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数列的概念与简单表示法
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一、选择题
1．数列0,1,0，－1,0,1,0，－1，…的一个通项公式an等于( )
A. B．cos
C．cosπ D．cosπ
D [令n＝1,2,3，…，逐一验证四个选项，易得D正确．]
2．若Sn为数列{an}的前n项和，且Sn＝，则等于( )
A. B.
C. D．30
D [当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－＝，所以＝5×6＝30.]
3．记Sn为数列{an}的前n项和．“任意正整数n，均有an>0”是“{Sn}是递增数列”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
A [∵“an>0”⇒“数列{Sn}是递增数列”，
∴“an>0”是“数列{Sn}是递增数列”的充分条件．
如数列{an}为－1,1,3,5,7,9，…，显然数列{Sn}是递增数列，但是an不一定大于零，还有可能小于零，
∴“数列{Sn}是递增数列”不能推出“an>0”，
∴“an>0”是“数列{Sn}是递增数列”的不必要条件．
∴“an>0”是“数列{Sn}是递增数列”的充分不必要条件．]
4．(2019·武汉5月模拟)数列{an}中，an＋1＝2an＋1，a1＝1，则a6＝( )
A．32 B．62
C．63 D．64
C [数列{an}中，an＋1＝2an＋1，故an＋1＋1＝2(an＋1)，
因为a1＝1，故a1＋1＝2≠0，故an＋1≠0，
所以＝2，所以{an＋1}为等比数列，首项为2，公比为2.
所以an＋1＝2n即an＝2n－1，故a6＝63，故选C.]
5．(2020·无锡模拟)数列{an}满足an＋1＝若a1＝，则a2 020＝( )
A. B. C. D.
D [由a1＝∈，得a2＝2a1－1＝∈，所以a3＝2a2＝∈，所以a4＝2a3＝∈，所以a5＝2a4－1＝＝a1.由此可知，该数列是一个周期为4的周期数列，所以a2 020＝a504×4＋4＝a4＝.故选D.]
二、填空题
6．已知数列，，，，，…，则5是它的第 项．
21 [数列，，，，，…中的各项可变形为，，，，，…，
所以通项公式为an＝＝，
令＝5，得n＝21.]
7．(2019·镇海模拟)已知数列{an}满足a1＝2，an＋1＝a(an＞0，n∈N*)，则数列{an}的通项公式an＝ .
22n－1 [对an＋1＝a两边取对数，得log2an＋1＝log2a＝2log2an.所以数列{log2an}是以log2a1＝1为首项，2为公比的等比数列，所以log2an＝2n－1，所以an＝22n－1.]
8．在一个数列中，如果∀n∈N*，都有anan＋1an＋2＝k(k为常数)，那么这个数列叫做等积数列，k叫做这个数列的公积．已知数列{an}是等积数列，且a1＝1，a2＝2，公积为8，则a1＋a2＋a3＋…＋a12＝ .
28 [∵a1a2a3＝8，且a1＝1，a2＝2.
∴a3＝4，同理可求a4＝1，a5＝2.
a6＝4，∴{an}是以3为周期的数列，
∴a1＋a2＋a3＋…＋a12＝(1＋2＋4)×4＝28.]
9．(2019·洛阳模拟)已知数列{an}满足a1＝50，
an＋1＝an＋2n(n∈N*)，
(1)求{an}的通项公式；
(2)已知数列{bn}的前n项和为an，若bm＝50，求正整数m的值．
[解](1)当n≥2时，
an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a3－a2)＋(a2－a1)＋a1
＝2(n－1)＋2(n－2)＋…＋2×2＋2×1＋50
＝2×＋50
＝n2－n＋50.
又a1＝50＝12－1＋50，
∴{an}的通项公式为an＝n2－n＋50，n∈N*.
(2)b1＝a1＝50，
当n≥2时，
bn＝an－an－1＝n2－n＋50－[(n－1)2－(n－1)＋50]＝2n－2，
即bn＝.
当m≥2时，令bm＝50，得2m－2＝50，解得m＝26.
又b1＝50，
∴正整数m的值为1或26.
10．设函数f(x)＝log2x－logx4(0＜x＜1)，数列{an}的通项公式an满足f(2an)＝2n(n∈N*)．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)判定数列{an}的单调性．
[解](1)因为f(x)＝log2x－logx4(0＜x＜1)，f(2an)＝2n(n∈N*) ，
所以f(2an)＝log22an－log2an4＝an－＝2n，
且0＜2an＜1，
解得an＜0.
所以an＝n－.
所以数列{an}的通项公式为an＝n－.
(2)因为＝＝＜1.
因为an＜0，所以an＋1＞an.
