资源描述
考点十九 统计与统计案例
一、选择题
1．对四组数据进行统计，获得如下图的散点图，关于其相关系数的比拟，正确的选项是( )
A．r2<r4<0<r3<r1 B．r4<r2<0<r1<r3
C．r4<r2<0<r3<r1 D．r2<r4<0<r1<r3
答案 A
解析 易知题中图(1)和图(3)是正相关，图(2)与图(4)是负相关，且图(1)与图(2)中的样本点集中分布在一条直线附近，那么r2<r4<0<r3<r1.
2．(2022·全国卷Ⅱ)演讲比赛共有9位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从9个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到7个有效评分.7个有效评分与9个原始评分相比，不变的数字特征是( )
A．中位数 B．平均数 C．方差 D．极差
答案 A
解析 中位数是将9个数据从小到大或从大到小排列后，处于中间位置的数据，因而去掉1个最高分和1个最低分，不变的是中位数，平均数、方差、极差均受影响．应选A.
3．(2022·南阳市一中第九次目标考试)为考察A，B两种药物预防某疾病的效果，进行动物实验，分别得到如下等高条形图．根据图中信息，在以下各项中，说法最正确的一项为哪一项( )
A．药物B的预防效果优于药物A的预防效果
B．药物A的预防效果优于药物B的预防效果
C．药物A，B对该疾病均有显著的预防效果
D．药物A，B对该疾病均没有预防效果
答案 B
解析 由题图可得服用药物A的患病人数少于服用药物B的患病人数，而服用药物A的未患病人数多于服用药物B的未患病人数，所以药物A的预防效果优于药物B的预防效果．应选B.
4．(2022·沈阳市东北育才学校高三一模)甲、乙两名同学6次考试的成绩统计如图，甲、乙两名同学成绩的平均数分别为甲、乙，标准差分别为σ甲，σ乙，那么( )
A.甲<乙，σ甲<σ乙 B.甲<乙，σ甲>σ乙
C.甲>乙，σ甲<σ乙 D.甲>乙，σ甲>σ乙
答案 C
解析 甲、乙两名同学6次考试的成绩统计如图，
甲、乙两名同学成绩的平均数分别为甲，乙，标准差分别为σ甲，σ乙，由折线图得甲>乙，σ甲<σ乙．应选C.
5．(2022·湖南张家界三模)变量x，y之间的线性回归方程为y＝－0.7x＋10.3，且变量x，y之间的一组相关数据如表所示，那么以下说法错误的选项是( )
x
6
8
10
12
y
6
m
3
2
A．变量x，y之间呈现负相关关系
B．可以预测，当x＝20时，y＝－3.7
C．m＝4
D．由表格数据可知，该回归直线必过点(9,4)
答案 C
解析 由题意得，由－0.7<0，得变量x，y之间呈负相关，故A正确；当x＝20时，那么＝－0.7×20＋10.3＝－3.7，故B正确；由数据表格可知＝×(6＋8＋10＋12)＝9，＝×(6＋m＋3＋2)＝，那么＝－0.7×9＋10.3，解得m＝5，故C错误；由数据表易知，数据中心为(9,4)，故D正确．应选C.
6．通过随机询问110名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表：
男
女
总计
爱好
40
20
60
不爱好
20
30
50
总计
60
50
110
由K2＝算得，
K2＝≈7.8.
附表：
P(K2≥k0)
0.050
0.010
0.001
k0
3.841
6.635
10.828
参照附表，得到的正确结论是( )
A．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关〞
B．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关〞
C．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关〞
D．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关〞
答案 A
解析 由K2≈7.8>6.635可知，我们有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关〞．
7．(2022·湖南师大附中月考七)以下说法错误的选项是( )
A．在回归模型中，预报变量y的值不能由解释变量x唯一确定
B．假设变量x，y满足关系y＝－0.1x＋1，且变量y与z正相关，那么x与z也正相关
C．在残差图中，残差点分布的带状区域的宽度越狭窄，其模型拟合的精度越高
D．以模型y＝cekx去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设z＝ln y，将其变换后得到线性方程z＝0.3x＋4，那么c＝e4，k＝0.3
答案 B
解析 对于A，y除了受自变量x的影响之外还受其他因素的影响，故A正确；对于B，变量x，y满足关系y＝－0.1x＋1，那么变量x与y负相关，又变量y与z正相关，那么x与z负相关，故B错误；对于C，由残差图的意义可知正确；对于D，∵y＝cekx，∴两边取对数，可得ln y＝ln (cekx)＝ln c＋ln ekx＝ln c＋kx，令z＝ln y，可得z＝ln c＋kx，∵z＝0.3x＋4，
∴ln c＝4，k＝0.3，∴c＝e4.即D正确，应选B.
