资源描述
曲线与方程
课时作业
1．点A(－1,0)，B(2,4)，△ABC的面积为10，那么动点C的轨迹方程是( )
A．4x－3y－16＝0或4x－3y＋16＝0
B．4x－3y－16＝0或4x－3y＋24＝0
C．4x－3y＋16＝0或4x－3y＋24＝0
D．4x－3y＋16＝0或4x－3y－24＝0
答案 B
解析 由题意，得直线AB的方程为4x－3y＋4＝0，又|AB|＝5，设动点C(x，y)．由题意可知×5×＝10，所以4x－3y－16＝0或4x－3y＋24＝0.应选B．
2．点F，直线l：x＝－，点B是l上的动点．假设过点B垂直于y轴的直线与线段BF的垂直平分线交于点M，那么点M的轨迹是( )
A．双曲线 B．椭圆
C．圆 D．抛物线
答案 D
解析 由知|MF|＝|MB|，根据抛物线的定义知，点M的轨迹是以点F为焦点，直线l为准线的抛物线．应选D．
3．(2022·长春模拟)如下图，A是圆O内一定点，B是圆周上一个动点，AB的中垂线CD与OB交于点E，那么点E的轨迹是( )
A．圆 B．椭圆
C．双曲线 D．抛物线
答案 B
解析 由题意知，|EA|＋|EO|＝|EB|＋|EO|＝r(r为圆的半径)且r>|OA|，故E的轨迹为以O，A为焦点的椭圆．应选B．
4．(2022·邯郸一中摸底)点Q在椭圆C：＋＝1上，点P满足＝(＋)(其中O为坐标原点，F1为椭圆C的左焦点)，那么点P的轨迹为( )
A．圆 B．抛物线
C．双曲线 D．椭圆
答案 D
解析 因为点P满足＝(＋)，所以P是线段QF1的中点，设P(x0，y0)，由于F1为椭圆C：＋＝1的左焦点，那么F1(－，0)，故Q(2x0＋，2y0)，由点Q在椭圆C上，那么点P的轨迹方程为＋＝1，故点P的轨迹为椭圆．应选D．
5．动圆M经过双曲线x2－＝1的左焦点且与直线x＝2相切，那么圆心M的轨迹方程是( )
A．y2＝8x B．y2＝－8x
C．y2＝4x D．y2＝－4x
答案 B
解析 设双曲线x2－＝1的左焦点为F(－2,0)，因为动圆M经过F且与直线x＝2相切，所以圆心M到点F的距离和到直线x＝2的距离相等，由抛物线的定义知轨迹是抛物线，其方程为y2＝－8x.
6．在△ABC中，A(－1,0)，C(1,0)，且|BC|，|CA|，|AB|成等差数列，那么顶点B的轨迹方程是( )
A．＋＝1 B．＋＝1(x≠±)
C．＋＝1 D．＋＝1(x≠±2)
答案 D
解析 因为|BC|，|CA|，|AB|成等差数列，所以|BC|＋|BA|＝2|CA|＝4.所以点B的轨迹是以A，C为焦点，半焦距c＝1，长轴长2a＝4的椭圆．又B是三角形的顶点，A，B，C三点不能共线，故所求的轨迹方程为＋＝1，且x≠±2.应选D．
7．(2022·浙江杭州检测)F1，F2是双曲线的两个焦点，Q是双曲线上任意一点，从焦点F1引∠F1QF2的平分线的垂线，垂足为P，那么点P的轨迹为( )
A．直线 B．圆
C．椭圆 D．双曲线
答案 B
解析 不妨设点Q在双曲线的右支上，延长F1P交直线QF2于点S，∵QP是∠F1QF2的平分线，且QP⊥F1S，∴P是F1S的中点．∵O是F1F2的中点，∴PO是△F1SF2的中位线，∴|PO|＝|F2S|＝(|QS|－|QF2|)＝(|QF 1|－|QF 2|)＝a(定值)，∴点P的轨迹为圆．
8．设线段AB的两个端点A，B分别在x轴、y轴上滑动，且|AB|＝5，＝＋，那么点M的轨迹方程为( )
A．＋＝1 B．＋＝1
C．＋＝1 D．＋＝1
答案 A
解析 设M(x，y)，A(x0,0)，B(0，y0)，由＝＋，得(x，y)＝(x0,0)＋(0，y0)，那么解得由|AB|＝5，得2＋2＝25，化简得＋＝1.
