2023版高考数学一轮复习核心素养测评二十三正弦定理和余弦定理苏教版.doc

核心素养测评二十三 正弦定理和余弦定理
(30分钟　60分)
一、选择题(每题5分,共25分)
1.在△ABC中,a=2,b=2,B=45°,那么A为 (　　)
A.60°或120°　　　　　　　B.60°
C.30°或150° D.30°
【解析】选A.在△ABC中,
由正弦定理得=,
所以sin A===.
又a>b,所以A>B,所以A=60°或A=120°.
2.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,a=,c=2,cos A=,那么b等
于(　　)
A.　　　　 B. C.2　　　　 D.3
【解析】选D.在△ABC中,由余弦定理得a2=b2+c2-2bccos A,即5=b2+4-,
解得b=3或b=-(舍去).
3.在△ABC中,a,b,c分别为角A,B,C的对边,假设a=2bcos C,那么此三角形一定
是 (　　)
A.等腰直角三角形
B.直角三角形
C.等腰三角形
D.等腰三角形或直角三角形
【解析】选C.在△ABC中,因为cos C=,所以a=2bcos C=2b·,所以a2=a2+b2-c2,所以b=c,
所以此三角形一定是等腰三角形.
4.在△ABC中,∠A=60°,a=,b=,那么△ABC解的情况是 (　　)
A.无解 B.有唯一解
C.有两解 D.不能确定
【解析】选B.因为在△ABC中,
∠A=60°,a=,b=,
所以根据正弦定理
得sin B===,
因为∠A=60°,得∠B+∠C=120°,
所以由sin B=,得∠B=30°,从而得到∠C=90°,
因此,满足条件的△ABC有且只有一个.
【变式备选】
在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c.a=x,b=2,B=30°,假设三角形有两个解,那么x的取值范围是 (　　)
A.(2,+∞)　 B.(2,2)
C.(2,4)　 D.(2,2)
【解析】选C.因为三角形有两个解,
所以xsin B<b<x,得2<x<4,即x的取值范围是(2,4).
5.(多项选择)在△ABC中,给出以下4个命题,其中正确的命题
是 (　　)
A.假设A<B,那么sin A<sin B
B.假设sin A<sin B,那么A<B
C.假设A>B,那么>
D.A<B,那么cos 2A>cos 2B
【解析】选ABD.对A选项. 假设A<B,那么a<b,2Rsin A<2Rsin B,所以sin A<sin B,所以该选项是正确的;
对B选项. 假设sin A<sin B,所以<,所以a<b,那么A<B,所以该选项是正确的;
对C选项. 假设A>B,设A=,B=,所以<0,>0,所以该选项错误.
对D选项. A<B,那么sin A<sin B,sin 2A<sin 2B,所以-sin 2A>-sin 2B,所以1-sin 2A>1-sin 2B,所以cos 2A>cos 2B,故该选项正确.
二、填空题(每题5分,共15分)
6.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,2cos C=c,那么C=________;假设c=,△ABC的面积为,那么△ABC的周长为________. 
【解析】在△ABC中,因为2cos C(acos B+bcos A)=c,由正弦定理可得
2cos C=sin C,
又由sin C=sin (A+B)=sin Acos B+cos Asin B,
整理得2cos Csin C=sin C,因为C∈(0,π),
那么sin C>0,所以cos C=,所以C=,
又由余弦定理可得c2=a2+b2-2abcos C,即a2+b2-ab=(a+b)2-3ab=7,
又因为S△ABC=absin =,解得ab=6,所以(a+b)2-18=7,即a+b=5,
所以△ABC的周长为5+.
答案:　5+
7.在△ABC中,三个内角A,B,C的对边分别为a,b,c,假设bcos A=sin B,且a=2,b+c=6,那么△ABC的面积为________.  
【解析】由题意可得:abcos A=asin B,
所以asin Bcos A=sin Asin B,
所以tan A=a=,
所以A=.
利用余弦定理有
cos A===,
结合a=2,b+c=6可得:bc=8,
那么S△ABC=bcsin A=×8×=2.
答案:2
【变式备选】
在△ABC中,三个内角∠A,∠B, ∠C所对的边分别是a,b,c,假设(b+2sin C)·cos A=-2sin Acos C,且a=2,那么△ABC面积的最大值是________. 
【解析】因为(b+2sin C)cos A
=-2sin Acos C,
所以bcos A=-2(sin Ccos A+sin Acos C)=-2 sin(A+C)=-2sin B,
那么=,结合正弦定理得==,即tan A=-,∠A=π,
由余弦定理得cos A==-,化简得b2+c2=12-bc≥2bc,故bc≤4,
S△ABC=bcsin A≤×4×= .
答案:
8.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且asin A+bsin B+bsin A=csin C,a=2,b=2,那么sin B=________.  
【解析】因为asin A+bsin B+bsin A=csin C,
所以a2+b2+ab=c2.
由余弦定理得cos C==-,
又0<C<π,所以C=.
c2=a2+b2-2abcos C=22+(2)2-2×2×2×=20,所以c=2.
由正弦定理得=,即=,
解得sin B=.
答案:
三、解答题(每题10分,共20分)
9.(2023·柳州模拟)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且(a2+b2-c2)(2sin A-sin B)=(a2+c2-b2)sin B.
