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第2课时 正弦函数、余弦函数的性质(二)
课后篇巩固探究
1.函数y=|sin x|的一个单调递增区间是( )
A. B.
C. D.
解析画出y=|sin x|的图象即可求解.
故选C.
答案C
2.已知函数y=2cos x的定义域为,值域为[a,b],则b-a的值是( )
A.2 B.3 C.+2 D.2
解析根据函数y=2cos x的定义域为,故它的值域为[-2,1],可得b-a=1-(-2)=3.
答案B
3.已知函数y=3sin的图象是轴对称图形,则它的一条对称轴可以是( )
A.y轴 B.直线x=-
C.直线x= D.直线x=
解析A:当x=0时,2x+,不合题意;B:当x=-时,2x+=0,不合题意;C:当x=时,2x+,正确;D:当x=时,2x+,不合题意,故选C.
答案C
4.函数y=2sin的单调递增区间是( )
A.(k∈Z)
B.(k∈Z)
C.(k∈Z)
D.(k∈Z)
解析y=2sin=-2sin,函数y=sin的单调递减区间为y=2sin的单调递增区间,即2kπ+≤2x-≤2kπ+(k∈Z)⇒kπ+≤x≤kπ+(k∈Z).
答案B
5.同时具有性质:
①最小正周期是π;②图象关于直线x=对称;③在上是增函数.
这样的一个函数可以为( )
A.y=sin B.y=cos
C.y=sin D.y=cos
解析周期是π的只有B,C,y=cos=cos=-sin,当x∈时,2x-,因此C是增函数,B是减函数,故选C.
答案C
6.若0<α<β<,a=sin,b=sin,则( )
A.a<b B.a>b
C.ab<1 D.ab>
解析∵0<α<β<,∴<α+<β+.
而正弦函数y=sin x在x∈上是增函数,
∴sin<sin.
∴sinsin,即a<b.
答案A
7.导学号68254037函数y=sin2x+2cos x的最大值和最小值分别是( )
A.,- B.,-2
C.2,- D.2,-2
解析因为函数y=sin2x+2cos x=1-cos2x+2cos x=-(cos x-1)2+2,又cos x∈.
所以当cos x=-1,即x=π时,函数y取得最小值为-4+2=-2;当cos x=,即x=时,函数y取得最大值为-+2=.
答案B
8.函数y=sin |x|+sin x的值域是 .
解析∵y=sin |x|+sin x=∴-2≤y≤2.
答案[-2,2]
9.若y=asin x+b的最大值为3,最小值为1,则ab= .
解析当a>0时,
当a<0时,
所以ab=2或-2.
答案2或-2
10.若函数y=cos ωx(ω>0)在区间[0,1]上出现了50次最小值,则ω的取值范围是 .
解析设函数的周期为T,由题意知又T=,则解得99π≤ω<101π.
答案[99π,101π)
11.函数y=2sin-cos(x∈R)的最小值为 .
解析∵,
∴y=2sin-cos
=2cos-cos=cos.
∴ymin=-1.
答案-1
12.求函数y=sin2x+acos x+a-0≤x≤的最大值g(a).
解y=1-cos2x+acos x+a-=-cos x-2+a-,
∵0≤x≤,∴0≤cos x≤1,
∴当0≤≤1,即0≤a≤2时,cos x=时,函数取得最大值,
ymax=;
当>1,即a>2时,cos x=1时,函数取得最大值,ymax=;
当<0,即a<0时,cos x=0时,函数取得最大值,ymax=.
综上所述,g(a)=
13.导学号68254039已知函数f(x)=1-2a-2acos x-2sin2x的最小值为g(a),a∈R.
(1)求g(a);
(2)若g(a)=,求a及此时f(x)的最大值.
解(1)y=f(x)=1-2a-2acos x-2(1-cos2x),
令t=cos x,则y=2t2-2at-2a-1,t∈[-1,1],
当<-1,即a<-2时,ymin=f(-1)=1;
当-1≤≤1,即-2≤a≤2时,ymin=f=--2a-1.
当>1,即a>2时,ymin=f(1)=-4a+1.
故g(a)=
(2)由g(a)=,得a=-1,此时f(x)=2cos2x+2cos x+1,
当cos x=1时,f(x)max=5,此时x=2kπ,k∈Z.
14.导学号68254040已知函数f(x)=sin(ωx+φ)其中ω>0,|φ|<,若函数y=f(x)的图象与x轴的任意两个相邻交点间的距离为,且直线x=是函数y=f(x)图象的一条对称轴.
(1)求ω的值;
(2)求y=f(x)的单调递增区间;
(3)若x∈,求y=f(x)的值域.
解(1)因为函数y=f(x)的图象与x轴的任意两个相邻交点间的距离为,所以函数的周期T=π,所以ω==2.
(2)因为直线x=是函数y=f(x)图象的一条对称轴,所以2×+φ=kπ+,k∈Z,φ=kπ+,k∈Z.
又|φ|<,所以φ=.
所以函数的解析式是y=sin.
令2x+,k∈Z,
解得x∈,k∈Z.
所以函数的单调递增区间为,k∈Z.
(3)因为x∈,
所以2x+.
所以sin,
即函数的值域为.
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