8．(2022·福建泉州第二次质检)某样本的容量为50，平均数为70，方差为75.现发现在收集这些数据时，其中的两个数据记录有误，一个错将80记录为60，另一个错将70记录为90.在对错误的数据进行更正后，重新求得样本的平均数为，方差为s2，那么( )
A.＝70，s2<75 B.＝70，s2>75
C.>70，s2<75 D.<70，s2>75
答案 A
解析 ＝＝70，
设收集的48个准确数据分别记为x1，x2，…，x48，
那么75＝[(x1－70)2＋(x2－70)2＋…＋(x48－70)2＋(60－70)2＋(90－70)2]＝[(x1－70)2＋(x2－70)2＋…＋(x48－70)2＋500]，
s2＝[(x1－70)2＋(x2－70)2＋…＋(x48－70)2＋(80－70)2＋(70－70)2]
＝[(x1－70)2＋(x2－70)2＋…＋(x48－70)2＋100]<75，应选A.
二、填空题
9．某同学一个学期内各次数学测验成绩的茎叶图如下图，那么该组数据的中位数是________．
答案 83
解析 根据茎叶图可知，中位数是82与84的平均数，所以答案为83.
10．总体由编号为01,02，…，19,20的个体组成，利用下面的随机数表选取7个个体，选取方法是从随机数表第1行的第3列和第4列数字开始由左到右依次选取两个数，那么选出的第7个个体的编号为________．
7816 6572 0802 6314 0702 4369 9728 0198
3204 9234 4935 8200 8623 4869 6938 7481
答案 04
解析 由随机数表可看出所选的数字依次为16,08,02,14,07,02,01,04，去掉重复数字02，那么第7个个体的编号为04，故答案为04.
11．(2022·河南新乡三模)某校有高一学生n名，其中男生数与女生数之比为6∶5，为了解学生的视力情况，现要求按分层抽样的方法抽取一个样本容量为的样本，假设样本中男生比女生多12人，那么n＝________.
答案 1320
解析 依题意可得×＝12，解得n＝1320.
12．(2022·河南安阳十一模)通常，总分值为100分的试卷，60分为及格线，假设某次总分值为100分的测试卷，100人参加测试，将这100人的卷面分数按照[24,36)，[36,48)，…，[84,96]分组后绘制的频率分布直方图如下图．由于及格人数较少，某老师准备将每位学生的卷面分采用“开方乘以10取整〞的方式进行换算以提高及格率(实数a的取整等于不超过a的最大整数)，如：某位学生卷面49分，那么换算成70分作为他的最终考试成绩，那么按照这种方式，这次测试的及格率将变为________．
答案 0.82
解析 先考虑不进行换算前36分以上(含36分)的学生的频率，该频率为1－0.015×12＝0.82，换算后，原来36分以上(含36分)的学生都算及格，故这次测试的及格率将变为0.82.
三、解答题
13．(2022·内蒙古一模)在某外国语学校举行的HIMCM(高中生数学建模大赛)中，参与大赛的女生与男生人数之比为1∶3，且成绩分布在[40,100]，分数在80以上(含80)的同学获奖．按女生、男生用分层抽样的方法抽取200人的成绩作为样本，得到成绩的频率分布直方图如下图．
(1)求a的值，并计算所抽取样本的平均值(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；
(2)填写下面的2×2列联表，并判断在犯错误的概率不超过0.05的前提下能否认为“获奖与女生、男生有关〞．
女生
男生
总计
获奖
5
不获奖
总计
200
附表及公式：
P(K2≥k0)
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
k0
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
其中K2＝，n＝a＋b＋c＋d.
解 (1)a＝×[1－(0.01＋0.015＋0.03＋0.015＋0.005)×10]＝0.025，
＝45×0.1＋55×0.15＋65×0.25＋75×0.3＋85×0.15＋95×0.05＝69.
