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配餐作业(五十)
直线的倾斜角与斜率、直线方程
(时间：40分钟)
一、选择题
1．直线x＋y＋1＝0的倾斜角是( )
A. B.
C. D.
解析 由直线的方程得直线的斜率为k＝－，设倾斜角为α，则tanα＝－，所以α＝。故选D。
答案 D
2．若方程(2m2＋m－3)x＋(m2－m)y－4m＋1＝0表示一条直线，则参数m满足的条件是( )
A．m≠－ B．m≠0
C．m≠0且m≠1 D．m≠1
解析 由解得m＝1，故m≠1时方程表示一条直线。故选D。
答案 D
3．(2016·德州一模)已知p：“直线l的倾斜角α>”；q：“直线l的斜率k>1”，则p是q的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析 当<α<π时，tanα<0，即k<0，而当k>1时，即tanα>1，则<α<，所以p是q的必要不充分条件，故选B。
答案 B
4．直线ax＋by＋c＝0同时要经过第一、第二、第四象限，则a，b，c应满足( )
A．ab>0，bc<0 B．ab>0，bc>0
C．ab<0，bc>0 D．ab<0，bc<0
解析 由于直线ax＋by＋c＝0经过第一、二、四象限，所以直线存在斜率，将方程变形为y＝－x－。易知－<0且－>0，故ab>0，bc<0。故选A。
答案 A
5．两直线－＝a与－＝a(其中a为不为零的常数)的图象可能是( )
解析 直线方程－＝a可化为y＝x－na，直线－＝a可化为y＝x－ma，由此可知两条直线的斜率同号。故选B。
答案 B
6．(2017·西安模拟)若ab<0，则过点P与Q的直线PQ的倾斜角的取值范围是( )
A. B.
C. D.
解析 由题意kPQ＝＝，∵ab<0，∴kPQ<0，直线的倾斜角为α，tanα＝k<0。∴α∈。故选B。
答案 B
7．若k，－1，b三个数成等差数列，则直线y＝kx＋b必经过定点( )
A．(1，－2) B．(1,2)
C．(－1,2) D．(－1，－2)
解析 因为k，－1，b三个数成等差数列，所以k＋b＝－2，即b＝－2－k，于是直线方程化为y＝kx－k－2，即y＋2＝k(x－1)，故直线必过定点(1，－2)。故选A。
答案 A
8．设点A(－2,3)，B(3,2)，若直线ax＋y＋2＝0与线段AB没有交点，则a的取值范围是( )
A.∪
B.
C.
D.∪
解析 直线ax＋y＋2＝0恒过点M(0，－2)，且斜率为－a，
∵kMA＝＝－，
kMB＝＝，
由图可知：－a>－且－a<，
∴a∈。故选B。
答案 B
二、填空题
9．过点P(2,3)，并且在两轴上的截距互为相反数的直线方程是________________。
解析 依题意，直线的斜率为1或直线经过原点，∴直线的方程为y－3＝x－2或y＝x，即x－y＋1＝0或3x－2y＝0。
答案 3x－2y＝0或x－y＋1＝0
10．(2017·哈尔滨模拟)一条直线经过点A(－2,2)，并且与两坐标轴围成的三角形的面积为1，则此直线的方程为________________。
解析 设所求直线的方程为＋＝1，
∵A(－2,2)在直线上，∴－＋＝1。①
又因直线与坐标轴围成的三角形面积为1，
∴|a|·|b|＝1。②
由①②可得(1)或(2)
由(1)解得或方程组(2)无解。
故所求的直线方程为＋＝1或＋＝1，
即x＋2y－2＝0或2x＋y＋2＝0为所求直线的方程。
答案 x＋2y－2＝0或2x＋y＋2＝0
11．已知A(3,0)，B(0,4)，直线AB上一动点P(x，y)，则xy的最大值是__________。
解析 直线AB的方程为＋＝1，
设P(x，y)，则x＝3－y，
∴xy＝3y－y2＝(－y2＋4y)
＝[－(y－2)2＋4]≤3。
即当P点坐标为时，xy取最大值3。
答案 3
12．若ab>0，且A(a,0)、B(0，b)、C(－2，－2)三点共线，则ab的最小值为__________。
解析 根据A(a,0)、B(0，b)确定直线的方程为
＋＝1，
又C(－2，－2)在该直线上，
故＋＝1，所以－2(a＋b)＝ab。
又ab>0，故a<0，b<0。
根据基本不等式ab＝－2(a＋b)≥4，从而≤0(舍去)或≥4，故ab≥16，
当且仅当a＝b＝－4时取等号，即ab的最小值为16。
答案 16
(时间：20分钟)
1．(2016·湖北七校联考)已知f(x)＝asinx－bcosx，若f＝f，则直线ax－by＋c＝0的倾斜角为( )
A. B.
C. D.
解析 令x＝，则f(0)＝f，即－b＝a，则直线ax－by＋c＝0的斜率为k＝＝－1，其倾斜角为，故选D。
答案 D
2．(2016·江西九江二模)过点P(－2,2)作直线l，使直线l与两坐标轴在第二象限内围成的三角形面积为8，这样的直线l一共有( )
A．3条 B．2条
C．1条 D．0条
解析 假设存在过点P(－2,2)的直线l，使它与两坐标轴围成的三角形的面积为8，
设直线l的方程为＋＝1，则＋＝1，
即2a－2b＝ab，
直线l与两坐标轴在第二象限内围成的三角形面积
S＝－ab＝8，
即ab＝－16，联立解得a＝－4，b＝4。
∴直线l的方程为＋＝1，即x－y＋4＝0，
即这样的直线有且只有一条，故选C。
答案 C
3．(2016·河南八市重点中学联考)已知直线l1与直线l2：4x－3y＋1＝0垂直且与圆C：x2＋y2＝－2y＋3相切，则直线l1的方程是________________。
解析 圆C的方程为x2＋(y＋1)2＝4，圆心为(0，－1)，半径r＝2。由已知可设直线l1的方程为3x＋4y＋c＝0，则＝2，解得c＝14或c＝－6。
即直线l1的方程为3x＋4y＋14＝0或3x＋4y－6＝0。
答案 3x＋4y＋14＝0或3x＋4y－6＝0
4．(2016·江西上饶重点六校二模)设m∈R，过定点A的动直线x＋my－1＝0和过定点B的动直线mx－y－2m＋3＝0交于点P(x，y)，则|PA|·|PB|的最大值是________。
解析 由题意可得A(1,0)，B(2,3)，且直线x＋my－1＝0和直线mx－y－2m＋3＝0垂直，则|PA|2＋|PB|2＝|AB|2＝10≥2|PA|·|PB|。∴|PA|·|PB|≤5，当且仅当|PA|＝|PB|时等号成立。
答案 5
5．设点A(－1,0)，B(1,0)，直线2x＋y－b＝0与线段AB相交，则b的取值范围是________。
解析 b为直线y＝－2x＋b在y轴上的截距，
如图，当直线y＝－2x＋b过点A(－1，0)和点B(1,0)时，b分别取得最小值和最大值。
∴b的取值范围是[－2,2]。
答案 [－2,2]
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