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1.4.3 正切函数的性质与图象
课后篇巩固探究
1.函数f(x)=的定义域为( )
A.
B.
C.
D.
解析由题意得k∈Z,所以x≠(k∈Z),选A.
答案A
2.若函数f(x)=tan与函数g(x)=sin的最小正周期相同,则ω=( )
A.±1 B.1 C.±2 D.2
解析∵函数g(x)的周期为=π,
∴=π,∴ω=±1.
答案A
3.函数y=tan的一个对称中心是( )
A.(0,0) B.
C. D.(π,0)
解析令x+,k∈Z,得x=,k∈Z,所以函数y=tan的对称中心是.
令k=2,可得函数的一个对称中心为.
答案C
4.函数f(x)=tan的单调递减区间为( )
A.,k∈Z
B.,k∈Z
C.,k∈Z
D.(kπ,(k+1)π),k∈Z
解析因为f(x)=tan=-tan,所以原函数的单调递减区间就是函数y=tan的单调递增区间.
所以kπ-≤x-≤kπ+,k∈Z,即kπ-≤x≤kπ+,k∈Z.故原函数的单调递减区间是,k∈Z.
答案B
5.在区间范围内,函数y=tan x与函数y=sin x图象交点的个数为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
解析在同一平面直角坐标系中,首先作出y=sin x与y=tan x在内的图象,需明确x∈时,有sin x<x<tan x(利用单位圆中的正弦线、正切线就可证明),然后利用对称性作出x∈的两函数的图象(注意正切函数的定义域),如图所示,由图象可知它们有三个交点.
答案C
6.函数y=tan的值域为 .
解析∵-≤x≤,且x≠0,
∴-x≤,且-x≠.
∴由y=tan x的图象知y=tan的值域为(-∞,-1]∪[1,+∞).
答案(-∞,-1]∪[1,+∞)
7.给出下列四个结论:
①sin->sin-;②cos->cos-;
③tan >tan ;④tan >sin .
其中正确结论的序号是 .
解析函数y=sin x是-,0上的增函数,0>->->-,所以sin->sin-,①正确;cos-=cos-6π-=cos ,cos-=cos-4π-=cos ,所以cos-=cos-,②不正确;函数y=tan x是,π上的增函数,<π,所以tan <tan ,③不正确;易知在0,上,tan x>x>sin x,所以tan >sin ,④正确.
答案①④
8.已知函数y=tan ωx在内是减函数,则ω的取值范围为 .
解析由题意可知ω<0,又,故-1≤ω<0.
答案[-1,0]
9.关于x的函数f(x)=tan(x+φ)有以下几种说法:
①对任意的φ,f(x)都是非奇非偶函数;
②f(x)的图象关于对称;
③f(x)的图象关于(π-φ,0)对称;
④f(x)是以π为最小正周期的周期函数.
其中不正确的说法的序号是 .
解析①若取φ=kπ(k∈Z),则f(x)=tan x,此时,f(x)为奇函数,所以①错;观察正切函数y=tan x的图象,可知y=tan x关于(k∈Z)对称,令x+φ=,k∈Z,得x=-φ,分别令k=1,2知②,③正确,④显然正确.
答案①
10.导学号68254042方程-tan x=0在x∈内的根的个数为 .
解析分别画出y=与y=tan x在x∈内的图象,如图.
易知y=与y=tan x在相应区间内有2个交点,原方程有2个根.
答案2
11.求函数y=-tan2x+4tan x+1,x∈的值域.
解∵-≤x≤,
∴-1≤tan x≤1.
令tan x=t,则t∈[-1,1].
∴y=-t2+4t+1=-(t-2)2+5.
∴当t=-1,即x=-时,ymin=-4,
当t=1,即x=时,ymax=4.
故所求函数的值域为[-4,4].
12.是否存在实数a,且a∈Z,使得函数y=tan-ax在区间上单调递增?若存在,求出a的一个值;若不存在,请说明理由.
解y=tan-ax=tan-ax+,
∵y=tan x在区间kπ-,kπ+(k∈Z)上为增函数,∴a<0,
又x∈,∴-ax∈-,-,
∴-ax∈,
∴
解得-≤a≤6-8k(k∈Z).
由-=6-8k得k=1,此时-2≤a≤-2.
∴a=-2<0,
∴存在a=-2∈Z,满足题意.
13.设函数f(x)=asinkx+和φ(x)=btankx-,k>0,若它们的最小正周期之和为,且f=φ,f=-φ+1,求f(x),φ(x)的解析式.
解f(x)=asinkx+的最小正周期T=.
φ(x)=btankx-的最小正周期T=.
∵,∴k=2.
∴f(x)=asin2x+,φ(x)=btan2x-,
∴f=asinπ+=-asin =-a.
φ=btanπ-=-btan =-b.
f=asin=acos a.
φ=btan=b.
∴
化简得
∴f(x)=sin2x+,φ(x)=tan2x-.
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