(1)求角C.
(2)假设c=2,△ABC的中线CD=2,求△ABC的面积.
【解析】(1)因为(a2+b2-c2)(2sin A-sin B)=(a2+c2-b2)sin B.
所以2abcos C(2sin A-sin B)=2accos Bsin B.
所以2sin Acos C=sin(B+C)=sin A,
又在△ABC中,sin A≠0,所以cos C=,
又0<C<π,所以C=.
(2)由||=得,
a2+b2+ab=16,①
由余弦定理得c2=a2+b2-2abcos C=a2+b2-ab=8,②
由①②两式得ab=4,
所以△ABC的面积S=absin C= ab=.
10.(2023·清华附中模拟)在△ABC中,3sin A=2sin B,tan C=.
(1)求cos 2C.
(2)假设AC-BC=1,求△ABC的周长.
【解析】(1)因为tan C=,所以cos C=,
所以cos 2C=2×-1=-.
(2)设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.
由3sin A=2sin B及正弦定理得3a=2b,
又因为AC-BC=b-a=1,所以a=2,b=3.
由余弦定理得c2=a2+b2-2abcos C=13-2=11,
所以c=,△ABC的周长为5+.
(15分钟　35分)
1.(5分)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c.假设=,A=,b=1,那么△ABC的面积为 (　　)
A. 　 B. C. 　 D.
【解析】选B.由正弦定理得===,又A=,b=1,
那么a=1,B=,
所以△ABC是边长为1的正三角形,
所以△ABC的面积为×12×=.
2.(5分)(2023·揭阳模拟)△ABC中,AB=AC=3,sin ∠ABC=2sin A,延长AB到D使得BD=AB,连接CD,那么CD的长为 (　　)
A. B.
C. D.3
【解析】选C.因为sin ∠ABC=2sin A,所以AC=2BC,即BC=,
因为BD=AB,
所以+=+=0,
CD2=,CD=.
3.(5分)(2023·长沙模拟)在锐角△ABC中,D为BC的中点,满足∠BAD+∠C=90°,那么∠B,∠C的大小关系是________. 
【解析】由∠BAD+∠C=90°,得∠CAD+∠B=90°,由正弦定理得==,==,又D为BC的中点,所以BD=DC,所以=,化简得sin Bcos B=sin Ccos C,即sin 2B=sin 2C,又△ABC为锐角三角形,所以∠B=∠C.
答案:∠B=∠C
4.(10分)菱形ABCD的边长为2,∠DAB=60°.E是边BC上一点,线段DE交AC于点F.
(1)假设△CDE的面积为,求DE的长.
(2)假设CF=4DF,求sin∠DFC.
【解析】(1)由,∠BCD=∠DAB=60°.
因为△CDE的面积S=CD·CE·sin∠BCD=,
所以×2CE·=,解得CE=1.
在△CDE中,由余弦定理得
DE=
==.
(2)连接BD,由∠ACD=30°,∠BDC=60°,
设∠CDE=θ,那么0°<θ<60°.
在△CDF中,由正弦定理得=,
因为CF=4DF,所以sin θ==,
所以cos θ=,所以sin ∠DFC=sin(30°+θ)=×+×=.
【一题多解】由∠ACD=30°,∠BDC=60°,设∠CDE=θ,那么0°<θ<60°,
设CF=4x,因为CF=4DF,那么DF=x,
在△CDF中,由余弦定理,得DF2=CD2+CF2-2CD·CFcos∠ACD,
即7x2=4+16x2-8x,
解得x=,或x=.又因为CF≤AC=,所以x≤,所以x=,所以DF=.在△CDF中由正弦定理得=,所以sin∠DFC==.
5.(10分)(2023·大连模拟)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且满足cos2B-cos2C-sin2A=sin Asin B.
(1)求角C.
(2)假设c=2,△ABC的中线CD=2,求△ABC的面积S的值.
【解析】(1)由sin2A+sin2B-sin2C
=-sin Asin B,由正弦定理得a2+b2-c2=-ab,
由余弦定理得cos C==-.
因为0<C<π,所以C=.
(2)延长CD到M,使CD=DM,连接AM,易证△BCD≌△AMD,所以BC=AM=a,
∠CBD=∠MAD,所以∠CAM=.
由余弦定理得
所以ab=4,S=absin∠ACB=×4×=.
1.我国南宋著名数学家秦九韶发现了由三角形三边长求三角形面积的“三斜求积〞公式:设△ABC的三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,那么△ABC的面积S=.假设a2sin C=4sin A,(a+c)2=12+b2,那么用“三斜求积〞公式求得△ABC的面积为 (　　)
A. B.2 C.3 D.
【解析】选A.由正弦定理及a2sin C=4sin A,得ac=4,再结合(a+c)2=12+b2,得a2+c2-b2=4,那么S===,应选A.
2. (2023·南京模拟)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,c=5,B=,△ABC的面积为,那么cos 2A=________.  
【解析】由三角形面积公式得S△ABC=acsin B=×a×5×sin
=××5a=,
解得a=3.由b2=a2+c2-2accos B=32+52-2×3×5×=49,得b=7.
由=
所以sin A=sin B=sin =,
所以cos 2A=1-2sin2A=1-2×=.
答案:
- 9 -