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小题分类练(五) 创新迁移类
一、选择题
1．定义运算＝ad－bc，则符合条件＝0的复数z对应的点在( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
2．若x∈A，则∈A，就称A是伙伴关系集合，集合M＝的所有非空子集中具有伙伴关系的集合的个数是( )
A．1 B．3
C．7 D．31
3．对于非零向量m，n，定义运算“*”：m*n＝|m||n|sin θ，其中θ为m，n的夹角，有两两不共线的三个向量a，b，c，下列结论正确的是( )
A．若a*b＝a*c，则b＝c B．(a*b)c＝a(b*c)
C．a*b＝(－a)*b D．(a＋b)*c＝a*c＋b*c
4．若一系列函数的解析式相同，值域相同，但其定义域不同，则称这些函数为“同族函数”，那么函数解析式为y＝x2，值域为{1，4}的“同族函数”的个数为( )
A．7 B．8
C．9 D．10
5．定义函数max{f(x)，g(x)}＝则max{sin x，cos x}的最小值为( )
A．－ B.
C．－ D.
6．若定义在R上的奇函数f(x)满足对任意的x1，x2∈R，且x1≠x2，都有>0，则称该函数为满足约束条件K的一个“K函数”．下列为“K函数”的是( )
A．f(x)＝x＋1 B．f(x)＝－x3
C．f(x)＝ D．f(x)＝x|x|
7．我们常用以下方法求形如函数y＝f(x)g(x)(f(x)＞0)的导数：先两边同取自然对数ln y＝g(x)lnf(x)，再两边同时求导得到·y′＝g′(x)lnf(x)＋g(x)··f′(x)，于是得到y′＝f(x)g(x)[g′(x)lnf(x)＋g(x)··f′(x)]，运用此方法求得函数y＝x(x＞0)的一个单调递增区间是( )
A．(e，4) B．(3，6)
C．(0，e) D．(2，3)
8．已知点M(－1，0)和N(1，0)，若某直线上存在点P，使得|PM|＋|PN|＝4，则称该直线为“椭型直线”，现有下列直线：
①x－2y＋6＝0；②x－y＝0；③2x－y＋1＝0；④x＋y－3＝0.
其中是“椭型直线”的是( )
A．①③ B．①②
C．②③ D．③④
9．已知三棱锥OABC，OA，OB，OC两两垂直，且OA＝OB＝，OC＝1，P是△ABC内任意一点，设OP与平面ABC所成的角为x，OP＝y，则y关于x的函数的图象为( )
10．若非零向量a，b的夹角为锐角θ，且＝cos θ，则称a被b“同余”．已知b被a“同余”，则a－b在a上的投影是( )
A. B.
C. D.
11．(多选)设函数f(x)的定义域为D，若对任意x∈D，存在y∈D，使得f(y)＝－f(x)成立，则称函数f(x)为“美丽函数”．下列所给出的函数，其中是“美丽函数”的是( )
A．y＝x2 B．y＝
C．f(x)＝ln(2x＋3) D．y＝2x＋3
12．(多选)若数列{an}满足：对任意的n∈N*且n≥3，总存在i，j∈N*，使得an＝ai＋aj(i≠j，i＜n，j＜n)，则称数列{an}是“T数列”．则下列数列是“T数列”的为( )
A．{2n} B．{n2}
C．{3n} D.
