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考点规范练12 实际问题的函数建模
考点规范练B册第7页
基础巩固组
1.(2015广州模拟)在某个物理实验中,测量得变量x和变量y的几组数据,如下表:
x
0.50
0.99
2.01
3.98
y
-0.99
0.01
0.98
2.00
则对x,y最适合的拟合函数是( )
A.y=2x B.y=x2-1
C.y=2x-2 D.y=log2x
答案:D
解析:根据x=0.50,y=-0.99,代入计算,可以排除A;根据x=2.01,y=0.98,代入计算,可以排除B,C;将各数据代入函数y=log2x,可知满足题意.故选D.
2.某家具的标价为132元,若降价以九折出售(即优惠10%),仍可获利10%(相对进货价),则该家具的进货价是( )
A.118元 B.105元 C.106元 D.108元
答案:D
解析:设进货价为a元,由题意知132×(1-10%)-a=10%·a,解得a=108.故选D.
3.某电视新产品投放市场后第一个月销售100台,第二个月销售200台,第三个月销售400台,第四个月销售790台,则下列函数模型中能较好地反映销量y与投放市场的月数x之间关系的是( )
A.y=100x B.y=50x2-50x+100
C.y=50×2x D.y=100log2x+100
答案:C
解析:根据函数模型的增长差异和题目中的数据可知,应为指数型函数模型.
4.(2015北京朝阳区模拟)某房地产公司计划出租70套相同的公寓房.当每套房月租金定为3 000元时,这70套公寓能全租出去;当月租金每增加50元时(设月租金均为50元的整数倍),就会多一套房子不能出租.设租出的每套房子每月需要公司花费100元的日常维修等费用(设租不出的房子不需要花这些费用).要使公司获得最大利润,每套房月租金应定为( )
A.3 000元 B.3 300元 C.3 500元 D.4 000元〚导学号32470730〛
答案:B
解析:由题意,设利润为y元,租金定为(3 000+50x)元(0≤x≤70,x∈N),
则y=(3 000+50x)(70-x)-100(70-x)=(2 900+50x)(70-x)=50(58+x)(70-x)≤50=204 800,
当且仅当58+x=70-x,即x=6时,等号成立,
故每月租金定为3 000+300=3 300(元)时,公司获得最大利润,故选B.
5.(2015山东青岛模拟)世界人口在过去40年内翻了一番,则每年人口平均增长率是(参考数据lg 2≈0.301 0,100.007 5≈1.017)( )
A.1.5% B.1.6% C.1.7% D.1.8%
答案:C
解析:设每年人口平均增长率为x,则(1+x)40=2,两边取以10为底的对数,则40lg(1+x)=lg 2,所以lg(1+x)=≈0.007 5,所以100.007 5=1+x,得1+x=1.017,所以x=1.7%.
6.(2015广东深圳二模)某校甲、乙两食堂某年1月份的营业额相等,甲食堂的营业额逐月增加,并且每月的增加值相同;乙食堂的营业额也逐月增加,且每月增加的百分率相同.已知本年9月份两食堂的营业额又相等,则本年5月份( )
A.甲食堂的营业额较高
B.乙食堂的营业额较高
C.甲、乙两食堂的营业额相同
D.不能确定甲、乙哪个食堂的营业额较高
答案:A
解析:设甲、乙两食堂1月份的营业额均为m,甲食堂的营业额每月增加a(a>0),乙食堂的营业额每月增加的百分率为x,由题意可得,m+8a=m×(1+x)8,则5月份甲食堂的营业额y1=m+4a,乙食堂的营业额y2=m×(1+x)4=,因为=(m+4a)2-m(m+8a)=16a2>0,所以y1>y2,故本年5月份甲食堂的营业额较高.
7.(2015河南安阳模拟)某工厂生产某种产品,固定成本为2 000万元,并且每生产一单位产品,成本增加10万元,又知总收入K是单位产品数Q的函数,K(Q)=40Q-Q2,则总利润L(Q)的最大值是 万元.〚导学号32470731〛
答案:2 500
解析:由已知得L(Q)=K(Q)-10Q-2 000=-10Q-2 000=-(Q-300)2+2 500,
所以当Q=300时,L(Q)max=2 500(万元).
