2022年高考新课标-卷文科数学压轴题多解探析-刘春红(1).docx

2021 年高考新课标卷文科数学压轴题多解探析刘春红1 高成龙2(1.天津市第七中学天津300143;2.天津外国语学校天津300143)摘 要: 证明不等式的方法灵活多样，既可以从函数角度进行分析，也可以以几何背景入手探究 . 本文对于 2019 年高考新课标卷文科数学压轴题中的不等式题目，先给出命题组所提供的参考答案，然后给出本题多视角下的求证 思路关键词: 函数; 不等式; 几何背景1 真题再现题目(2019年新课标卷文)设x，y，z，且x+y+z=1( 1) 求( x 1) 2 + ( y + 1) 2 + ( z + 1) 2的最小值;(2)若(x2)2+(y1)2+(za)21成立，证3明:a3或a1分析 本题考查的内容是选修 4 5中不等式选讲部分，考点是常见的均值不等式和柯西不等式等 采用分析法思考，若想得到题中不等式的最值，应先变形凑成柯西不等式的结构特征，再根据已知条件添上和为常数的各项，最后再由公式得出结论，重点考查学生的化简运算能力和推理能力解得a3或a12 第( 1) 问思路探析2. 1利用基本不等式证明基本不等式在高考中占有非常重要的地位，特别是求代数式和的最小值时应用较广 使用的关键是要根据式子的特征灵活变形，配凑出符合题意要求的形式. 在教材习题中，我们常见的题目是已知 x + y + z 为定值，然后求 x2 + y2 + z2的范围. 因此本问可以将x1，y+1，z+1看作一个整体，分别记作x1，y1，z1，这样一来就转化为我们比较熟悉的问题，再利用基本不等式求解即可解法1令x1=x1，y1=y+1，z1=z+1，则由x+y+z=1得x1+y1+z1=2解析(1)x，y，z，且x+y+z=1，由柯西不因 为 x2 + y2 2x y ，y2 + z2 2y z ，x2+ z2等式 得，( 12 + 12 + 12) ( x 1) 2 + ( y + 1) 2 [phone](z+1)2(x1+y+1+z+1)2=4所以( x 1) 2 + ( y + 1) 2 + ( z + 1) 24 2x1z1，所以x1+y1+z1x1y1+y1z1+x1z1因为 x1 + y1 + z1 = 2，所以 x2 + y2 + z2 + 2x y + 2y z + 2x z=43111111 111所以( x 1) 2+(y+1)2+(z+1)24的最小值为34 ( x2+ y2+ z2) 所 以 x y + y z + xz =1111 11 11 12(2)因为x+y+z=1，所以由柯西不等式可得，4 (x2+ y2+ z2)所以x2+y2+z2111(12+12+12)(x2)2+(y1)2+(za)21112(x2+y1+za)2=(a+2)2所以 x2 + y2 + z24 222 ( a + 2)21113所以(x2)+(y1)+(za)3故( x 1) 2 + ( y + 1) 2 + ( z + 1) 2的最小值为4 3所以(x2)2+(y1)2+(za)2的最小值222( a + 2) 2为3评注若x1+y1+ z1为定值，则x1+y1+z1的取111值范围的确定需要利用( x + y + z ) 2展开后的形式() 2得到，重点在于利用基本不等式推导出 x2 + y2 + z2由题意可得， a + 23 1 . 3x1 y1 + y1 z1 + x1 z1 1112. 2利用排序不等式证明anb1简记为:顺序和乱序和逆序和解法2令x1=x1，y1=y+1，z1=z+1，则由x+y+z=1得x1+y1+z1=211不妨设xyz，则由排序不等式知，x2+y2+所以( x 1) 2 + ( y + 1) 2 + ( z + 1) 24 3即( x 1) 2 + ( y + 1) 2 + ( z + 1) 2的最小值为4 3评注消元的想法简单，但化简的过程比较繁琐，使用的关键是如何巧妙地进行配方2. 4利用几何意义证明许多不等式有着丰富的几何意义，从图象和代数 结构两种不同角度探究不等式，有助于加深对不等式 的认识，观察题中代数式的几何意义，变抽象为直观， 利用图形的特征更好地理解代数结论的意义.