13．(多选)定义点P(x0，y0)到直线l：ax＋by＋c＝0(a2＋b2≠0)的有向距离为d＝.已知点P1，P2到直线l的有向距离分别是d1，d2.以下命题不正确的是( )
A．若d1＝d2＝1，则直线P1P2与直线l平行
B．若d1＝1，d2＝－1，则直线P1P2与直线l垂直
C．若d1＋d2＝0，则直线P1P2与直线l垂直
D．若d1·d2≤0，则直线P1P2与直线l相交
二、填空题
14．若无穷数列{an}满足：只要ap＝aq(p，q∈N*)，必有ap＋1＝aq＋1，则称{an}具有性质P.若{an}具有性质P，且a1＝1，a2＝2，a4＝3，a5＝2，a6＋a7＋a8＝21，则a3的值为________．
15．定义一种运算“※”，对于任意n∈N*均满足以下运算性质：(1)2※2 017＝1；(2)(2n＋2)※2 017＝(2n)※2 017＋3.则2 018※2 017＝____________．
16．我们把平面内与直线垂直的非零向量称为直线的法向量，在平面直角坐标系中，利用求动点轨迹方程的方法，可以求出过点A(－2，3)且法向量为n＝(4，－1)的直线(点法式)方程为4×(x＋2)＋(－1)×(y－3)＝0，化简得4x－y＋11＝0.类比以上方法，在空间直角坐标系中，经过点B(1，2，3)且法向量为m＝(－1，－2，1)的平面的(点法式)方程为____________．
17．定义方程f(x)＝f′(x)的实数根x0叫作函数f(x)的“新驻点”．
(1)设f(x)＝cos x，则f(x)在(0，π)上的“新驻点”为________；
(2)如果函数g(x)＝x与h(x)＝ln(x＋1)的“新驻点”分别为α，β，那么α和β的大小关系是________．
小题分类练(五) 创新迁移类
1．解析：选A.由题知＝z－2(1＋i)＝0，解得z＝2＋2i.
所以复数z对应的点(2，2)位于第一象限．故选A.
2．解析：选B.具有伙伴关系的元素组是－1和，2，所以具有伙伴关系的集合有3个：{－1}，，.
3．解析：选C.a，b，c为两两不共线的向量，则a，b，c为非零向量，故A不正确；设a，b夹角为θ，b，c夹角为α，则(a*b)c＝|a||b|·sin θ·c，a(b*c)＝|b||c|sin α·a，故B不正确；a*b＝|a||b|·sin θ＝|－a||b|·sin(π－θ)＝(－a)*b，故C正确，D不正确．
4．解析：选C.函数解析式为y＝x2，值域为{1，4}，当x＝±1时，y＝1；当x＝±2时，y＝4.则定义域可以为{1，2}，{1，－2}，{－1，2}，{－1，－2}，{1，－1，2}，{1，－1，－2}，{－1，2，－2}，{1，－2，2}，{1，－1，2，－2}，因此“同族函数”共有9个．故选C.
5．解析：选C.画出f(x)＝sin x和g(x)＝cos x的图象(图略)，由图象易知所求最小值为－.
6．解析：选D.选项A中，函数f(x)＝x＋1不是奇函数，故选项A中的函数不是“K函数”．
选项C中，函数f(x)＝的定义域不是R，故选项C中的函数不是“K函数”．
已知定义在R上的奇函数f(x)满足对任意的x1，x2∈R，且x1≠x2，都有>0，等价于奇函数f(x)在R上单调递增．选项B中，函数f(x)＝－x3在R上单调递减，故选项B中的函数不是“K函数”．
选项D中，函数f(x)＝x|x|＝在R上单调递增且为奇函数，故选项D中的函数是“K函数”．故选D.
7．解析：选C.由题意知f(x)＝x，g(x)＝，则f′(x)＝1，g′(x)＝－，所以y′＝x·＝x·，由y′＝x·＞0得1－ln x＞0，解得0＜x＜e，即单调递增区间为(0，e)，故选C.
8．解析：选C.由椭圆的定义知，点P的轨迹是以M，N为焦点的椭圆，其方程为＋＝1.对于①，把x－2y＋6＝0代入＋＝1，整理得2y2－9y＋12＝0，由Δ＝(－9)2－4×2×12＝－15＜0，知x－2y＋6＝0不是“椭型直线”；对于②，把y＝x代入＋＝1，整理得x2＝，所以x－y＝0是“椭型直线”；对于③，把2x－y＋1＝0代入＋＝1，整理得19x2＋16x－8＝0，由Δ＝162－4×19×(－8)＞0，知2x－y＋1＝0是“椭型直线”；对于④，把x＋y－3＝0代入＋＝1，整理得7x2－24x＋24＝0，由Δ＝(－24)2－4×7×24＜0，知x＋y－3＝0不是“椭型直线”．故②③是“椭型直线”．
9．解析：选B.设点O在平面ABC内的射影为O′，连接OO′，OP，O′P，根据等体积思想得OO′＝＝.因为∠OO′P＝，所以OP＝，即y＝.易知当点P在点A或点B位置时，x取得最小值，排除选项C，D.又在上，函数y＝单调递减且其图象为光滑曲线，所以排除选项A.故选B.