9．(2022·雅安调研)设动点P在直线x＝1上，O为坐标原点，以OP为直角边、点O为直角顶点作等腰Rt△OPQ，那么动点Q的轨迹是( )
A．圆 B．两条平行直线
C．抛物线 D．双曲线
答案 B
解析 设点P(1，a)，Q(x，y)，以点O为直角顶点作等腰Rt△OPQ，＝－1，x＝－ay，∵|OP|＝|OQ|，∴1＋a2＝x2＋y2＝a2y2＋y2＝(a2＋1)y2，而a2＋1>0，∴y2＝1，∴y＝1或y＝－1，∴动点Q的轨迹是两条平行于x轴的直线．
10．A，B为平面内两定点，过该平面内动点M作直线AB的垂线，垂足为N.假设2＝λ·，其中λ为常数，那么动点M的轨迹不可能是( )
A．圆 B．椭圆
C．抛物线 D．双曲线
答案 C
解析 以AB所在直线为x轴，AB的中垂线为y轴，建立坐标系，设M(x，y)，A(－a,0)，B(a,0)，那么N(x,0)．因为2＝λ·，所以y2＝λ(x＋a)(a－x)，即λx2＋y2＝λa2，当λ＝1时，轨迹是圆；当λ>0且λ≠1时，轨迹是椭圆；当λ<0时，轨迹是双曲线；当λ＝0时，轨迹是直线．综上，动点M的轨迹不可能是抛物线．
11．正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，点M在AB上，且AM＝，点P在平面ABCD内，且动点P到直线A1D1的距离与动点P到点M的距离的平方差为1，那么动点P的轨迹是( )
A．直线 B．圆
C．双曲线 D．抛物线
答案 D
解析 在平面ABCD内过点P作PF⊥AD，垂足为F，过点F在平面AA1D1D内作FE⊥A1D1，垂足为E，连接PE，那么有PE⊥A1D1，即PE为点P到A1D1的距离．由题意知|PE|2－|PM|2＝1，又因为|PE|2＝|PF|2＋|EF|2，所以|PF|2＋|EF|2－|PM|2＝1，即|PF|2＝|PM|2，即|PF|＝|PM|，所以点P满足到点M的距离等于点P到直线AD的距离．由抛物线的定义知点P的轨迹是以点M为焦点，AD为准线的抛物线，所以点P的轨迹为抛物线．
12．(2022·福建质量检查)A(－2,0)，B(2,0)，斜率为k的直线l上存在不同的两点M，N满足|MA|－|MB|＝2，|NA|－|NB|＝2，且线段MN的中点为(6,1)，那么k的值为( )
A．－2 B．－
C． D．2
答案 D
解析 因为|MA|－|MB|＝2，|NA|－|NB|＝2，由双曲线的定义知，点M，N在以A，B为焦点的双曲线的右支上，且c＝2，a＝，所以b＝1，所以该双曲线的方程为－y2＝1.设M(x1，y1)，N(x2，y2)，那么x1＋x2＝12，y1＋y2＝2.设直线l的方程为y＝kx＋m，代入双曲线的方程，消去y，得(1－3k2)x2－6mkx－3m2－3＝0，所以x1＋x2＝＝12①，y1＋y2＝k(x1＋x2)＋2m＝12k＋2m＝2②，由①②解得k＝2，应选D．
13．由动点P向圆x2＋y2＝1引两条切线PA，PB，切点分别为A，B，∠APB＝60°，那么动点P的轨迹方程为________.
答案 x2＋y2＝4
解析 设P(x，y)，x2＋y2＝1的圆心为O，因为∠APB＝60°，OP平分∠APB，所以∠OPB＝30°，因为|OB|＝1，∠OBP为直角，所以|OP|＝2，所以x2＋y2＝4.
14．(2022·长沙模拟)△ABC的顶点A(－5,0)，B(5,0)，△ABC的内切圆圆心在直线x＝3上，那么顶点C的轨迹方程是________．
答案 －＝1(x>3)
解析 如图，令内切圆与三边的切点分别为D，E，F，可知|AD|＝|AE|＝8，|BF|＝|BE|＝2，|CD|＝|CF|，所以|CA|－|CB|＝|AE|－|BE|＝8－2＝6<|AB|＝10.根据双曲线定义，所求轨迹是以A，B为焦点，实轴长为6的双曲线的右支，其方程为－＝1(x>3)．
15．圆M：(x＋1)2＋y2＝1，圆N：(x－1)2＋y2＝9，动圆P与圆M外切并且与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C，那么曲线C的方程为________．
答案 ＋＝1(x≠－2)
解析 设圆M的半径为r1，圆N的半径为r2，圆P的半径为R.因为圆P与圆M外切并且与圆N内切，所以|PM|＋|PN|＝(R＋r1)＋(r2－R)＝r1＋r2＝4.由椭圆的定义可知，曲线C是以M，N为左、右焦点，长半轴长为2，短半轴长为的椭圆(左顶点除外)，其方程为＋＝1(x≠－2)．
16．假设过抛物线y2＝4x的焦点作直线与其交于M，N两点，作平行四边形MONP，那么点P的轨迹方程为________.
答案 y2＝4(x－2)
解析 (1)当直线斜率k存在时，设直线方程为y＝k(x－1)，点M(x1，y1)，N(x2，y2)，P(x，y)，由＝，得(x1，y1)＝(x－x2，y－y2)．
得x1＋x2＝x，y1＋y2＝y.
由联立得x＝x1＋x2＝.
y＝y1＋y2＝，消去参数k，得y2＝4(x－2)．
(2)当直线斜率k不存在时，直线方程为x＝1，
由O＝2O得P(2,0)，适合y2＝4(x－2)．
综合(1)(2)，点P的轨迹方程为y2＝4(x－2)．
17．(2022·郑州质检)坐标平面上动点M(x，y)与两个定点P(26,1)，Q(2,1)，且|MP|＝5|MQ|.