在空间直角坐标系中，x+y+z=1表示的是一个11 1z2x y111+ y1 z1 + z1 x1 平面，槡( x 1) 2 + ( y + 1) 2 + ( z + 1) 2表示平面 x + y+ z = 1 上的点与点( 1， 1， 1) 的长度，显然点( 1，因为 x1 + y1 + z1 = 2，所以 x2 + y2 + z2 + 2x y+ 2y z+ 2x z 1， 1 ) 到 平 面 x + y + z = 1 的 距 离 即 为=41111 11 111槡( x 1) 2 + ( y + 1) 2 + ( z + 1) 2的 最 小 值，此 时所以 x1y1+ y1z1+ x1z14 ( x2+ y2+ z2)=1112( x 1) 2 + ( y + 1) 2 + ( z + 1) 2也最小4 ( x2 + y2 + z2) 所以x2+y2+z211111122224解法4如图1，建立空间直角坐标系，取平面x+y+z=1上的三个点A(1，0，0)、点B(0，1，0)、点C(0，0，1)，点(1，1，1)记为点D所以 x1 + y1 + z1 3 故( x 1) 2 + ( y + 1) 2 + ( z + 1) 2的最小值为4 3评注该解法与解法1比较类似，不同点在于解法 2 利用了教材中的排序不等式来证明 x2 + y2 + z2111x1y1+y1z1+x1z1，两种证法有些殊途同归的感觉2. 3利用消元配方法证明本题中的变量比较多，可以考虑消元，将某个变量用其它变量的代数式表示出来，进而转化为我们熟悉的问题. 题中给出的 x + y + z = 1是三个变量的关设平面ABC的一个法向量为n=(x，y，z)，系，可以将其中的一个变量z用1xy表示，将其代则nAB，nAC入( x 1)+ ( y + 1)+ ( z + 1)因为AB = ( 1，1，0) ，AC = ( 1，0，1) ，222后就变为只关于两个变量x，y的式子，最后进行配方就可以得出其取值范围解法3因为x+y+z=1，所以z=1xy x + y = 0，所以 x + z = 0.x = 1，取则n=(1，1，1).所以( x 1) 2 + ( y + 1) 2 + ( z + 1) 2=(x1)2+(y+1)2+(2xy)2所以点D( 1， 1， 1) 到平面x + y + z = 1 的距离22为nAD= 2=2x+2(y3)x+2y2y+6n槡3= 2 ( x+y 32)2y 32+323y2 + y + 3 212 4所以 槡( x 1) 2 + ( y + 1) 2 + ( z + 1) 2的最小值为2 = 2 ( x +因为( x +2 )y3)2+ 2 ( y + 3 )20，(y+1)3+ 3 20，槡3故( x 1) 2 + ( y + 1) 2 + ( z + 1) 2的最小值为4 3评注从式子所表示的几何意义入手，通过建立坐标系简化计算，结论充分体现了数与形的完美结合，突出代数运算与几何直观之间的融合，通过形与本不等式的变形式a2 + b22(a + b)22来思考，使用该a2 + b2数的结合，能让学生感悟数学知识之间的关联，加强不等式在某种程度上简化了多个未知量.利用2对数学整体性的理解(a+b)22可以将( x 2) 2+(y1)2+(za)2中的3 第( 2) 问思路探析3. 1利用消元配方本题第( 1) 问的求解思路中采用了消元的方法，(x2)2+(y1)2转化为关于“x+y”的式子，再由已知x+y+z=1使原式的变量只剩下变量z和a，这样问题会变得比较容易分析第( 2) 问中变量又多了一个，我们不妨也试着消元，再配方得出所求参数的取值范围. 这种想法比较顺畅，证法2因为(x 2)2 + (y 1)22(x 2 + y 1) ，22重点在于化简运算.第(2)问中的(x2)2+(y1)2+(za)21且x+y+z=1，所以(x2)2+(y1)2 ( z + 2)223与第( 1) 问中求( x 1) 2 + ( y + 1) 2 + ( z + 1) 2的最小值较相似，不同点在于出现了参数a，也可经换元配方所以 ( x 2) 2+(za)2+(y1)2+(za)2( z + 2) 22得到(x2)2+(y1)2+(za)2的最小值，其最小值是一个关于 a的式子，最后解不等式即可证法1因为x+y+z=1，所以x=1yz所以( x 2) 2 + ( y 1) 2(z + 2)22等于2+(za)+(za)2的最小值大于所以(x2)2+(y1)2+(za)2因为(x2)2+(y1)2+(za)21，3=(1yz2)2+(y1)2+(za)2= 2y2 + 2yz + 2z2 + 2z 2az + a2 + 2(z+2)2所以2+(za)21 3z2 3 2 2a2a24 4322 5= 2 ( y + 2 ) + 2 ( z 3) + 3 + 3 a + 3所以 2 z+(22a)z+a+30z22 2a2所以=(22a)243(a2+5)0因为(y+2)0，(z3)0，a2所以(x2)2+(y1)2+(za)2的最小值为3+ 4 a + 423所以a2+4a+30所以(a+1)(a+3)0所以a3或a133因为(x2)2+(y1)2+(za)21，评注不容易联想到不等式a2 + b22(a + b) ，223a24 4 1所以 3 + 3 a + 3 3 所以(a+1)(a+3)0所以a3或a1评注 在换元时，若把 z换为 1 x y后，代入式子(x2)2+(y1)2+(za)2中进行化简得到的项数较多，则可以把 x换为 1 y z代入式子来优化计算它化简后其实就是基本不等式，两个不等式等价 在化简为关于z和a的不等式后，考虑到z，故由0 可求出 a 的范围3. 3利用几何意义证明数形结合思想方法在高中阶段具有突出的地位， 借助“形”的直观可以更好地理解“数”的抽象，直观 与抽象互补. 乍看不等式与几何图形好像没有多大关系，但仔细分析后可构造出不等式的几何意义，从而巧妙地利用几何的相关知识来解决.3. 2利用不等式a2 + b22(a + b)22证明在空间直角坐标系中x+y+z=1表示一个平面，槡(x2)2+(y1)2+(za)2表示平面x+y+z=1上基本不等式有很多种形式，应用起来具有一定的灵活性.第(2)问从形式上看，(x2)2+(y1)2+1的点与点(2，1，a)的长度，显然点(2，1，a)到平面x+y+z=1的距离即为槡(x2)2+(y1)2+(za)2的最(za)23是平方和的最值问题，可以想到利用基小值证法3如图2，建立空间直角坐标系，取平面x+y+z=1上的三个点A(1，0，0)、点B(0，1，0)、点C所以(a + 2 )槡31 3(0，0，1)，点(2，1，a)记为点EABC所以a3或a12评注本题的两问所蕴含的几何意义都是一个点与平面x+y+z=1上的点所成线段长度，点到平面的距离即为线段长度的最小值，第(1)问是一个定点， 第(2)问是一个含a的动点，思考过程类似4总结反思不等式选讲部分的内容是近几年来全国各省市高考的热点，这一部分内容需引起一线教师的高度重视. 高中出现的不等式主要有基本不等式、柯西不等式、排序不等式等，熟练掌握这些公式的形式与意义，设平面的一个法向量为n=(x，y，z)，则 ， nAB nACABAC因为=(1，1，0)，=(1，0，1)， x + y = 0，所以 x + z = 0.取x=1，则n=(1，1，1).所以点E(2，1，a)到平面x+y+z=1的距离为nAE a+2=n槡3所以槡(x2)2+(y1)2+(za)2的最小值为a + 2槡3因为(x2)2+(y1)2+(za)21，3有助于我们在短时间内更好地解决问题，同时从函数角度和不等式的几何意义出发分析问题，更有助于开拓思路，提升数学素养曹才翰在中国数学教学百科全书 . 数学卷中指出“数学运算能力是运算技能与逻辑思维等独特结 合的一种能力，它是通过数学解题而逐步发展起来 的，所以运算能力的研究主要从学生的数学解题活动 中来分析”，由此可见，在实际教学中，教师要剖析高 考题目，认真分析题目的根源，总结和归纳题目的解 法，让学生能做一题通一类，真正实现触类旁通 另外课堂上鼓励学生一题多解，强调一题多解的重要性， 通过启发和指导学生从不同的层面、不同的角度用不 同的的运算过程去分析和解决同一题目，进一步提高 综合素质和数学素养( 收稿日期: 2019 11 01)从一个试题的设计谈命制立体几何试题的几点体会唐慧娥(泉州市第十一中学福建泉州362011)摘 要: 本文从设计一个立体几何问题的思考历程谈起，完整再现了命题时的构思与分析 由此引发出对命制高水平试题的若干体会，总结了命制立体几何试题的一个通用的思考流程，并基于此进行了更深入的命题实践关键词: 立体几何; 命题体会; 命题方法笔者参与了泉州市高一年级下学期期末试题的命制工作，并以立体几何证明为背景命制了压轴试题 基于此，本文总结了命制立体几何试题的若干思考1试题呈现题目 ( 2019 年泉州市高一年级下学期期末测试) 在我国古代数学名著九章算术中将由四个直角三角形组成的四面体称为“鳖臑”已知三棱锥P