10．解析：选A.因为b被a“同余”，所以＝cos θ(θ为a与b的夹角)，所以|b|＝|a|cos θ，所以b·(a－b)＝b·a－b2＝|b|·|a|·cos θ－b2＝0，所以b⊥(a－b)．易知a－b与a的夹角为－θ，则a·(a－b)＝|a|·|a－b|cos＝|a|·|a－b|·sin θ.
又a·(a－b)＝a2－a·b＝a2－|a|·|b|cos θ＝a2－b2，
所以|a|2－|b|2＝|a|·|a－b|sin θ，
所以a－b在a上的投影是|a－b|cos
＝|a－b|sin θ＝，故选A.
11．解析：选BCD.因为若对任意x∈D，存在y∈D.使得f(y)＝－f(x)成立，所以只需f(x)的值域关于原点对称．
A中函数y＝x2的值域为[0，＋∞)．不关于原点对称．不符合；
B中函数y＝的值域为{y|y≠0}，关于原点对称．符合；
C中函数f(x)＝ln(2x＋3)的值域为R，关于原点对称．符合；
D中函数y＝2x＋3的值域为R.关于原点对称．符合．
12．解析：选AD.令an＝2n，则an＝a1＋an－1(n≥3)，所以数列{2n}是“T数列”；令an＝n2，则a1＝1，a2＝4，a3＝9，所以a3≠a1＋a2，所以数列{n2}不是“T数列”；令an＝3n，则a1＝3，a2＝9，a3＝27，所以a3≠a1＋a2，所以数列{3n}不是“T数列”；令an＝，则an＝＋＝an－1＋an－2(n≥3)，所以数列是“T数列”．故选AD.
13．解析：选BCD.对于A，若d1＝d2＝1，则ax1＋by1＋c＝ax2＋by2＋c＝，直线P1P2与直线l平行，正确；
对于B，点P1，P2在直线l的两侧且到直线l的距离相等，P1P未必与l垂直，错误；
对于C，若d1＝d2＝0，即ax1＋by1＋c＝ax2＋by2＋c＝0，则点P1，P2都在直线l上，所以此时直线P1P2与直线l重合，错误；
对于D，若d1·d2≤0，即(ax1＋by1＋c)(ax2＋by2＋c)≤0，所以点P1，P2分别位于直线l的两侧或在直线l上，所以直线P1P2与直线l相交或重合，错误．
14．解析：因为a5＝a2，所以a6＝a3，a7＝a4＝3，a8＝a5＝2.于是a6＋a7＋a8＝a3＋3＋2，又a6＋a7＋a8＝21，所以a3＝16.
答案：16
15．解析：设an＝(2n)※2 017，则由运算性质(1)知a1＝1，由运算性质(2)知an＋1＝an＋3，即an＋1－an＝3.
于是，数列{an}是等差数列，且首项为1，公差为3.
故2 018※2 017＝(2×1 009)※2 017＝a1 009＝1＋1 008×3＝3 025.
答案：3 025
16．解析：由题意可设Q(x，y，z)为所求平面内的任一点，则根据⊥m，得·m＝0，所以(－1)×(x－1)＋(－2)×(y－2)＋1×(z－3)＝0，化简得x＋2y－z－2＝0.故所求平面的方程为x＋2y－z－2＝0.
答案：x＋2y－z－2＝0
17．解析：(1)根据题意，f(x)＝cos x，其导数f′(x)＝－sin x，若f(x)＝f′(x)，即cos x＝－sin x，则有tan x＝－1.又由x∈(0，π)得x＝，即f(x)在(0，π)上的“新驻点”为.
(2)函数g(x)＝x，其导数g′(x)＝1，由g(x)＝g′(x)，得x＝1，则函数g(x)＝x的“新驻点”α＝1，h(x)＝ln(x＋1)，则h′(x)＝，h(x)＝h′(x)，即ln(x＋1)＝，h(x)＝ln(x＋1)的“新驻点”为β，则有ln(β＋1)＝，令β＋1＝t，所以t∈(0，＋∞)，令g(t)＝ln t－，则g′(t)＝＋＞0，所以g(t)在(0，＋∞)上单调递增，g(1)＝－1，g(2)＝ln 2－＝ln ＞0，所以当g(t)＝0时，t∈(1，2)，所以0＜β＜1，则有α＞β.
答案：(1) (2)α＞β
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