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第5节 从函数观点看一元二次不等式
[A级 基础巩固]
1．已知集合A＝{y|y＝ex，x∈R}，B＝{x∈R|x2－x－6≤0}，则A∩B等于( )
A．(0，2) B．(0，3]
C．[－2，3] D．[2，3]
解析：因为A＝(0，＋∞)，B＝[－2，3]，
所以A∩B＝(0，3]．
答案：B
2．(2018·北京卷)设集合A＝{(x，y)|x－y≥1，ax＋y>4，x－ay≤2}，则( )
A．对任意实数a，(2，1)∈A
B．对任意实数a，(2，1)∉A
C．当且仅当a<0时，(2，1)∉A
D．当且仅当a≤时，(2，1)∉A
解析：若(2，1)∈A，则有解得a>.结合四个选项，D正确．
答案：D
3．已知关于x的不等式kx2－6kx＋k＋8≥0对任意x∈R恒成立，则k的取值范围是( )
A．0≤k≤1 B．0<k≤1
C．k<0或k>1 D．k≤0或k≥1
解析：当k＝0时，不等式kx2－6kx＋k＋8≥0可化为8≥0，其恒成立；当k≠0时，要满足关于x的不等式kx2－6kx＋k＋8≥0对任意x∈R恒成立．
只需
解得0<k≤1.
综上，k的取值范围是0≤k≤1.
答案：A
4．(多选题)已知二次不等式ax2＋bx＋1>0的解集为{x|－2<x<1}，则( )
A．a＝－1 B．b＝－1
C．a＝－ D．b＝－
解析：因为ax2＋bx＋1>0的解集为{x|－2<x<1}，
所以a<0，且＝－2，－＝－2＋1，
解之得a＝b＝－.
答案：CD
5．已知函数f(x)＝若f(2－x2)>f(x)，则实数x的取值范围是( )
A．(－∞，－1)∪(2，＋∞) B．(－∞，－2)∪(1，＋∞)
C．(－1，2) D．(－2，1)
解析：易知f(x)在R上是增函数，因为f(2－x2)>f(x)，
所以2－x2>x，解得－2<x<1，则实数x的取值范围是(－2，1)．
答案：D
6．已知命题p：x2＋2x－3＞0，命题q：x＞a，且¬q的一个充分不必要条件是¬p，则a的取值范围是( )
A．[1，＋∞) B．(－∞，1]
C．[－1，＋∞) D．(－∞，－3]
解析：由x2＋2x－3＞0，得x＜－3或x＞1，由¬q的一个充分不必要条件是¬p，可知¬p是¬q的充分不必要条件，等价于q是p的充分不必要条件，故a≥1.
答案：A
7．若关于x的不等式ax2－6x＋a2<0的解集为(1，m)，则实数a的值为________，m的值为________．
解析：因为(1，m)是关于x的不等式ax2－6x＋a2<0的解集，
所以a>0，且1，m是方程ax2－6x＋a2＝0的根．
则a－6＋a2＝0(a>0)，所以a＝2，
从而2m2－6m＋4＝0(m>1)，则m＝2.
答案：2 2
8．在R上定义运算：＝ad－bc.若不等式≥1对任意实数x恒成立，则实数a的最大值为________．
解析：原不等式等价于x(x－1)－(a－2)(a＋1)≥1，
则问题转化为x2－x－1≥(a＋1)(a－2)对任意x恒成立，
x2－x－1＝－≥－，
所以－≥a2－a－2，解得－≤a≤.
则实数a的最大值为.
答案：
9．设a<0，若不等式－cos2 x＋(a－1)cos x＋a2≥0对于任意的x∈R恒成立，则a的取值范围是________．
解析：令t＝cos x，t∈[－1，1]，则不等式可转化为－t2＋(a－1)t＋a2≥0对t∈[－1，1]恒成立，即f(t)＝t2－(a－1)t－a2≤0对t∈[－1，1]恒成立，因此⇒因为a<0，所以a≤－2.
答案：a≤－2
10．某商品每件成本价为80元，售价为100元，每天售出100件．若售价降低x成(1成＝10%)，售出商品数量就增加x成．要求售价不能低于成本价．
(1)设该商店一天的营业额为y，试求y与x之间的函数解析式y＝f(x)，并写出定义域；
(2)若再要求该商品一天营业额至少为10 260元，求x的取值范围．
解：(1)由题意得，y＝100·100.
因为售价不能低于成本价，所以100－80≥0，
解得0≤x≤2.
所以y＝f(x)＝40(10－x)(25＋4x)，
定义域为{x|0≤x≤2}．
(2)由题意得40(10－x)(25＋4x)≥10 260，
化简得8x2－30x＋13≤0，解得≤x≤.
又因为0≤x≤2，
所以x的取值范围是.
[B级 能力提升]
11．(2020·湖南益阳模拟)已知函数f(x)＝ax2＋(a＋2)x＋a2为偶函数，则不等式(x－2)f(x)<0的解集为( )
A．(－，)∪(2，＋∞) B．(－，＋∞)
C．(2，＋∞) D．(－，2)
解析：因为函数f(x)＝ax2＋(a＋2)x＋a2为偶函数，
所以a＋2＝0，得a＝－2，所以f(x)＝－2x2＋4.
所以不等式(x－2)f(x)<0可转化为或
即或
解得－<x<或x>2.
故原不等式的解集为(－，)∪(2，＋∞)．
答案：A
12.函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，则不等式ax2＋bx＋c<0的解集是________，不等式<0的解集是________．
解析：由函数图象知，ax2＋bx＋c<0的解集为(1，2)．
从而且a>0.
解之得b＝－3a且c＝2a(a>0)．
所以不等式<0等价于<0.
解之得－<x<3.
答案：{x|1<x<2}
13．已知f(x)是定义在R上的偶函数，且当x≥0时，f(x)＝ex.若对任意x∈[a，a＋1]，恒有f(x＋a)≥f(2x)成立，求实数a的取值范围．
解：因为函数f(x)是偶函数，故函数图象关于y轴对称，
且在(－∞，0]上单调递减，在[0，＋∞)上单调递增．
所以由f(x＋a)≥f(2x)可得|x＋a|≥2|x|在[a，a＋1]上恒成立，
从而(x＋a)2≥4x2在[a，a＋1]上恒成立，
化简得3x2－2ax－a2≤0在[a，a＋1]上恒成立，
设h(x)＝3x2－2ax－a2，
则有解得a≤－.
故实数a的取值范围是.
[C级 素养升华]
14．(综合创新题)已知定义在R上的奇函数f(x)满足：当x≥0时，f(x)＝x3，若不等式f(－4t)>f(2m＋mt2)对任意实数t恒成立，则实数m的取值范围是( )
A．(－∞，－) B．(－，0)
C．(－∞，0)∪(，＋∞) D．(－∞，－)∪(，＋∞)
解析：因为f(x)在R上为奇函数，且在[0，＋∞)上为增函数，
所以f(x)在R上是增函数，
对任意t∈R，f(－4t)>f(2m＋mt2)，
所以－4t>2m＋mt2对t∈R恒成立．
故mt2＋4t＋2m<0恒成立(t∈R)，
因此解之得m<－.
答案：A
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