故数列{an}是递增数列．
1．已知数列{an}满足：a1＝1，an＋1＝(n∈N*)，若bn＋1＝(n－λ)，b1＝－λ，且数列{bn}是递增数列，则实数λ的取值范围是( )
A．(2，＋∞) B．(3，＋∞)
C．(－∞，2) D．(－∞，3)
C [由an＋1＝，知＝＋1，即＋1＝2，所以数列是首项为＋1＝2，公比为2的等比数列，所以＋1＝2n，所以bn＋1＝(n－λ)·2n，因为数列{bn}是递增数列，所以bn＋1－bn＝(n－λ)2n－(n－1－λ)2n－1＝(n＋1－λ)2n－1＞0对一切正整数n恒成立，所以λ＜n＋1，
因为n∈N*，所以λ＜2，故选C.]
2．(2019·临沂三模)意大利数学家列昂那多·斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”： 1,1,2,3,5,8,13,21,34,55，…即F(1)＝F(2)＝1，F(n)＝F(n－1)＋F(n－2)(n≥3，n∈N*)，此数列在现代物理“准晶体结构”、化学等都有着广泛的应用．若此数列被2整除后的余数构成一个新数列{an}，则数列{an}的前2 019项的和为( )
A．672 B．673
C．1 346 D．2 019
C [由数列1,1,2,3,5,8,13,21,34,55，…各项除以2的余数，可得{an}为1,1,0,1,1,0,1,1,0,1,1,0，…，所以{an}是周期为3的周期数列，
一个周期中三项和为1＋1＋0＝2，
因为2 019＝673×3，
所以数列{an}的前2 019项的和为673×2＝1 346，故选C.]
3．(2019·晋城三模)记数列{an}的前n项和为Sn，若Sn＝3an＋2n－3，则数列{an}的通项公式为an＝ .
an＝2－ [当n＝1时，S1＝a1＝3a1－1，解得a1＝；当n≥2时，Sn＝3an＋2n－3，
Sn－1＝3an－1＋2n－5，两式相减可得，
an＝3an－3an－1＋2，故an＝an－1－1，设an＋λ＝(an－1＋λ)，故λ＝－2，即an－2＝(an－1－2)，故＝.故数列{an－2}是以－为首项，为公比的等比数列，故an－2＝－·，故an＝2－.]
4．已知数列{an}中，a1＝1，其前n项和为Sn，且满足2Sn＝(n＋1)an(n∈N*)．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)记bn＝3n－λa，若数列{bn}为递增数列，求λ的取值范围．
[解](1)∵2Sn＝(n＋1)an，
∴2Sn＋1＝(n＋2)an＋1，
∴2an＋1＝(n＋2)an＋1－(n＋1)an，
即nan＋1＝(n＋1)an，∴＝，
∴＝＝…＝＝1，
∴an＝n(n∈N＋)．
(2)由(1)知bn＝3n－λn2.
bn＋1－bn＝3n＋1－λ(n＋1)2－(3n－λn2)
＝2·3n－λ(2n＋1)．
∵数列{bn}为递增数列，
∴2·3n－λ(2n＋1)>0，
即λ<.令cn＝，
即＝·＝>1.
∴{cn}为递增数列，
∴λ<c1＝2，
即λ的取值范围为(－∞，2)．
1．(2019·烟台、菏泽高考适应性练习一)已知数列：，，…，(k∈N*)，按照k从小到大的顺序排列在一起，构成一个新的数列{an}：1，，，，，，…，则首次出现时为数列{an}的( )
A．第44项 B．第76项
C．第128项 D．第144项
C [观察分子分母的和出现的规律：2,3,4,5，…，把数列重新分组：，，，…，，可看出第一次出现在第16组，因为1＋2＋3＋…＋15＝120，所以前15组一共有120项；第16组的项为，所以是这一组中的第8项，故第一次出现在数列的第128项，故选C.]
2．已知二次函数f(x)＝x2－ax＋a(a＞0，x∈R)有且只有一个零点，数列{an}的前n项和Sn＝f(n)(n∈N*)．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设cn＝1－(n∈N*)，定义所有满足cm·cm＋1＜0的正整数m的个数，称为这个数列{cn}的变号数，求数列{cn}的变号数．
[解](1)依题意，Δ＝a2－4a＝0，
所以a＝0或a＝4.
又由a＞0得a＝4，
所以f(x)＝x2－4x＋4.
所以Sn＝n2－4n＋4.
当n＝1时，a1＝S1＝1－4＋4＝1；
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n－5.
所以an＝
(2)由题意得cn＝
由cn＝1－可知，当n≥5时，恒有cn＞0.
又c1＝－3，c2＝5，c3＝－3，c4＝－，c5＝，c6＝，
即c1·c2＜0，c2·c3＜0，c4·c5＜0，
所以数列{cn}的变号数为3.
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