)x218kmx9m2720.因为直线l与椭圆C相切，所以(18km)24(9k28)(9m272)0，化简得m29k28.所以8m29k20，所以，故MF1N.同理可得，MF2N.故MF1NMF2N.20(2022合肥质检二)抛物线C1：x22py(p0)和圆C2：(x1)2y22，倾斜角为45的直线l1过C1的焦点，且l1与C2相切(1)求p的值；(2)动点M在C1的准线上，动点
14、A在C1上，假设C1在A点处的切线l2交y轴于点B，设，求证：点N在定直线上，并求该定直线的方程解(1)依题意，设直线l1的方程为yx，因为直线l1与圆C2相切，所以圆心C2(1,0)到直线l1：yx的距离d，即，解得p6或p2(舍去)所以p6.(2)证法一：由(1)知抛物线C1的方程为x212y，所以y，所以y，设M(m，3)，A(x1，y1)，那么以A为切点的切线l2的斜率为k，所以切线l2的方程为yx1(xx1)y1.令x0，那么yxy112y1y1y1，即B点的坐标为(0，y1)，所以(x1m，y13)，(m，y13)，所以(x12m,6)，所以(x1m,3)，其中O为坐标原点设N点坐标为(x，y)，那么y3，所以点N在定直线y3上证法二：由(1)知抛物线C1的方程为x212y，设M(m，3)，l2的斜率为k，A，那么以A为切点的切线l2的方程为yk(xx1)x，联立得，x212，因为144k248kx14x0，所以k，所以切线l2的方程为yx1(xx1)x.令x0，得B点坐标为，所以，所以(x12m,6)，所以(x1m,3)，其中O为坐标原点，设点N坐标为(x，y)，那么y3，所以点N在定直线y3上
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