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课时跟踪练(三十五)
A组 基础巩固
1．(2019·开封定位测试)已知数列{an}满足a1＝，且an＋1＝.
(1)求证：数列是等差数列；
(2)若bn＝anan＋1，求数列{bn}的前n项和Sn.
(1)证明：易知an≠0，因为an＋1＝，
所以＝，所以－＝，
又因为a1＝，所以＝2，
所以数列是以2为首项，为公差的等差数列．
(2)解：由(1)知，＝2＋(n－1)＝，即an＝，
所以bn＝＝4，
Sn＝4
＝4＝.
2．已知{an}是等差数列，{bn}是等比数列，a1＝1，b1＝2，b2＝2a2，b3＝2a3＋2.
(1)求{an}，{bn}的通项公式；
(2)若的前n项和为Sn，求证：Sn<2.
(1)解：设{an}的公差为d，{bn}的公比为q，
由题意得
解得或(舍)
所以an＝n，bn＝2n.
(2)证明：由(1)知＝，
所以Sn＝＋＋＋…＋＋，
Sn＝＋＋＋…＋＋＋，
两式相减得Sn＝＋＋＋…＋－＝－，
所以Sn＝2－－，所以Sn<2.
3．(2018·天津卷)设{an}是等差数列，其前n项和为Sn(n∈N*)；{bn}是等比数列，公比大于0，其前n项和为Tn(n∈N*)，已知b1＝1，b3＝b2＋2，b4＝a3＋a5，b5＝a4＋2a6.
(1)求Sn和Tn；
(2)若Sn＋(T1＋T2＋…＋Tn)＝an＋4bn，求正整数n 的值．
解：(1)设等比数列{bn}的公比为q(q>0)．
由b1＝1，b3＝b2＋2，可得q2－q－2＝0.
因为q>0，可得q＝2，故bn＝2n－1.
所以Tn＝＝2n－1.
设等差数列{an}的公差为d.由b4＝a3＋a5，可得a1＋3d＝4.
由b5＝a4＋2a6，可得3a1＋13d＝16，从而a1＝1，d＝1，
故an＝n，所以Sn＝.
(2)由(1)，有T1＋T2＋…＋Tn＝(21＋22＋…＋2n)－n＝－n
＝2n＋1－n－2.
由Sn＋(T1＋T2＋…＋Tn)＝an＋4bn可得
＋2n＋1－n－2＝n＋2n＋1，
整理得n2－3n－4＝0，
解得n＝－1(舍去)，或n＝4.
所以n的值为4.
4．(2019·安阳模拟)设等差数列{an}的前n项和为Sn，点(n，Sn)在函数f(x)＝x2＋Bx＋C－1(B，C∈R)的图象上，且a1＝C.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)记bn＝an(a2n－1＋1)，求数列{bn}的前n项和Tn.
解：(1)设数列{an}的公差为d，
则Sn＝na1＋d＝n2＋n，
又Sn＝n2＋Bn＋C－1，两式对照得
解得所以a1＝C＝1，
所以数列{an}的通项公式为an＝2n－1.
(2)由(1)知bn＝(2n－1)(2·2n－1－1＋1)＝(2n－1)2n，
则Tn＝1×2＋3×22＋…＋(2n－1)·2n，
2Tn＝1×22＋3×23＋…＋(2n－3)·2n＋(2n－1)·2n＋1，
两式相减得
Tn＝(2n－1)·2n＋1－2(22＋23＋…＋2n)－2
＝(2n－1)·2n＋1－－2
＝(2n－3)·2n＋1＋6.
B组 素养提升
5．(2019·安庆模拟)已知公差不为0的等差数列{an}的首项a1＝2，且a1＋1，a2＋1，a4＋1成等比数列．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设bn＝，n∈N*，Sn是数列{bn}的前n项和，求使Sn<成立的最大的正整数n.
解：(1)设{an}的公差为d.
由a1＋1，a2＋1，a4＋1成等比数列，
可得(a2＋1)2＝(a1＋1)(a4＋1)，又a1＝2，
所以(3＋d)2＝3(3＋3d)，解得d＝3(d＝0舍去)，
则an＝a1＋(n－1)d＝2＋3(n－1)＝3n－1.
(2)bn＝＝＝，
Sn＝
＝＝.
则Sn<即<，解得n<12，
则所求最大的正整数n为11.
6．在等差数列{an}中，a2＝6，a3＋a6＝27.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)记数列{an}的前n项和为Sn，且Tn＝，若对于一切正整数n，总有Tn≤m成立，求实数m的取值范围．
解：(1)设公差为d，由题意得
解得所以an＝3n.
(2)因为Sn＝3(1＋2＋3＋…＋n)＝n(n＋1)，
所以Tn＝，Tn＋1＝，
所以Tn＋1－Tn＝－＝，
所以当n≥3时，Tn＞Tn＋1，且T1＝1＜T2＝T3＝，
所以Tn的最大值是，故实数m的取值范围是.
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