8.一片森林原来面积为a,计划每年砍伐一些树,且每年砍伐面积的百分比相等,当砍伐到面积的一半时,所用时间是10年,为保护生态环境,森林面积至少要保留原面积的,已知到今年为止,森林剩余面积为原来的.
(1)求每年砍伐面积的百分比;
(2)到今年为止,该森林已砍伐了多少年?
(3)今后最多还能砍伐多少年?
解:(1)设每年砍伐面积的百分比为x(0<x<1),则a(1-x)10=a,即(1-x)10=,
解得x=1-.故每年砍伐面积的百分比为1-.
(2)设经过m年剩余面积为原来的,则a(1-x)m=a,
即,解得m=5.
故到今年为止,已砍伐了5年.
(3)设从今年开始,最多还能砍伐n年,
则n年后剩余面积为a(1-x)n.
令a(1-x)n≥a,即(1-x)n≥,
,解得n≤15.
故今后最多还能砍伐15年.
能力提升组
9.(2015四川,文8)某食品的保鲜时间y(单位:小时)与储藏温度x(单位:℃)满足函数关系y=ekx+b(e=2.718…为自然对数的底数,k,b为常数).若该食品在0 ℃的保鲜时间是192小时,在22 ℃的保鲜时间是48小时,则该食品在33 ℃的保鲜时间是( )
A.16小时 B.20小时 C.24小时 D.28小时〚导学号32470732〛
答案:C
解析:由题意,得(0,192)和(22,48)是函数y=ekx+b图像上的两个点,
所以
由②得,48=e22k·eb,③
把①代入③得e22k=,即(e11k)2=,
所以e11k=.
所以当储藏温度为33 ℃时,保鲜时间y==(e11k)3·eb=×192=24(小时).
10.如图,有一直角墙角,两边的长度足够长,在P处有一棵树与两墙的距离分别是a m(0<a<12),4 m,不考虑树的粗细.现在用16 m长的篱笆,借助墙角围成一个矩形的花圃ABCD.设此矩形花圃的面积为S m2,S的最大值为f(a),若将这棵树围在花圃内,则函数u=f(a)的图像大致是( )
答案:C
解析:设CD=x m,则AD=(16-x) m,由题意可知解得4<x<16-a,矩形花圃的面积S=x(16-x),其最大值f(a)=故其图像为C.
11.(2015长春模拟)一个容器装有细沙a cm3,细沙从容器底下一个细微的小孔慢慢地匀速漏出,t min后剩余的细沙量为y=ae-bt(cm3),经过8 min后发现容器内还有一半的沙子,则再经过 min,容器中的沙子只有开始时的八分之一.
答案:16
解析:当t=0时,y=a,当t=8时,y=aa,
∴e-8b=,容器中的沙子只有开始时的八分之一时,
即y=ae-bt=a,e-bt==(e-8b)3=e-24b,
则t=24,所以再经过16min,容器中的沙子只有开始时的八分之一.
12.
某跳水运动员在一次跳水训练时的跳水曲线为如图所示的一段抛物线,已知跳水板AB长为2 m,跳水板距水面CD的高BC为3 m.为安全和空中姿态优美,训练时跳水曲线应在离起跳点A处水平距h m(h≥1)时达到距水面最大高度4 m.规定:以CD为横轴,BC为纵轴建立直角坐标系.
(1)当h=1时,求跳水曲线所在的抛物线方程;
(2)若跳水运动员在区域EF内入水时才能达到比较好的训练效果,求此时h的取值范围.
解:如图,由题意,最高点为(2+h,4)(h≥1).
设抛物线方程为y=a[x-(2+h)]2+4.
①当h=1时,最高点为(3,4),抛物线方程为y=a(x-3)2+4.(*)
将点A(2,3)代入(*)式得a=-1.
即所求抛物线的方程为y=-x2+6x-5.
②将点A(2,3)代入y=a[x-(2+h)]2+4,
得ah2=-1.
由题意,得方程a[x-(2+h)]2+4=0在区间[5,6]内有一解.
令f(x)=a[x-(2+h)]2+4
=-[x-(2+h)]2+4,
则
解得1≤h≤.
答:达到比较好的训练效果时的h的取值范围是
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