2022高考数学一轮复习第8章立体几何第2讲空间几何体的表面积和体积课时作业含解析新人教B版.doc

空间几何体的外表积和体积
课时作业
1．(2022·吉林长春二测)一个几何体的三视图如下图，每个小方格都是长度为1的正方形，那么这个几何体的体积为(　　)
A．32 B.
C. D．8
答案　B
解析　几何体的直观图如下图，棱锥的顶点在底面上的射影是底面一边的中点，易知这个几何体的体积为×4×4×4＝.应选B.
2．(2022·全国卷Ⅰ)圆柱的上、下底面的中心分别为O1，O2，过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，那么该圆柱的外表积为(　　)
A．12π B．12π
C．8π D．10π
答案　B
解析　根据题意，可得截面是边长为2的正方形，结合圆柱的特征，可知该圆柱的底面是半径为的圆，且高为2，所以其外表积为S＝2π()2＋2π××2＝12π.应选B.
3．如图，一个三棱锥的三视图均为直角三角形．假设该三棱锥的顶点都在同一个球面上，那么该球的外表积为(　　)
A．4π
B．16π
C．24π
D．25π
答案　C
解析　由三视图知该几何体是一个三条侧棱两两垂直的三棱锥，三条侧棱长分别为2,2,4，将该三棱锥补成一个长方体，可知该三棱锥的外接球直径就是长方体的体对角线，所以外接球直径2R＝＝2，那么R＝，故该球的外表积为4πR2＝24π，应选C.
4．如下图，某几何体的正(主)视图是平行四边形，侧(左)视图和俯视图都是矩形，那么该几何体的体积为(　　)
A．6 B．9
C．12 D．18
答案　B
解析　由三视图，得该几何体为一平行六面体，底面是边长为3的正方形，高h＝＝，所以该几何体的体积V＝3×3×＝9.
5．正三棱柱的底面边长为，侧棱长为2，且三棱柱的顶点都在同一个球面上，那么该球的外表积为(　　)
A．4π B．8π
C．12π D．16π
答案　B
解析　由正弦定理，得＝2r(其中r为正三棱柱底面三角形外接圆的半径)，∴r＝1，∴外接球的半径R＝＝，∴外接球的外表积S＝4πR2＝8π.应选B.
6．如图，网格纸上小正方形的边长为2，粗线画出的是某几何体的三视图，其中俯视图为扇形，那么该几何体的体积为(　　)
A. B.
C. D．32π
答案　C
解析　由三视图知，该几何体的底面是圆心角为120°的扇形，故该几何体的体积为底面半径为4，高为6的圆锥的体积的三分之一，故所求体积V＝×π×42×6＝.应选C.
7．(2022·福州模拟)圆锥的高为3，它的底面半径为.假设该圆锥的顶点与底面的圆周都在同一个球面上，那么这个球的体积等于(　　)
A. B.
C．16π D．32π
答案　B
解析　如图，设球心到底面圆心的距离为x，那么球的半径r＝3－x.由勾股定理，得x2＋3＝(3－x)2，解得x＝1，故球的半径r＝2，V球＝πr3＝.应选B.
8．(2022·江西七校联考)假设某空间几何体的三视图如下图，那么该几何体的外表积是(　　)
A．48＋π B．48－π
C．48＋2π D．48－2π
答案　A
解析　该几何体是正四棱柱挖去了一个半球，正四棱柱的底面是正方形(边长为2)，正四棱柱的高为5，半球的半径是1，那么该几何体的外表积S＝2×2×2＋4×2×5－π×12＋2π×12＝48＋π，应选A.
9．(2022·黑龙江哈尔滨三中模拟)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某三棱锥的三视图，那么该几何体的体积为(　　)
A．4 B．2
C. D.
答案　D
解析　由三视图可知，几何体为三棱锥，底面为腰长为2的等腰直角三角形，高为1，那么该几何体的体积为××2×2×1＝.应选D.
10．如图是某几何体的三视图，那么此几何体的体积是(　　)
A. B. C. D.
答案　D
解析　根据三视图知此几何体是边长为2的正方体截去一个三棱锥P－ABC剩下的局部(如下图)，所以此几何体的体积为2×2×2－××1×2×2＝.
11．祖暅原理：“幂势既同，那么积不容异〞．意思是夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任何一个平面所截，如果截面面积都相等，那么这两个几何体的体积一定相等，现有以下四个几何体：图①是从圆柱中挖去一个圆锥所得的几何体，图②、图③、图④分别是圆锥、圆台、半球，那么满足祖暅原理的两个几何体为(　　)
A．①② B．①③
C．②④ D．①④
答案　D
解析　设截面与下底面的距离为h，那么①中截面内圆的半径为h，那么截面圆环的面积为π(R2－h2)；②中截面圆的半径为R－h，那么截面圆的面积为π(R－h)2；③中截面圆的半径为R－，那么截面圆的面积为π2；④中截面圆的半径为，那么截面圆的面积为π(R2－h2)．所以①④中截面的面积相等，故其体积相等，应选D.
12．(2022·唐山五校联考)把一个皮球放入如下图的由8根长均为20 cm的铁丝接成的四棱锥形框架内，使皮球的外表与8根铁丝都有接触点(皮球不变形)，那么皮球的半径为(　　)
A．10 cm B．10 cm
C．10 cm D．30 cm
答案　B
解析　依题意，在四棱锥S－ABCD中，所有棱长均为20 cm，连接AC，BD交于点O，连接SO，那么SO＝AO＝BO＝CO＝DO＝10 cm，易知点O到AB，BC，CD，AD的距离均为10 cm，在等腰三角形OAS中，OA＝OS＝10 cm，AS＝20 cm，所以O到SA的距离d＝10 cm，同理可证O到SB，SC，SD的距离也为10 cm，所以球心为四棱锥底面ABCD的中心，所以皮球的半径R＝10 cm，应选B.