(2)由频率分布直方图知样本中获奖的人数为40，不获奖的人数为160，
2×2列联表如下：
女生
男生
总计
获奖
5
35
40
不获奖
45
115
160
总计
50
150
200
因为K2＝≈4.167>3.841，所以在犯错误的概率不超过0.05的前提下能认为“获奖与女生、男生有关．〞
14．(2022·聊城市高三一模)某小学为了了解四年级学生的家庭作业用时情况，从本校四年级随机抽取了一批学生进行调查，并绘制了学生作业用时的频率分布直方图，如下图．
(1)估算这批学生的作业平均用时情况；
(2)作业用时不能完全反映学生学业负担情况，这与学生自身的学习习惯有很大关系，如果用时四十分钟之内评价为优异，一个小时以上为一般，其他评价为良好．现从优异和良好的学生里面用分层抽样的方法抽取300人，其中女生有90人(优异20人)．请完成列联表，并根据列联表分析能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为学习习惯与性别有关系？
男生
女生
合计
良好
优异
合计
附：K2＝，其中n＝a＋b＋c＋d.
P(K2≥k0)
0.100
0.050
0.025
0.010
0.001
k0
2.706
3.841
5.024
6.635
10.828
解 (1)＝10×(35×0.01＋45×0.02＋55×0.03＋65×0.025＋75×0.01＋85×0.005)＝57.
所以批学生作业用时的平均数为57.
(2)优异学生数与良好学生数之比为0.01∶(0.02＋0.03)＝1∶5，
按照分层抽样得300人中优异50人，良好250人；女生90人，男生210人；女生优异20，良好70人，男生优异30人，良好180人，
列联表如下：
男生
女生
合计
良好
180
70
250
优异
30
20
50
合计
210
90
300
K2＝≈2.857<3.841，
故不能在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为学习习惯与性别有关系．
一、选择题
1．在一次数学测试中，数学老师对班上7名同学在20题(12分)，21题(12分)的得分情况进行统计，得到的得分率如下图，其中20题的得分率为图中虚线局部、21题的得分率为图中实线局部，记第20题、21题的平均得分分别为1，2，第20题、21题得分的标准差分别为s1，s2，那么( )
A.1>2，s1>s2 B.1<2，s1>s2
C.1>2，s1<s2 D.1<2，s1<s2
答案 C
解析 由于20题、21题的分值相同，且20题的得分率高于21题的得分率，那么20题的得分高于21题的得分；又由图可知，21题的得分率离散程度相对较大，那么21题得分的标准差大于20题得分的标准差，故1>2，s1<s2，应选C.
2．采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查，为此将他们随机编号为1,2，…，960，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9.抽到的32人中，编号落入[1,450]的人做问卷A，编号落入[451,750]的人做问卷B，其余的人做问卷C，那么抽到的人中，做问卷B的人数为( )
A．8 B．10 C．12 D．14
答案 B
解析 由题意得系统抽样的抽样间隔为＝30，又因为第一组内抽取的号码为9，那么由451≤9＋30k≤750(k∈N*)得14.7≤k≤24.7，所以做问卷B的人数为10.
3．一个频率分布表(样本容量为30)不小心被损坏了一局部，只记得样本中数据在[20,60)上的频率为0.8，那么估计样本在[40,50)，[50,60)内的数据个数共为( )
A．19 B．17 C．16 D．15
答案 D
解析 由题意得样本数据在[20,60)内的频数为30×0.8＝24，那么样本在[40,50)和[50,60)内的数据个数之和为24－4－5＝15，应选D.
4．为了解学生在课外活动方面的支出情况，抽取了n个同学进行调查，结果显示这些学生的支出金额(单位：元)都在[10,50]，其中支出金额在[30,50]的学生有117人，频率分布直方图如下图，那么n＝( )
A．180 B．160 C．150 D．200
答案 A
解析 [30,50]对应的概率为1－(0.01＋0.025)×10＝0.65，所以n＝＝180.
5．x与y之间的几组数据如下表：
x
1
2
3
4
5
6
y
0
2
1
3
3
4
假设根据上表数据所得线性回归方程为＝x＋，假设某同学根据上表中的前两组数据(1,0)和(2,2)，求得的直线方程为y＝b′x＋a′，那么以下结论正确的选项是( )
A.>b′，>a′ B.>b′，<a′
C.<b′，>a′ D.<b′，<a′
答案 C
解析 描出散点图，易观察出<b′，>a′，应选C.