(1)求点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形；
(2)记(1)中轨迹为C，过点N(－2,3)的直线l被C所截得线段的长度为8，求直线l的方程．
解 (1)由题意，得＝5，
即＝5，
化简，得x2＋y2－2x－2y－23＝0.所以点M的轨迹方程是(x－1)2＋(y－1)2＝25.
轨迹是以(1,1)为圆心，以5为半径的圆．
(2)当直线l的斜率不存在时，l：x＝－2，
此时所截得线段的长度为2＝8，
所以l：x＝－2符合题意．
当直线l的斜率存在时，
设l的方程为y－3＝k(x＋2)，
即kx－y＋2k＋3＝0，圆心(1,1)到直线l的距离d＝，
由题意，得2＋42＝52，解得k＝.
所以直线l的方程为x－y＋＝0，
即5x－12y＋46＝0.
综上，直线l的方程为x＝－2或5x－12y＋46＝0.
18．(2022·泰安质检)如下图，动圆C1：x2＋y2＝t2,1<t<3，与椭圆C2：＋y2＝1相交于A，B，C，D四点，点A1，A2分别为C2的左、右顶点．
(1)当t为何值时，矩形ABCD的面积取得最大值？并求出其最大面积；
(2)求直线AA1与直线A2B交点M的轨迹方程．
解 (1)设A(x0，y0)，那么S矩形ABCD＝4|x0y0|，
由＋y＝1，得y＝1－，
从而xy＝x＝－2＋.
当x＝，y＝时，Smax＝6.
从而t2＝x＋y＝5，t＝，
所以当t＝时，矩形ABCD的面积取到最大值6.
(2)由椭圆C2：＋y2＝1，知A1(－3,0)，A2(3,0)，
由曲线的对称性及A(x0，y0)，得B(x0，－y0)，
设点M的坐标为(x，y)，
直线AA1的方程为y＝(x＋3)，①
直线A2B的方程为y＝(x－3)，②
由①②得y2＝(x2－9)．③
又点A(x0，y0)在椭圆C2上，故y＝1－.④
将④代入③，得－y2＝1(x<－3，y<0)．
因此点M的轨迹方程为－y2＝1(x<－3，y<0)．
19．抛物线C：y2＝2x的焦点为F，平行于x轴的两条直线l1，l2分别交C于A，B两点，交C的准线于P，Q两点．
(1)假设F在线段AB上，R是PQ的中点，证明：AR∥FQ；
(2)假设△PQF的面积是△ABF的面积的两倍，求AB中点的轨迹方程．
解 由题意知F.
设l1：y＝a，l2：y＝b，那么ab≠0，
且A，B，P，Q，R，.
记过A，B两点的直线为l，那么l的方程为2x－(a＋b)y＋ab＝0.
(1)证明：由于F在线段AB上，故1＋ab＝0.
记AR的斜率为k1，FQ的斜率为k2，那么
k1＝＝＝＝＝－b＝k2.
所以AR∥FQ.
(2)设l与x轴的交点为D(x1,0)，那么S△ABF＝|b－a|·|FD|＝|b－a|，S△PQF＝.
由题设可得2×|b－a|＝，
所以x1＝0(舍去)或x1＝1.
设满足条件的AB的中点为E(x，y)．
当AB与x轴不垂直时，
由kAB＝kDE可得＝(x≠1)．
而＝y，所以y2＝x－1(x≠1)．
当AB与x轴垂直时，E与D重合，适合y2＝x－1.
所以所求轨迹方程为y2＝x－1.
20．(2022·青岛模拟)椭圆Γ：＋＝1(a>b>0)的右焦点与短轴两端点构成一个面积为2的等腰直角三角形，O为坐标原点．
(1)求椭圆Γ的方程；
(2)设点A在椭圆Γ上，点B在直线y＝2上，且OA⊥OB，求证：＋为定值；
(3)设点C在椭圆Γ上运动，OC⊥OD，且点O到直线CD的距离为常数，求动点D的轨迹方程．
解 (1)∵椭圆Γ：＋＝1(a>b>0)的右焦点与短轴两端点构成一个面积为2的等腰直角三角形，O为坐标原点，∴b＝c＝，∴a＝＝2，∴椭圆Γ的方程为＋＝1.
(2)证明：设A(x0，y0)，那么OB的方程为x0x＋y0y＝0，
由y＝2，得B，
∴＋＝＋＝
＝＝，
∴＋为定值.
(3)设C(x1，y1)，D(x，y)，由OC⊥OD，得
x1x＋y1y＝0，①
由点C在椭圆上，得＋＝1，②
联立①②，得x＝，y＝.③
由OC⊥OD，点O到CD的距离为，得|OC|·|OD|＝|CD|，
∴|OC|2·|OD|2＝3(|OC|2＋|OD|2)．将③代入得
＋＝＋
＝＋＝＝，
化简，得点D的轨迹方程为－＝1.
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