2022届高考数学(文科)总复习课时跟踪练：(六十五)坐标系-Word版含解析.doc

课时跟踪练(六十五)
A组　基础巩固
1．在极坐标系中，已知曲线C1：ρ＝2与C2：ρcos＝交于两点A，B.
(1)求两交点的极坐标；
(2)求线段AB的垂直平分线l的极坐标方程．
解：(1)C1：ρ＝2的直角坐标方程为x2＋y2＝4，
C2：ρcos＝的方程即ρcos θ＋ρsin θ＝2，
化为直角坐标方程得x＋y－2＝0.
由解得或
所以两交点为(0，2)，(2，0)，化为极坐标为，(2，0)．
(2)易知直线l经过点(0，0)及线段AB的中点(1，1)，所以其方程为y＝x，化为极坐标方程为θ＝(ρ∈R)．
2．(2018·江苏卷)在极坐标系中，直线l的方程为ρsin(－θ)＝2，曲线C的方程为ρ＝4cos θ，求直线l被曲线C截得的弦长．
解：因为曲线C的极坐标方程为ρ＝4cos θ，所以曲线C是圆心为(2，0)，直径为4的圆．

因为直线l的极坐标方程为ρsin(－θ)＝2，
则直线l过A(4，0)，倾斜角为，
所以A为直线l与圆C的一个交点．
设另一个交点为B，则∠OAB＝.
如图，连接OB.
因为OA为直径，从而∠OBA＝，
所以AB＝4cos ＝2.
因此，直线l被曲线C截得的弦长为2.
3．以直角坐标系中的原点O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，已知曲线的极坐标方程为ρ＝.
(1)将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程；
(2)过极点O作直线l交曲线于点P，Q，若|OP|＝3|OQ|，求直线l的极坐标方程．
解：(1)因为ρ＝，ρsin θ＝y，
所以ρ＝化为ρ－ρsin θ＝2，
所以曲线的直角坐标方程为x2＝4y＋4.
(2)设直线l的极坐标方程为θ＝θ0(ρ∈R)，
根据题意＝3·，
解得θ0＝或θ0＝，
所以直线l的极坐标方程为θ＝(ρ∈R)或θ＝(ρ∈R)．
4．(2019·安徽联合质检)在平面直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C1的极坐标方程为ρ2－2ρsin－2＝0，曲线C2的极坐标方程为θ＝，C1与C2相交于A，B两点．
(1)把C1和C2的极坐标方程化为直角坐标方程，并求点A，B的直角坐标；
(2)若P为C1上的动点，求|PA|2＋|PB|2的取值范围．
解：(1)由题意知，曲线C1与曲线C2的直角坐标方程分别为C1：(x＋1)2＋(y－1)2＝4，C2：x－y＝0.
联立得或
即A(－1，－1)，B(1，1)或A(1，1)，B(－1，－1)．
(2)设P(－1＋2cos α，1＋2sin α)，不妨设A(－1，－1)，B(1，1)，
则|PA|2＋|PB|2
＝(2cos α)2＋(2sin α＋2)2＋(2cos α－2)2＋(2sin α)2
＝16＋8sin α－8cos α＝16＋8sin，
所以|PA|2＋|PB|2的取值范围为[16－8，16＋8 ]．
5．(2016·全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(t为参数，a>0)．在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ＝4cos θ.
(1)说明C1是哪一种曲线，并将C1的方程化为极坐标方程；
(2)直线C3的极坐标方程为θ＝α0，其中α0满足tan α0＝2，若曲线C1与C2的公共点都在C3上，求a.
解：(1)消去参数t得到C1的普通方程为x2＋(y－1)2＝a2，则C1是以(0，1)为圆心，a为半径的圆．
将x＝ρcos θ，y＝ρsin θ代入C1的普通方程中，得到C1的极坐标方程为ρ2－2ρsin θ＋1－a2＝0.
(2)曲线C1，C2的公共点的极坐标满足方程组

若ρ≠0，由方程组得16cos2θ－8sin θcos θ＋1－a2＝0，
由已知tan θ＝2，可得16cos2θ－8sin θcos θ＝0，
从而1－a2＝0，解得a＝－1(舍去)或a＝1.
当a＝1时，极点也为C1，C2的公共点，且在C3上．
所以a＝1.
B组　素养提升
6．(2018·衡水中学检测)在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ＝4cos θ.
(1)求出圆C的直角坐标方程；
(2)已知圆C与x轴相交于A，B两点，直线l：y＝2x关于点M(0，m)(m≠0)对称的直线为l′.若直线l′上存在点P使得∠APB＝90°，求实数m的最大值．
解：(1)由ρ＝4cos θ得ρ2＝4ρcos θ，即x2＋y2－4x＝0，
即圆C的标准方程为(x－2)2＋y2＝4.
(2)直线l：y＝2x关于点M(0，m)的对称直线l′的方程为y＝2x＋2m，
而AB为圆C的直径，
故直线l′上存在点P使得∠APB＝90°的充要条件是直线l′与圆C有公共点，
故≤2，解得－2－≤m≤－2，
所以实数m的最大值为－2.
7．(2019·长郡中学调研)已知极坐标系的极点为平面直角坐标系xOy的原点，极轴为x轴正半轴，两种坐标系中的长度单位相同，曲线C的参数方程为(α为参数)，直线l过点(－1，0)，且斜率为，射线OM的极坐标方程为θ＝.
(1)求曲线C和直线l的极坐标方程；
(2)已知射线OM与曲线C的交点为O，P，与直线l的交点为Q，求线段PQ的长．
解：(1)因为曲线C的参数方程为(α为参数)，
所以曲线C的普通方程为(x＋1)2＋(y－1)2＝2，
将x＝ρcos θ，y＝ρsin θ代入整理得ρ＋2cos θ－2sin θ＝0，
即曲线C的极坐标方程为ρ＝2sin.
因为直线l过点(－1，0)，且斜率为，
所以直线l的方程为y＝(x＋1)，
所以直线l的极坐标方程为ρcos θ－2ρsin θ＋1＝0.
(2)当θ＝时，|OP|＝2sin＝2，
|OQ|＝＝，
故线段PQ的长为2－＝.
8．(2019·华南师大附中月考)在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程是(α为参数)，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系．
(1)求曲线C的极坐标方程；
(2)设l1：θ＝，l2：θ＝，若l1，l2与曲线C分别交于异于原点的A，B两点，求△AOB的面积．
解：(1)因为曲线C的参数方程是(α为参数)，
所以曲线C的普通方程为(x－3)2＋(y－4)2＝25，
即x2＋y2－6x－8y＝0.
所以曲线C的极坐标方程为ρ＝6cos θ＋8sin θ.
(2)把θ＝代入ρ＝6cos θ＋8sin θ，得ρ1＝4＋3，
所以A.
把θ＝代入ρ＝6cos θ＋8sin θ，得ρ2＝3＋4，
所以B.
所以S△AOB＝ρ1ρ2sin ∠AOB
＝×(4＋3)×(3＋4)sin＝12＋.