6．(2022·四川乐山第三次调研)某调查机构对全国互联网行业进行调查统计，得到整个互联网行业从业者年龄分布饼状图、90后从事互联网行业岗位分布条形图，那么以下结论中不一定正确的选项是( )
注：90后指1990年及以后出生，80后指1980～1989年之间出生，80前指1979年及以前出生．
A．互联网行业从业人员中90后占一半以上
B．互联网行业中从事技术岗位的人数超过总人数的20%
C．互联网行业中从事运营岗位的人数90后比80前多
D．互联网行业中从事技术岗位的人数90后比80后多
答案 D
解析 对于选项A，互联网行业从业人员中90后占56%，占一半以上，所以正确；对于选项B，互联网行业中90后从事技术岗位的人数占总人数的39.6%×56%＝22.176%，超过总人数的20%，所以正确；对于选项C，互联网行业中从事运营岗位的人数90后占总人数的56%×17%＝9.52%，比80前多，所以正确；对于选项D，互联网行业中从事运营岗位的人数90后占总人数的56%×17%＝9.52%,80后占总人数的41%，所以互联网行业中从事运营岗位的人数90后不一定比80后多，所以不一定正确，应选D.
7．针对“中学生追星问题〞，某校团委对“学生性别和中学生追星是否有关〞作了一次调查，其中女生人数是男生人数的，男生追星的人数占男生人数的，女生追星的人数占女生人数的.假设有95%的把握认为是否追星和性别有关，那么男生至少有( )
A．11人 B．12人 C．18人 D．24人
附表及公式：K2＝，n＝a＋b＋c＋d.
P(K2≥k0)
0.050
0.025
0.010
0.005
k0
3.841
5.024
6.635
7.879
答案 B
解析 设男生人数为x，依题意可得列联表如下：
喜欢追星
不喜欢追星
总计
男生
x
女生
总计
x
假设在犯错误的概率不超过95%的前提下认为是否喜欢追星和性别有关，那么K2>3.841，由K2＝＝>3.841，解得x>10.24，∵，为整数，∴假设在犯错误的概率不超过95%的前提下认为是否喜欢追星和性别有关，那么男生至少有12人，应选B.
8．(2022·江西南昌一模)具有线性相关的五个样本点A1(0,0)，A2(2,2)，A3(3,2)，A4(4,2)，A5(6,4)，用最小二乘法得到回归直线方程l1：y＝bx＋a，过点A1，A2的直线方程l2：y＝mx＋n，那么以下四个命题中：
①m>b，a>n；②直线l1过点A3；③ (yi－bxi－a)2≥ (yi－mxi－n)2；④|yi－bxi－a|≥|yi－mxi－n|.
正确命题有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
答案 B
解析 由所给的数据计算可得＝3，＝2，回归方程为y＝0.6x＋0.2，过点A1，A2的直线方程为y＝x，逐一考查所给的结论：①m>b，a>n，该说法正确；②直线l1过点A3即回归方程过样本中心点，该说法正确；③ (yi－bxi－a)2＝0.8， (yi－mxi－n)2＝9，说法错误；④|yi－bxi－a|＝1.6，|yi－mxi－n|＝5，说法错误，综上可得正确命题的个数有2个，应选B.
二、填空题
9．空气质量指数(Air Quality Index，简称AQI)是定量描述空气质量状况的指数，空气质量按照AQI大小分为六级，0～50为优；51～100为良；101～150为轻度污染；151～200为中度污染；201～300为重度污染；大于300为严重污染．一环保人士从当地某年的AQI记录数据中，随机抽取10个，用茎叶图记录如图．根据该统计数据，估计此地该年AQI大于100的天数为________．(该年为365天)
答案 146
解析 该样本中AQI大于100的频数为4，频率为，以此估计此地全年AQI大于100的频率为，故此地该年AQI大于100的天数约为365×＝146.
10．某数学老师身高176 cm，他爷爷、父亲和儿子的身高分别是173 cm、170 cm和182 cm.因儿子的身高与父亲的身高有关，该老师用线性回归分析的方法预测他孙子的身高为________cm.
答案 185
解析 设父亲身高为x cm，儿子身高为y cm，那么
x
173
170
176
y
170
176
182
＝173，＝176，＝＝1，＝－ ＝176－1×173＝3，所以＝x＋3，当x＝182时，＝185.