13．(2022·江苏高考)如图，长方体ABCD－A1B1C1D1的体积是120，E为CC1的中点，那么三棱锥E－BCD的体积是________．
答案　10
解析　设长方体中BC＝a，CD＝b，CC1＝c，那么abc＝120，所以VE－BCD＝×ab×c＝abc＝10.
14．(2022·全国卷Ⅲ)学生到工厂劳动实践，利用3D打印技术制作模型．如图，该模型为长方体ABCD－A1B1C1D1挖去四棱锥O－EFGH后所得的几何体．其中O为长方体的中心，E，F，G，H分别为所在棱的中点，AB＝BC＝6 cm，AA1＝4 cm.3D打印所用原料密度为0.9 g/cm3，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为________g.
答案　118.8
解析　由题意，知挖去的四棱锥的底面是一个菱形，对角线长分别为6 cm和4 cm，
故V挖去的四棱锥＝××4×6×3＝12(cm3)．
又因为V长方体＝6×6×4＝144(cm3)，
所以模型的体积为
V长方体－V挖去的四棱锥＝144－12＝132(cm3)，
所以制作该模型所需原料的质量为132×0.9＝118.8(g)．
15．(2022·天津高考)四棱锥的底面是边长为的正方形，侧棱长均为.假设圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，那么该圆柱的体积为________．
答案　
解析　由题意知圆柱的高恰为四棱锥的高的一半，圆柱的底面直径恰为四棱锥的底面正方形对角线的一半．因为四棱锥的底面正方形的边长为，所以底面正方形对角线的长为2，所以圆柱的底面半径为.又因为四棱锥的侧棱长均为，所以四棱锥的高为 ＝2，所以圆柱的高为1.所以圆柱的体积V＝π·2·1＝.
16．(2022·河南八市重点高中联盟测评)一个高为1的三棱锥，各侧棱长都相等，底面是边长为2的等边三角形，那么三棱锥的外表积为________，假设三棱锥内有一个体积为V的球，那么V的最大值为________．
答案　3　
解析　该三棱锥侧面的斜高为＝，那么S侧＝3××2×＝2，S底＝××2＝，所以三棱锥的外表积S表＝2＋＝3.由题意知，当球与三棱锥的四个面都相切时，其体积最大．设三棱锥的内切球的半径为r，那么三棱锥的体积V锥＝S表·r＝S底·1，所以3r＝，所以r＝，所以三棱锥的内切球的体积最大为Vmax＝πr3＝.
17．如下图，在三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，AC⊥BC，D为侧棱PC上一点，它的正(主)视图和侧(左)视图如下图．
(1)求证：AD⊥平面PBC；
(2)求三棱锥D－ABC的体积．
解　(1)证明：∵PA⊥平面ABC，
∴PA⊥BC，PA⊥AC，
又AC⊥BC，AC∩PA＝A，BC⊄平面PAC，
∴BC⊥平面PAC，又AD⊂平面PAC，∴BC⊥AD.
在Rt△PAC中，PA＝AC＝4，D为PC的中点，
∴AD⊥PC.∵BC∩PC＝C，AD⊄平面PBC，
∴AD⊥平面PBC.
(2)由三视图，可得BC＝4，
由(1)知，PA⊥AC，D为PC的中点，BC⊥平面PAC，
又三棱锥D－ABC的体积即为三棱锥B－ADC的体积，∴VD－ABC＝VB－ADC＝×××4×4×4＝.
18．(2022·江苏高考)现需要设计一个仓库，它由上下两局部组成，上部的形状是正四棱锥P－A1B1C1D1，下部的形状是正四棱柱ABCD－A1B1C1D1(如下图)，并要求正四棱柱的高O1O是正四棱锥的高PO1的4倍．
(1)假设AB＝6 m，PO1＝2 m，那么仓库的容积是多少？
(2)假设正四棱锥的侧棱长为6 m，那么当PO1为多少时，仓库的容积最大？
解　(1)由PO1＝2知O1O＝4PO1＝8.
因为A1B1＝AB＝6，
所以正四棱锥P－A1B1C1D1的体积
V锥＝A1B·PO1＝×62×2＝24(m3)．
正四棱柱ABCD－A1B1C1D1的体积
V柱＝AB2·O1O＝62×8＝288(m3)．
所以仓库的容积V＝V锥＋V柱＝24＋288＝312(m3)．
(2)设A1B1＝a m，PO1＝h m，
那么0<h<6，O1O＝4h.
连接O1B1.
因为在Rt△PO1B1中，
O1B＋PO＝PB，
所以2＋h2＝36，
即a2＝2(36－h2)．
于是仓库的容积V＝V柱＋V锥＝a2·4h＋a2·h
＝a2h＝(36h－h3)，0<h<6，
从而V′＝(36－3h2)＝26(12－h2)．
令V′＝0，得h＝2或h＝－2(舍去)．
当0<h<2时，V′>0，V是单调递增函数；
当2<h<6时，V′<0，V是单调递减函数．
故h＝2时，V取得极大值，也是最大值．
因此，当PO1＝2 m时，仓库的容积最大．