11．甲、乙两人要竞争一次大型体育竞技比赛射击工程的参赛资格，如图是在测试中甲、乙各射靶10次的条形图，那么参加比赛的最正确人选为________．
答案 乙
解析 甲的平均数1＝4×0.2＋5×0.1＋7×0.3＋8×0.1＋9×0.2＋10×0.1＝7.0，乙的平均数2＝5×0.1＋6×0.2＋7×0.4＋8×0.2＋9×0.1＝7.0，所以1＝2；甲的方差s＝×[(7－4)2×2＋(7－5)2×1＋(7－7)2×3＋(7－8)2×1＋(7－9)2×2＋(7－10)2×1]＝4，乙的方差s＝×[(7－5)2×1＋(7－6)2×2＋(7－7)2×4＋(7－8)2×2＋(7－9)2×1]＝1.2，所以s>s，即参加比赛的最正确人选为乙．
12．某学校开展一次“五·四〞知识竞赛活动，共有三个问题，其中第1、2题总分值都是15分，第3题总分值是20分．每个问题或者得总分值，或者得0分．活动结果显示，每个参赛选手至少答对一道题，有6名选手只答对其中一道题，有12名选手只答对其中两道题．答对第1题的人数与答对第2题的人数之和为26，答对第1题的人数与答对第3题的人数之和为24，答对第2题的人数与答对第3题的人数之和为22.那么参赛选手中三道题全答对的人数是________；所有参赛选手得分的平均数是________．
答案 2 29.5
解析 设x1，x2，x3分别表示答对第1题、第2题、第3题的人数，那么有解得x1＝14，x2＝12，x3＝10，又只答对一道题的人数为6，只答对两道题的人数为12，设答对三道题的人数为x，那么全班人数为6＋12＋x，∴6×1＋12×2＋3x＝36，解得x＝2，∴三道题全答对的人数是2，所有参赛选手得分的平均数是＝×(14×15＋12×15＋10×20)＝29.5.
三、解答题
13．(2022·长沙一模)某互联网公司为了确定下一季度的前期广告投入方案，收集了近6个月广告投入量x(单位：万元)和收益y(单位：万元)的数据如下表：
月份
1
2
3
4
5
6
广告投入量/万元
2
4
6
8
10
12
收益/万元
14.21
20.31
31.8
31.18
37.83
44.67
他们用两种模型①y＝bx＋a，②y＝aebx分别进行拟合，得到相应的回归方程并进行残差分析，得到如下图的残差图及一些统计量的值：
xiyi
x
7
30
1464.24
364
(1)根据残差图，比拟模型①，②的拟合效果，应选择哪个模型？并说明理由；
(2)残差绝对值大于2的数据被认为是异常数据，需要剔除：
(ⅰ)剔除异常数据后，求出(1)中所选模型的回归方程；
(ⅱ)广告投入量x＝18时，(1)中所选模型收益的预报值是多少？
附：对于一组数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，其回归直线＝x＋的斜率和截距的最小二乘估计分别为：＝＝，＝－ .
解 (1)应该选择模型①，因为模型①的残差点比拟均匀地落在水平的带状区域中，且模型①的带状区域比模型②的带状区域窄，所以模型①的拟合精度高，回归方程的预报精度高．
(2)(ⅰ)剔除异常数据，即3月份的数据后，得
＝×(7×6－6)＝7.2，
＝×(30×6－31.8)＝29.64.
xiyi＝1464.24－6×31.8＝1273.44，
x＝364－62＝328.
＝＝＝＝3，
＝－ ＝29.64－3×7.2＝8.04.
所以y关于x的回归方程为＝3x＋8.04.
(ⅱ)把x＝18代入(ⅰ)中所求回归方程得＝3×18＋8.04＝62.04，
故预报值为62.04万元．
14．(2022·云南省第二次高三统一检测)在某市创立全国文明城市的过程中，创文专家组对该市的中小学进行了抽检，其中抽检的一个环节是对学校的教师和学生分别进行问卷测评．下表是被抽检到的五所学校A，B，C，D，E的教师和学生的测评成绩(单位：分)：
学校
A
B
C
D
E
教师测评成绩x
90
92
93
94
96
学生测评成绩y
87
89
89
92
93
(1)建立y关于x的回归方程＝x＋；
(2)现从A，B，C，D，E这五所学校中随机选两所派代表参加座谈，求A，B两所学校至少有一所被选到的概率P.
附：＝，＝－ .
解 (1)依据题意计算得
＝＝93，
＝＝90，
(xi－)2＝(－3)2＋(－1)2＋02＋12＋32＝20，
(xi－)(yi－)＝(－3)×(－3)＋(－1)×(－1)＋0×(－1)＋1×2＋3×3＝21，
＝＝，
＝－ ＝90－×93＝－.
∴所求回归方程为＝x－.
(2)从A，B，C，D，E这5所学校中随机选2所，具体情况为(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，E)，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(C，D)，(C，E)，(D，E)，共有10种等可能的结果．
A，B两所学校至少有一所被选到的为(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，E)，(B，C)，(B，D)，(B，E)，共有7种．
所以A，B两所学校至少有一所被选到的概率P＝.
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